2019.28 二阶线性齐次微分方程，为何是解？解、通解、特解、所有解都是什么意思？

微分方程的通解与特解到底是什么意思？~

首先要说，你这个分类是有问题的，因为微分方程、线性方程只是两个完全不同的分类，可以是微分线性、微分非线性、线性、非线性。最好你带着教科书看比较好。
你提这个问题，应该知道线性方程长什么样子了吧？
x^n+a1x^(n-1)+a2x^(n-2)+…+a(n-1)x+an=0
这就是线性方程。右端等于0，说明它是齐次方程；右端不等于0，说明它是非齐次方程。
这是针对齐次方程、非齐次方程来说的。
那么微分方程类似，无非是左端x的k次方通通变成x关于t的k阶导数。
即x^(n)+a1*x^(n-1)+…+a(n-1)*x'+an*x=0 （x^(k)就是x的k阶导数）
同理，右端等于0，这是一个齐次微分方程，求出来的解就是通解x(t)；如果右端不等于0，而是一个f(t)，那么求出来的解就是一个满足右端是f(t)的特解x*(t)！！！
整个微分方程的解x=x(t)+x*(t)！！！

sinx=1 非齐次
设sinx=0 齐次
解得x=2kπ 2kπ就是齐次解
sinx=1 我们不能确定x等于多少 因为有无数多个解
但是我们随便找出一个 就可以 比如x=π/2
或者x=5π/2
任意找一个 这个x=π/2 就是特解
然后 我们说2kπ+π/2 就是sinx=1 的通解
你要说 2kπ+5π/2是通解 也一样

不知道这样比划 你明白没有

一个一般非齐次的微分方程 我们是解不出来全体解得
所以我们只有按方法找一个特解 这个特解差不多是属于试出来的
但是我们可以求出齐次微分方程的全体解 也就是通解
通解+特解 就可以包含非齐次的所有解了

至于为什么通解+特解 就是方程的全体解 书上有详细的证明过程的
看得懂就看 不能理解 就强制把它当做公理

通解和特解都是解，解就是满足方程的向量，所有这些向量就是“所有”解，这些所有解构成一个解的集合。
特解是这个解集合中的任意一个特定向量
通解用一个不定参数表示的向量，通过改变不定参数可以表示解集合中任意一个向量
因为含有不定参数，所以不是特解，特解必须是一个固定的向量
因为不能表示任意一个解，所以不是通解，也不是所有解

所以只能是A

解就是满足方程的函数，可以带任意常数也可以不带
特解就是一个具体的不带任意常数的满足方程的函数
通解和所有解就是带与阶数相同个数的任意常数的解

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宿豫县15237598138： 二阶线性齐次微分方程的通解:求y'' - y=0的通解 - ？
兆卿健胃：[答案] 本题为二阶齐次常微分方程,求出特征根,即可写出通解. 特征方程为: λ² - 1 = 0 解得:λ1=1;λ2=-1 通解为: y = c1* e^(λ1*x) + c2* e^(λ2*x) = c1* e^x + c2/(e^x)

宿豫县15237598138： 常系数二阶齐次线性微分方程怎么求解 - ？
兆卿健胃： r²+pr+q=0 1)△>0 y=c1e^r1x+c2e^r2x 2)△=0 y=(c1+c2x)e^rx 3)△<0 y=e^αx(c1cosβx+c2sinβx)

宿豫县15237598138： 求一个二阶线性齐次微分方程的解法已知方程y''+p(x)y'+q(x)y=0和该方程一个特解y1,如何得出通解? - ？
兆卿健胃：[答案] 用的是变异常数法, 可设通解为y=c(x)*y1 然后带入原方程,求出c(x)

宿豫县15237598138： 讨论二阶常系数线性齐次微分方程通解的形式 - ？
兆卿健胃： 先求齐次解 y''+y'-2y=0 特征根方程 r^2+r-2=0 r=2,-1 y=Ae^(2x)+Be^(-x) 然后找特解 待定系数,因为右端项为x^2 猜测y=ax^2+bx+c y'=2ax+b y''=2a 2a+2ax+b-2(ax^2+bx+c)=x^2 -2ax^2+(2a-2b)x+2a+b-2c=x^2 -2a=1 2a-2b=0 2a+b-2c=0 a=-1/2,b=-1/2,c=-3/4 y=Ae^(2x)+Be^(-x)-(1/2)x^2-(1/2)x-3/4

宿豫县15237598138： 二阶常系数齐次线性微分方程中的二阶,常系数,齐次,线性分别是什么意思 - ？
兆卿健胃： 二阶是指最高阶只有二阶即y＂ 常系数是指y＂, y',y前面的系数是常数 齐次是指微分方程等是右边为0 线性是指微分方程的形式y＂+P(x)y'+Q(x)y=0

宿豫县15237598138： 二阶线性常系数齐次微分方程的解法.y'' - y' +y= a (a≠0) 的解法如何,和a=0是一样的吗, - ？
兆卿健胃：[答案] 当然不是了,首先解齐议程对应的特征方程 r^2-r+1=0 r=(1±√3i)/2 所以齐次通解是y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x) 特解可能观察得得y=a 因此非齐次通解为 y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x)+a

宿豫县15237598138： 二阶常系数齐次线性微分方程是什么? - ？
兆卿健胃： y＂+py'+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 p,q为常数

宿豫县15237598138： 高数二阶常系数线性齐次常微分方程 - ？
兆卿健胃： 这个是非齐次方程. 首先是dy/dx=y,利用分离变量法,dy/y=dx,两边积分,得到lny=x+C,带入初始条件,是y(0)=1,解得C=0,所以lny=x,y=e^x 那微分方程变成y``-3y`+2y=e^x 首先解齐次通解y``-3y`+2y=0 特征方程:r^2-3r+2=0,解...

宿豫县15237598138： 某二阶线性齐次微分方程的两个解为y=x与y=x^2,则通解为多少 - ？
兆卿健胃： 根据线性齐次微分方程解的结构理论,通解为 y = C1x + C2x^2.此外满足解为 y = x, y = x^2 的一个线性微分方程是 y'' - (2/x)y' + (2/x^2)y = 0,y = C1x + C2x^2 代入满足,并含 2 个独立积分常数,故为通解.

宿豫县15237598138： 二阶齐次线性微分方程问题二阶齐次线性微分方程 y''+P(x)y'+Q(x)y=0 中 y1(x) 和 y2(x) 是它的两个解,则y=C1y1(x)+C2y2(x) 也是它的解?求推导思路! - ？
兆卿健胃：[答案] 很简单……[c1y1(x)+c2y2(x)]''+P(x)[c1y1(x)+c2y2(x)]'+Q(x)[c1y1(x)+c2y2(x)]=c1y1(x)''+P(x)c1y1(x)'+Q(x)c1y1(x)+c2y2(x)''+P(x)c2y2(x)'+Q(x)c2y2(x)=c1[y1(x)''+P(x)y1(x)'+Q(x)y1(x)]+c2[y2(x)''+P(x)y2(x)'+...