二阶常系数线性齐次微分方程有哪些解法

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较常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx 

特解    y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx    

特解    y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy= mx+n                 

特解    y=ax

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

扩展资料：

通解=非齐次方程特解+齐次方程通解

对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)

 的特解y*具有形式

y*= 

其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.

将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

多项式法：

设常系数线性微分方程y''+py'+qy =pm

 (x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz) ，则方程可化为：

F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。

升阶法：

设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。

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六枝特区19435156527： 常系数二阶齐次线性微分方程怎么求解 - ？
萧庞盐酸： r²+pr+q=0 1)△>0 y=c1e^r1x+c2e^r2x 2)△=0 y=(c1+c2x)e^rx 3)△<0 y=e^αx(c1cosβx+c2sinβx)

六枝特区19435156527： 二阶微分方程的3种通解 ？
萧庞盐酸： 第一种:两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x).第二种:两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x).第三种:一对共轭复根:r1=α+iβ,r2=α-iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx).拓展:二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程.若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的.特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解.

六枝特区19435156527： 二阶线性常系数齐次微分方程的解法.y'' - y' +y= a (a≠0) 的解法如何,和a=0是一样的吗, - ？
萧庞盐酸：[答案] 当然不是了,首先解齐议程对应的特征方程 r^2-r+1=0 r=(1±√3i)/2 所以齐次通解是y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x) 特解可能观察得得y=a 因此非齐次通解为 y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x)+a

六枝特区19435156527： 二次常系数齐次线性微分方程怎么解呢? - ？
萧庞盐酸： 应是“二阶”常系数齐次线性微分方程. y''+py'+qy=0, 特征方程 r^2+pr+q=0, 解出 特征根 r1, r2, 讨论重根否再写出通解. 高等数学教科书上都有啊.

六枝特区19435156527： 二阶常系数齐次线性微分方程通解 - ？
萧庞盐酸： y'' - 2y' + 5y = 0, 设y = e^[f(x)],则 y' = e^[f(x)]*f'(x), y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x). 0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)], 0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5, 当f(x) = ax + b,a,b是常数时. f''(x) = 0, f'(x) = a. 0 = a^2 - 2a + 5. ...

六枝特区19435156527： 高数二阶常系数线性齐次常微分方程 - ？
萧庞盐酸： 这个是非齐次方程. 首先是dy/dx=y,利用分离变量法,dy/y=dx,两边积分,得到lny=x+C,带入初始条件,是y(0)=1,解得C=0,所以lny=x,y=e^x 那微分方程变成y``-3y`+2y=e^x 首先解齐次通解y``-3y`+2y=0 特征方程:r^2-3r+2=0,解...

六枝特区19435156527： 以y1=e∧2x,y2=xe∧2x 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为? - ？
萧庞盐酸： p=2 ( 重根) The aux. equation(p-2)^2 =0 p^2 -4p +4 =0 微分方程 y''-4y'+4y =0

六枝特区19435156527： 二阶常系数齐次线性微分方程中的二阶,常系数,齐次,线性分别是什么意思 - ？
萧庞盐酸： 二阶是指最高阶只有二阶即y＂ 常系数是指y＂, y',y前面的系数是常数 齐次是指微分方程等是右边为0 线性是指微分方程的形式y＂+P(x)y'+Q(x)y=0

六枝特区19435156527： 有关二阶常系数齐次线性微分方程 - ？
萧庞盐酸： 特征方程 4r^2 +4r +1=0, r1=r2=-1/2 基本解组: e^(-x/2 ), x*e^(-x/2 )这就是两个线性无关解. 通解 y=c1*e^(-x/2 )+c2*x*e^(-x/2 )=(c1+c2*x)e^(-x/2 ) y'=c2*e^(-x/2 )-(1/2)(c1+c2*x)e^(-x/2 )=(1/2)(2c2-c1-c2*x)e^(-x/2 ) y((0)=2,y'(0)=0得 c1=2,c2=1 特解y=(1+2x)e^(-x/2 )

六枝特区19435156527： 常系数齐次线性方程组的通解有哪几种求法? - ？
萧庞盐酸： 较常用的几个: 1、Ay''+By'+Cy=e^mx特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n特解 y=ax 二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区...