二阶常系数线性齐次微分方程有哪些解法
较常用的几个:
1、Ay''+By'+Cy=e^mx
特解 y=C(x)e^mx
2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx
特解 y=msinx+nsinx
3、Ay''+By'+Cy= mx+n
特解 y=ax
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的。特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解。
扩展资料:
通解=非齐次方程特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)
的特解y*具有形式
y*=
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式,k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根(上文有提),依次取0,1或2.
将y*代入方程,比较方程两边x的同次幂的系数(待定系数法),就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。
多项式法:
设常系数线性微分方程y''+py'+qy =pm
(x)e^(λx),其中p,q,λ是常数,pm(x)是x的m次多项式,令y=ze^(λz) ,则方程可化为:
F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ,这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。
升阶法:
设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),当f(x)为多项式时,设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an,此时,方程两边同时对x求导n次,得
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此时,y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1),依次升阶,一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),可得到方程的一个特解y(x)。
三阶常系数线性齐次微分方程y'=2y'+y-2y=0的通解为y=___.
【答案】:应填y=C1e2x+C1cosx+C3sinx。[分析]求特征方程的解,直接写出三阶常系数线性齐次微分方程的通解,属基础题型.[详解]y''=2y'+y'-2y=0的特征方程为λ3-2λ2+λ-2=0,即(λ-2)(λ2+1)=0,解得λ1=2,λ2,3=±i,所以通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinx[评注...
如何解一阶常系数齐次线性微分方程?
解题过程如下图:
二阶常系数齐次线性微分方程中的二阶,常系数,齐次,线性分别是什么意思...
二阶是指最高阶只有二阶即y"常系数是指y", y',y前面的系数是常数 齐次是指微分方程等是右边为0 线性是指微分方程的形式y"+P(x)y'+Q(x)y=0
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程:Ay''+By'+Cy=e^mx特解y=C(x)e^mx,Ay''+By'+Cy=asinx+bcosx特解y=msinx+nsinx,Ay''+By'+Cy=mx+n特解y=ax。二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+...
常系数齐次线性微分方程
常系数齐次线性微分方程:解:因为y\\mspace2mu′+2y=0,所以特征方程为r+2=0,解得r=−2,所以通解为y=C1e−2x,故答案为y=C1e−2x。二阶常系数线性齐次微分方程,指含有未知函数最高阶导数或微分为二阶,且系数为常数的齐次方程。二阶常系数线性齐次微分方程是二阶常系数...
三阶常系数齐次线性微分方程通解
1、三个线性无关的解:三阶常系数齐次线性微分方程可以分解为三个一阶常系数线性微分方程,因此其通解可以表示为三个线性无关的解的线性组合。2、形式唯一:三阶常系数齐次线性微分方程的通解形式是唯一的,即不同的三阶常系数齐次线性微分方程的通解形式是一样的。3、包含三个任意常数:三阶常系数...
常系数齐次线性微分方程的解是什么?
常系数齐次线性微分方程的解法如下:二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为: y"+py’+qy=0 (1-1) 其中p,q为常数。 以r^k代替上式中的y(k)(k=0,1,2) ,得一代数方程 r²+pr+q=0 这方程称为微分方程(1-1)的特征方程 按特征根的情况,可直接写出方程1-1的通解。常微分...
齐次二阶常系数线性微分方程的解
这是非齐次微分方程,需要求出其对应的齐次微分方程的两个线性无关的解:y3-y1 和 y2-y1 于是齐次微分方程的通解为:c1(y3-y1) + c2(y2-y1)非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的特解 于是非齐次微分方程的通解为:c1(y3-y1) + c2(y2-y1) + y1 代入上面式子得通解...
什么叫齐次常系数线性微分方程?
线性常系数微分方程介绍如下:常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为:y=(C1+C2 x)ex 故 r1=r2=1为其特征方程的重根,且其特征方程为 (r-1)2=r2-2r+1 故 a=-2,b=1 对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x 设其特解为 y*=Ax+B 代入y″-2y′+y=x 可得,0-2A+(Ax+B)=x...
高等数学中的n阶常系数齐次线性微分方程求通解问题
对应于特征值方程的每种解的组合,都对应特殊的通解形式,楼主应该记住这些公式 这个是有重复共轭复根的解的解集结果
萧庞盐酸: r²+pr+q=0 1)△>0 y=c1e^r1x+c2e^r2x 2)△=0 y=(c1+c2x)e^rx 3)△<0 y=e^αx(c1cosβx+c2sinβx)
六枝特区19435156527: 二阶微分方程的3种通解 ?
萧庞盐酸: 第一种:两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x).第二种:两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x).第三种:一对共轭复根:r1=α+iβ,r2=α-iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx).拓展:二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程.若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的.特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解.
六枝特区19435156527: 二阶线性常系数齐次微分方程的解法.y'' - y' +y= a (a≠0) 的解法如何,和a=0是一样的吗, - ?
萧庞盐酸:[答案] 当然不是了,首先解齐议程对应的特征方程 r^2-r+1=0 r=(1±√3i)/2 所以齐次通解是y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x) 特解可能观察得得y=a 因此非齐次通解为 y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x)+a
六枝特区19435156527: 二次常系数齐次线性微分方程怎么解呢? - ?
萧庞盐酸: 应是“二阶”常系数齐次线性微分方程. y''+py'+qy=0, 特征方程 r^2+pr+q=0, 解出 特征根 r1, r2, 讨论重根否再写出通解. 高等数学教科书上都有啊.
六枝特区19435156527: 二阶常系数齐次线性微分方程通解 - ?
萧庞盐酸: y'' - 2y' + 5y = 0, 设y = e^[f(x)],则 y' = e^[f(x)]*f'(x), y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x). 0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)], 0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5, 当f(x) = ax + b,a,b是常数时. f''(x) = 0, f'(x) = a. 0 = a^2 - 2a + 5. ...
六枝特区19435156527: 高数二阶常系数线性齐次常微分方程 - ?
萧庞盐酸: 这个是非齐次方程. 首先是dy/dx=y,利用分离变量法,dy/y=dx,两边积分,得到lny=x+C,带入初始条件,是y(0)=1,解得C=0,所以lny=x,y=e^x 那微分方程变成y``-3y`+2y=e^x 首先解齐次通解y``-3y`+2y=0 特征方程:r^2-3r+2=0,解...
六枝特区19435156527: 以y1=e∧2x,y2=xe∧2x 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为? - ?
萧庞盐酸: p=2 ( 重根) The aux. equation(p-2)^2 =0 p^2 -4p +4 =0 微分方程 y''-4y'+4y =0
六枝特区19435156527: 二阶常系数齐次线性微分方程中的二阶,常系数,齐次,线性分别是什么意思 - ?
萧庞盐酸: 二阶是指最高阶只有二阶即y" 常系数是指y", y',y前面的系数是常数 齐次是指微分方程等是右边为0 线性是指微分方程的形式y"+P(x)y'+Q(x)y=0
六枝特区19435156527: 有关二阶常系数齐次线性微分方程 - ?
萧庞盐酸: 特征方程 4r^2 +4r +1=0, r1=r2=-1/2 基本解组: e^(-x/2 ), x*e^(-x/2 )这就是两个线性无关解. 通解 y=c1*e^(-x/2 )+c2*x*e^(-x/2 )=(c1+c2*x)e^(-x/2 ) y'=c2*e^(-x/2 )-(1/2)(c1+c2*x)e^(-x/2 )=(1/2)(2c2-c1-c2*x)e^(-x/2 ) y((0)=2,y'(0)=0得 c1=2,c2=1 特解y=(1+2x)e^(-x/2 )
六枝特区19435156527: 常系数齐次线性方程组的通解有哪几种求法? - ?
萧庞盐酸: 较常用的几个: 1、Ay''+By'+Cy=e^mx特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n特解 y=ax 二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区...