简述勾股定理在中学数学课程中的作用？

勾股定理在解决数学问题中的重要作用~

我总结了一下，其重要作用有：
1证明一个三角形是直角三角形
2用于直角三角形中的相关计算
3有利于你记住余弦定理，它是余弦定理的一种特殊情况
4它为世界的几何奠定了重要的基础．
5为我们生活建设提供了安全简便实用的作用．如，起楼’体育馆．
为了便于记忆恳请您看一下下面：
我国是最早了解勾股定理的国家之一早在三钱多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，，如果勾等于三，股等于四，那么弦就是五．
毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497BC?)古希腊数学家、哲学家。无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。

毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28， 496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线(根2)却不能用整数之比来表达。这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在根2 (即无理数)的秘密。天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。但根2很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。希帕索期为根2殉难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。

可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯，到了晚年不仅学术上趋向保守，而且政治上反对新生事物，最后死于非命。

1 勾股定理文化背景及其对现代教学的影响

勾股定理是中国几何的根源。中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系。勾股形与比率算法相结合，经推演变化已构成各种各样的测量法（如刘徽的“重差术”）。古代数学家常以勾股形代替一般三角形进行研究，从而可以避开角的性质的研讨和不触及平行的烦琐理论，使几何体系简洁明了，问题的解法更加精致。从中国勾股定理的诞生与发展来看，中国古代数学文化传统明显有重视应用、注重理论联系实际、数形结合，以算为主、善于把问题分门别类建立一套套算法体系的特征。然而中国的传统文化注重“经世致用”，思维方式具有“重实际而黜玄想”的务实精神，以及述而不作的研究方法，使得勾股定理从诞生开始一直没有超越直观经验和具体运算，而发展成一套完整的演绎推理，它始终作为一种技艺在传播与应用，走的是为了解决实际问题的模式化发展道路。这种技艺应用的价值取向至今仍影响着我们对数学的认识，影响着我们的数学教学。

在西方，从毕达哥拉斯学派发现了“与有理数不可通约的无理数”开始，勾股定理作为欧氏空间的度量标尺，经过演绎推理，为几何公理体系的完善和发展写下了新的篇章。欧几里得在证明勾股定理同时，结合图形分析，以演绎推理的方法获得了一系列的定理和推论。此后，西方数学家从数的角度将勾股定理推广到求不定方程的正整数解，引出了著名的费马猜想、鲍恩猜想、埃斯柯特猜想；从形的角度又把它推广到平面图形面积关系、立体图形的表面积关系的探讨。如此无穷延伸，在追求严谨的逻辑体系和数学美的过程中推动了现代数学的发展．这种崇尚理性、注重演绎推理的数学传统有着深厚的文化背景，从西方的基督教文化来看，它认为上帝是按数学来构造世界。这一观点足以表明数学教育在西方文化中的宗教和哲学价值取向的理性地位，这对我们今天学习数学，理解现代数学体系结构的形成有着重要的启示作用。

2 现代勾股定理教学设计

中、西方在不同的文化背景下所诞生的勾股定理及其发展道路，给我们的启发是在继承传统文化精髓的同时必须改变传统数学价值观，才能学好西方数学公理化体系，走上数学教育现代化的道路。为此，我们必须设计出符合自身文化传统习惯的课堂教学模式。以勾股定理教学为例，笔者认为可以从以下几个环节进行教学设计。

2.1 从文化传统习惯入手，利用现代化教学手段进行数学实验

请学生自己画出几个直角三角形，利用直尺测量三条边长，并记录数据，计算边长的平方值，分析它们的关系，引导学生通过计算发现勾股定理。测量和计算是我们民族文化传统的特长，是古人发现问题、解决问题常用的思路，也是我们学生很熟悉的学习方法。从几个学生构造的特殊例子出发，利用测量工具进行估算，寻找规律，提出猜想，符合我们的文化传统习惯，符合从特殊到一般的思维规律，容易发挥学生的主体积极性。

利用几何画板软件设计任一直角三角形，自动测量三边边长，验证学生的发现与猜想（图1）。


几何画板软件就其本身设计来说，是一种模式化的算法体系，用它来精确测量三角形的边长，展示直角三角形的任意性，是传统文化精髓与现代文明的新结合。它不仅是一种测量工具的改善，更是一个数学教育现代化的平台。此例所展示的直角三角形的任意性，是传统教学手段无法实现的一个梦想。而几何画板软件可以让学生操作计算机来构造数学对象，在观察动态的图形变化中，直观体验了任意性的含义，深人理解任意性在数学中所起的作用。同时计算机提供快速反馈测量结果，进行验证猜想的能力，使学生有更多的时间从事于更高层次的数学思维活动。这一典型实例足以表明计算机技术可以为文化传统与数学教育现代化的结合提供了好的教学平台。

2.2 比较赵爽证法和欧几里得证法，挖掘传统文化内涵

勾股定理的证明有着丰富无比的文化内涵，可以给学生许多启发，其中赵爽的弦图证法和欧几里得证法最为典型。赵爽弦图证法极富创意，他在《勾股圆方图注》中用几何方法严格证明了勾股定理，可以反映出我国几何研究不仅在应用方面有过辉煌成就，而且在理论方面也曾有一席之地。

赵爽的弦图证法：如图2(见人教版三年制初中《几何》第二册第106页第4题），其中每个直角三角形称为“朱实”，中间的一个正方形叫“中黄实”，以弦为边的正方形ABEF叫“弦实”。四个朱实加上一个黄实就等于一个弦实，即 ，化简后得 。


他充分运用了直角三角形易于移补的特点，给出了简洁、直观的证法，其相应的几何思想是图形经移、补、凑、合而面积不变，这种思想后来发展为李冶的“演段术”，不仅反映了我国传统文化中追求直观、实用的倾向，而且其展示的割补原理和数形结合的思想让我们看到我们传统文化的精髓，对我们继承和发扬传统文化起着潜移默化的熏陶作用。我们要安排足够的时间，让学生动手进行拼、凑、补等实践活动，深人理解割补原理，体会中国传统文化中寓理于算的风格。

而欧几里得证法给我们展示的是西方数学文化传统的另一侧面，即严谨的逻辑和理性的推理。具体的欧几里得证法如下：

在直角三角形ABC各边上向外作正方形（图3)，结连CD、FB。

因为AC＝AF, AB＝AD，∠FAB＝∠CAD，所以 。

作CL‖ AD。

因为 ，

，

所以 ．

同理可证 ．

所以 ，即 ．


比较赵爽证法和欧几里得证法可知，赵爽证法是建立在一种不证自明、形象直观的原理上，即“出人相补”原理。他的证明过程可以借助实物进行操作，使现实问题数学化，最终达到对数学定理的意义建构。而欧几里得证法则完全脱离实物的支撑，给我们展示的是对数学美和数学理性的追求。它在更高层次上使学生的思维得到锻炼。对这种证法的介绍，可以采用数学“再创造”原理，分析它的探索过程，使证明思路逐渐显露出来，最终完成对公理化演绎体系结构的深刻理解。

综上所述，我们可以从文化传统习惯人手，使用现代教育手段来继承和发扬传统文化，挖掘传统文化内涵，实现数学教育现代化。

勾股定理在中学数学课程中的作用

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   勾股定理可以视为一种特殊的三角函数知识，它是学生进一步认识三角形边、角问题的知识基础. 

1. 勾股定理很好的解释了直角三角形三边关系，渗透了数形结合思想，在数学的发展中起过重要的作用。

2. 勾股定理在中学数学中有广泛应用，例如几何计算，几何证明，解三角形问题，勾股定理时是中学数学课程其他几何问题的深化。

3. 勾股定理与生活实际相结合，运用也很广泛，让学生感受来数学来源于生活，可以在勾股定理教学中培养学生的数学兴趣，增强学生的实践能力，为学生学好后续的数学知识打好坚实的基础.

勾股定理在几何里有着非常重要的地位与作用，是解直角三角形重要的定理与依据。同时在生活中有着重要的应用性，是中考数学中必考的知识点。它揭示的是直角三角形三边的数量关系，是典型的数形结合思想的体现。它在数学的发展中起过重要的作用。

勾股定理对初中教学的意义：1文化功能 2 德育功能 3．由勾股定理到发现无理数，进而到证明费尔马大定理，培养学生献身科学、追求真理的精神 4 ．以生动的数学史料揭示课题——勾股定理，激发学生学习的兴趣和求知欲。．通过探讨勾股定理的证明方法，培养学生的思维能力，深刻理解和掌握勾股定理。．通过对勾股定理的引申——勾股数的介绍，培养学生的创新意识和创造能力。5美育功能
帮助我们从中国传统数学所经历的兴衰过程中吸取经验教训，而且能激发我们强烈的爱国主义热情，刻苦攻关，使中国数学得以迅速发展，使中华民族在数学领域中重新走到世界前列。
勾股定理”是中学数学中一个非常重要的定理，在中学数学课程中具有重要作用：
①“勾股定理”很好地解释了直角三角形中三条边之间的数量关系，将学生对几何的感性认识精确化，向学生渗透数形结合思想，使几何学中有关直角三角形的计算及证明问题迎刃而解；
②“勾股定理”在中学数学中有广泛应用，如线段求长问题，图形折叠问题，解三角形问题等，所以“勾股定理”的学习是对中学数学课程其他几何问题的铺垫和深化；
③“勾股定理”与生活实际相结合，在中学数学课程的教学中使学生得以感受数学与生活的密切联系。

一般勾股定理，这个定理在平面图形或者立体几何里面可以运用得到，利用他来求解直角三角形里面的边长，还有角度是非常的好用的一个定理

勾股定理可以通过直角三角形的两条已知直角边求得第三条斜边，是数学上的一次重大的突破。

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乌拉特后旗18292266514： 勾股定理在解决数学问题的重要作用 - ？
逄雅乙酰： 1 勾股定理文化背景及其对现代教学的影响 勾股定理是中国几何的根源.中华数学的精髓,诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展,寻根探源,都与勾股定理有着密切关系.勾股形与比率算法相结合,经推演变化已构成各种各样...

乌拉特后旗18292266514： 勾股定理的作用,详细点 - ？
逄雅乙酰： ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理.⑵勾股定理导致不可通约量的发现,从而深刻揭示了数与量的区别,即所谓“无理数＂与有理数的差别,这就是所谓第一次数学危机.⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学.⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程,也是最早得出完整解答的不定方程,它一方面引导到各式各样的不定方程,包括著名的费尔马大定理,另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式.

乌拉特后旗18292266514： 高中数学的勾股定理有什么用? - ？
逄雅乙酰： 勾股定理是一个基本的初等几何定理,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a²+b²=c²,(a,b,c)叫做勾股数组.勾股定理现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一...

乌拉特后旗18292266514： 勾股定理的重要作用 - ？
逄雅乙酰： 我总结了一下,其重要作用有:1证明一个三角形是直角三角形2用于直角三角形中的相关计算3有利于你记住余弦定理,它是余弦定理的一种特殊情况.

乌拉特后旗18292266514： 勾股定理的重要性 - ？
逄雅乙酰： 勾股定理的应用格致初级中学 金奕【教学目标】1、通过对一些典型题目的思考、解答,能正确、熟练的进行勾股定理有关计算,加深对勾股定理的理解应用.2、会用勾股定理解决一些简单的实际问题,逐步渗透“数形结合”和“转化”的数...

乌拉特后旗18292266514： 勾股定理的定理意义 - ？
逄雅乙酰： 勾股定理作为一个被人类早期发现并证明的重要数学定理之一,对数学的发展产生了不可小视的影响.勾股定理使人们以代数的思想与概念来解决几何问题,正是“数形结合”思想的体现,这样的思想角度是十分重要的.同时,勾股定理的发现推动了人类对数学几何更深的探索;通过勾股定理,我们可以推导出许多其它真命题与定理,这大大地方便了我们对几何问题的解决,也使数学的发展迈出了一大步. 更为重要的是,其后希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数(2),导致第一次数学危机.

乌拉特后旗18292266514： 勾股定理在解决数学问题中的重要作用？
逄雅乙酰： 直角三角形定理

乌拉特后旗18292266514： 勾股定理的实用性 - ？
逄雅乙酰： 勾股定理是数学中的重要定理.它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,把数与形统一起来.利用勾股定理可以解决实际生活中的许多问题.下面举例分析如下. 一、计划修筑的公路会不会穿过公园 例1 如图1,某市为方便相距2km的A、B两处居民区的交往,修筑一条笔直的公路(即图中的线段AB),经测量,在A处的北偏东60°方向、B处北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园,问计划修筑的公路会不会穿过公园?为什么? 分析:关键是求点C到AB的距离CD,即CD的长是否大于0.7,大于0.7则不会穿过公园,小于0.7则会穿过公园.

乌拉特后旗18292266514： 请问勾股定理有什么用? - ？
逄雅乙酰： 八年级下册,第十九章《勾股定理》(沪科版)也就是八下的第三章,期中考试一般就考到这里. P50. 19.1勾股定理 P58. 19.2勾股定理逆定理 P64.小结,评价全章49至68面,课本内容不多,但要补充的内容不少,比较重要,对以后的几何学习有重要作用.

乌拉特后旗18292266514： 勾股定理有什么用? - ？
逄雅乙酰： 勾股定理又叫商高定理、毕氏定理,或称毕达哥拉斯定理(Pythagoras Theorem). 在一个直角三角形中,斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和.如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那...