【数学】证明任意三角形的三边平方的不等关系（不能用余弦定理）

三角形不等关系的证明，急！~

大哥，这种题根本不用证的，你想想点O是三角形ABC内一点，那么连接OA OB OC,形成三个三角形都是钝角三角形的，因为360/3=120，在三角形ABC内一点形成的三角形都是钝角，所以随便一个OA<AB OB<BC OC<AC 加起来就行了OA+OB+OC<p

设a²+b²<c²，则cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)<0
所以角C为钝角

(1）在锐角△ABC中，求证a&sup2;+b&sup2;＞c&sup2; 

（2）在钝角△ABC中，求证a&sup2;+b&sup2;＜c&sup2;（c是钝角所对的最长边）

证明：红色的线段为辅助线

（1）如图

∵b&sup2;=x&sup2;+y&sup2;

y&sup2;=c&sup2;-(a-x) &sup2;

∴b&sup2;=x&sup2;+ c&sup2;-(a-x) &sup2;

∴b&sup2;=c&sup2;-a&sup2;+2ax

∴a&sup2;+b&sup2;= c&sup2;+2ax＞c&sup2;

(2) ∵b&sup2;=x&sup2;+y&sup2;

y&sup2;=c&sup2;-(a+x) &sup2;

∴b&sup2;=x&sup2;+ c&sup2;-(a+x) &sup2;

∴b&sup2;=c&sup2;-a&sup2;-2ax

∴a&sup2;+b&sup2;= c&sup2;-2ax＜c&sup2;

钝b^2+c^2<a^2
直b^2+c^2=a^2
锐b^2+c^2>a^2

证明钝角三角形
设AB=c AC=b BC=a 设a最大即角A为钝角 过A过高
交BC延长线于D
设AD=d CD>BD(因为B与C实际上是对称的,一样的) BD=m
由勾股定理得 c^2=d^2+m^2 ① b^2=b^2 ②
a^2=(b+m)^2+c^2=b^2+m^2+2bm+c^2 ③
由③-①-②得 a^2-b^2-c^2=2bm>0 证毕

再证明如果满足b^2+c^2<a^2 则它一定是钝角三角形
可知cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc 因为b^2+c^2<a^2
所以cosA<0 即角A是钝角 可知假设成立

那么如果知道b^2+c^2<a^2 则它一定是钝角三角形,不可能是锐角和直角,如果b^2+c^2=a^2则它是直角,不可能为锐角
所以只有当 b^2+c^2>a^2 才有可能是锐角
同理亦可知,只有当三角形为锐角三角形时b^2+c^2>a^2

这个证明是我从网上看的，借花献佛了。我只会余弦定理因为最简单了，大边对大角，立即搞定。

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旬邑县18333721862： 【数学】证明任意三角形的三边平方的不等关系(不能用余弦定理)？
伯皆玉屏： (1)在锐角△ABC中,求证a&sup2;+b&sup2;>c&sup2;(2)在钝角△ABC中,求证a&sup2;+b&sup2; 证明:红色的线段为辅助线 (1)如图 ∵b&sup2;=x&sup2;+y&sup2; y&sup2;=c&sup2;-(a-x) &sup2; ∴b&sup2;=x&sup2;+ c&sup2;-(a-x) &sup2; ...

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旬邑县18333721862： 如何证明三角形两边之和大于第三边 - ？
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伯皆玉屏： 平面几何证法: 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得: AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+...

旬邑县18333721862： 已知abc分别为三角形的三条边,求证:a的平方 - b的平方 - c的平方 - 2bc<0 - ？
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旬邑县18333721862： 怎样证明三角形中两边的平方和大于第三边的平方 - ？
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旬邑县18333721862： 若abc是三角形三边的长,证明方程b的平方x的平方+[b的平方+c的平方 - a的平方]x+c的平方=0一定无实数根 - ？
伯皆玉屏： 0(b-c-a)(b-c+a)>0(b+c+a)&gtb平方x平方+(b平方+c平方-a平方)x+c平方=0 △=(b^2+c^2-a^2)^2-4*b^2c^2=(b^2+c^2-a^2+2bc)(b^2+c^2-a^2-2bc)=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]=(b+c-a)(b+c+a)(b-c-a)(b-c+a) 根据两边之和大于第三边(b+c-a)>0 所以(b+c-a)(b+c+a)(b-c-a)(b-c+a)&lt