考研数学课，求不定积分∫(secx)∧3dx.谢了，
∫(secx)^3dx
=∫secx(secx)^2dx
=∫secxdtanx
=secxtanx-∫tanxdsecx
=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx
=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx
=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx
=secxtanx+ln│secx+tanx│--∫(secx)^3dx
所以∫(secx)^3dx=1/2（secxtanx+ln│secx+tanx│）+C
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解：secx=1/cosx
∫secxdx=∫1/cosxdx=∫1/(cosx的平方)dsinx
=∫1/(1-sinx的平方)dsinx
令sinx=t代人可得:
原式=∫1/(1-t^2)dt=1/2∫[1/(1-t)+1/(1+t)]dt
=1/2∫1/(1-t)dt+1/2∫1/(1+t)dt
=-1/2ln(1-t)+1/2ln(1+t)+C
将t=sinx代人可得
原式=[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/2+C
证明：
如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
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怀往麦芙：[答案] ∫(secx)^3dx =∫secx(1+(tanx)^2)dx =∫secxdx + ∫tanxdsecx =∫secxdx + tanxsecx - ∫(secx)^3dx 所以得 ∫(secx)^3dx =(1/2)(∫secxdx + tanxsecx) =(1/2)ln|secx+tanx|+(1/2)tanxsecx + C
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怀往麦芙：[答案] ∫secx dx=∫(dx)/cosx=∫(cosx/cos²x)dx=∫(d sinx)/(1-sin²x)=(1/2)ln│(1+sinx)/(1-sinx)│+C=(1/2)ln(1+sinx)²/(1-sin²x)+C=(1/2)ln[(1+sinx)/cosx]²+C=ln│secx+tanx│+C
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怀往麦芙：[答案] ∫sec³x dx =∫secxdtanx =secx*tanx-∫tanx dsecx =secx*tanx-∫tan²xsecx dsecx =secx*tanx-∫sec³xdx+∫secx dx ∴∫(sec³x)dx=(secx*tanx+∫secxdx)/2 =(secx*tanx+ln|secx+tanx|)/2+C
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