高数 求过直线且垂直于平面的平面方程

求平面方程 (求过直线L且垂直于平面π的平面方程~

已知直线的方向向量为
v=（3，1，4），
已知平面的法向量为
n1=（1，1，-1），
因此，所求平面的法向量为
n=v×n1=（-5，7，2），
而直线过定点
a（-5，2，0），
所以，所求平面方程为
-5(x+5)+7(y-2)+2(z-0)=0
，
化简得
5x-7y-2z+39=0
。

用平面束

因为平面过直线，因此设其方程为 (3x-z)+k(x+y-z+5) = 0，化为 (k+3)x+ky+(-k-1)z+5k = 0，由于已知平面垂直，因此 7*(k+3)-1*k+4*(-k-1) = 0 ，解得 k = -17/2 ，所以所求平面方程为 (3x-z)-17/2*(x+y-z+5) = 0。

已知两点和一个向量都在同一个平面上，两点可以组成一个向量。这两点组成的向量能计算出来，同时还已知直线的方向向量，所以通过求法线就可以得到平面方程。

扩展资料：

注意事项：

平面的法向量N = <1, 1, 3>，容易看出，V·N = 1×1 + 2×1 + (-1)×3 = 0，V⊥N，向量V与平面平行。需要注意的是，向量不是点（实际上向量有无数点），<1, 2, -1>不同于(1, 2, -1)，在没有特殊说明的情况下，可以认为向量从原点出发。如果向量V从原点出发，V经过点(1, 2, -1)，但该点并不在平面上。

二元线性方程组的几何意义是平面上的两条直线，其解是二者的交点，三元线性方程组的几何意义是三维空间上的三个平面，可能存在唯一解、无数解或无解，平面方程用ax + by + cz = d，点到平面的距离。

参考资料来源：百度百科-平面方程

参考资料来源：百度百科-直线和平面垂直

简单计算一下即可，答案如图所示

如图所示：

那个方程为什么那么设啊

---

塘沽区15882804271： 高等数学求平面方程!设一平面垂直于平面Z=0且通过直线x - 2y+z=2 2x+y - z= - 1求该平面的方程. - ？
郑柿妥尔：[答案] 平面垂直于平面Z=0,则该平面方程可简化为y=ax+b 两平面的交线 x-2y+z=2 2x+y-z=-1,解得: x=z/5 y=(-5+3z)/5 知(0,-1,0)(1,2,5)在所求平面上,代入,求得平面方程为: y=3x-1

塘沽区15882804271： 一平面经过直线(即直线在平面上)l:x+5/3=y - 2/1=z/4,且垂直于平面x+y - z+15=0,求平面方程 - ？
郑柿妥尔：[答案] 已知直线的方向向量为 v=(3,1,4), 已知平面的法向量为 n1=(1,1,-1), 因此,所求平面的法向量为 n=v*n1=(-5,7,2), 而直线过定点 A(-5,2,0), 所以,所求平面方程为 -5(x+5)+7(y-2)+2(z-0)=0 , 化简得 5x-7y-2z+39=0 .

塘沽区15882804271： 求过一点垂直于某一直线的平面方程方法 ？
郑柿妥尔： 因为平面过直线,因此设其方程为 (3x-z)+k(x+y-z+5) = 0,化为 (k+3)x+ky+(-k-1)z+5k = 0,由于已知平面垂直,因此 7*(k+3)-1*k+4*(-k-1) = 0 ,解得 k = -17/2 ,...

塘沽区15882804271： 求解一道高数题求通过点(1,2,3)且垂直于直线2x+y+z - 5=0 2x+y - 3z - 1=0的平面的方程 - ？
郑柿妥尔：[答案] 直线方程为2x+y+z-5=0,2x+y-3z-1=0 即为平面2x+y+z-5=0与2x+y-3z-1=0的交线 平面2x+y+z-5=0的法向量为{2,1,1},平面2x+y-3z-1=0的法向量为{2,1,-3} 则直线的方向向量为 i j k n= 2 1 1 =-4i+8j+0k={-4,8,0} 2 1 -3 所以该平面方程为-4(x-1)+8(y-2)+0(z-3)...

塘沽区15882804271： 过一点且垂直一直线的平面方程 - ？
郑柿妥尔： 直线的方向向量(2,3,4)也就是平面的法向量, 所以所求平面方程为 2(x-2) + 3(y-0) + 4(z-1) = 0 , 化简得 2x+3y+4z-8 = 0 .

塘沽区15882804271： 求过直线{x+2y - 2z=5且与ZOX平面垂直的平面方程 5x - 2y - z=0直线方程是一个方程组,不太好打,可能看起来有点问题 - ？
郑柿妥尔：[答案] 设所求平面方程为 (x+2y-2z-5)+k(5x-2y-z)=0 , 化为 (1+5k)x+(2-2k)y+(-2-k)z-5=0 , 因为平面与 ZOX 平面垂直,因此它们的法向量垂直, 所以 2-2k=0 ,解得 k=1 , 因此所求平面方程为 6x-3z-5=0 .

塘沽区15882804271： 求过直线L:(x+1)/3 =(y - 1)/2 = z / - 1且与平面S:x+4y - 3z+7=0垂直的平面方程. - ？
郑柿妥尔： 是指的直线在平面内.由与平面S:x+4y-3z+7=0垂直,可得到一个方向向量,直线也有一个方向,两个方向加上一个直线上的点,就能得到平面方程

塘沽区15882804271： 已知一平面和平面外一定点,怎么求过该定点且垂直于该平面的直线方程? - ？
郑柿妥尔：[答案] 平面ax+by+cz+d=0的法向量(a,b,c)与直线的方向向量平行.直线过点(x0,y0,z0),则直线的方程是(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c 一般教科书上都有的,关键是概念,概念理清楚了,就好做了

塘沽区15882804271： 高数题 求过点B与直线AB垂直的平面方程 已知A(2, - 1,2) B(8, - 7,5) - ？
郑柿妥尔： 向量AB=(6,-6,3) 平面方程:6(x-8)-6(y+7)+3(z-5)=0 2x-2y+z=35

塘沽区15882804271： 求解高数直线与平面方程的问题过直线L:x+y - z - 1=0 2x - y+z+3=0 且与直线2x+3y - 2z+1=0垂直的平面方程为 - ------- - 实在是整不明白了 大师们快来救救我吧 我头... - ？
郑柿妥尔：[答案] 设平面束方程即可求得