幂级数的收敛性判断
∑x^(2n+1)/(2n+1),
收敛半径 R=lima/a
=lim[2(n+1)+1]/(2n+1)
=lim(2n+3)/(2n+1)=1.
当 x=1 时,幂级数变为 ∑1/(2n+1)
> ∑1/[2(n+1)] = (1/2)∑1/(n+1),
后者发散,则级数发散；
当 x=-1 时,幂级数变为 -∑1/(2n+1) ,
因 ∑1/(2n+1) 发散,则级数发散.
故收敛域是 x∈(-1,1).
即 x∈(-1,1)时收敛,x∈(-∞,-1] ∪[1,+∞) 时发散.
正确选项【D】
据题意幂级数在x=6收敛，那么收敛半径至少为4，根据阿贝尔定理可知幂级数在-4<x-2<4，即在-2<x<6内绝对收敛。
而x=-3不在-2<x<6内，|x-2|=5，而不知收敛半径是否大于5，所以幂级数在x=-3的敛散性无法确定。
下面给出一个简单的证明。
(1)可以看出a(n+2)是a(n+1)和a(n)的线性组合，而且a(1)=0,因此可以猜想
a(n)是关于β的线性函数，即
过程可以通过数学归纳法来证明，这里不加详细证明，需要过程请追问。
既然本命题成立，因此只考虑β=1的情况即可，因此将系数简记为a_n
(2) 下面给出求收敛半径的简单方法，若需要严谨的证明过程请追问
设比值
由于当n→∞时，(n+1)a_(n+1)是n(n+2)a_(n+1)的高阶无穷小，因此在极限过程中可以忽略不计，因此
即
在极限过程中，如果R_n收敛(不摆动)，那么R_n和R_(n-1)收敛于同一个数值，因此
因此在极限过程中R_n以相当于n的速度发散
然而实际上，如果R_n的发散速度太快，R_n和R_(n-1)的差值就会加大，因此实际上会有误差。但是仍然可以认为R_n发散到无穷。即幂级数在实数域内收敛。
如何判断函数级数的收敛性?
所以：a>1收敛，0<a<1，级数发散。
如何判断级数发散或者收敛?
1、比较判别法：如果一个级数的通项可以用另一个级数的通项来比较，而这个级数收敛，那么这个级数也收敛。2、比值判别法：如果一个级数的通项的绝对值的比值趋于0，那么这个级数收敛。3、根值判别法：如果一个级数的通项的绝对值的根值趋于0，那么这个级数收敛。四、级数发散的口诀。1、正项级数：...
怎么判断级数发散或收敛?
1.判断单调性：如果函数单调递增或者单调递减，并且无界，则函数发散。如果函数单调递增或者单调递减，并且有界，则函数收敛。2.判断极限：如果函数的极限存在且有限，则函数收敛。如果函数的极限不存在或者是无穷大，则函数发散。3.判断级数：如果级数的和有限，则函数收敛。如果级数的和为无穷大，则函数发...
级数收敛的判别方法
级数收敛的判别方法如下：一、判定正项级数的敛散性。1.先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）。若不趋于零,则级数发散；如果趋于零，则考虑其它方法。2.再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的，如果不是几何级数或p级数。3.用...
如何判断级数收敛性?
1、证明方法一：un=1\/n²是个正项级数，从第二项开始1\/n²＜1\/（n-1）n=1\/（n-1）-1\/n 所以这个级数是收敛的。2、证明方法二：lim(1\/n*tan1\/n)\/(1\/n^2)=lim(tan1\/n)\/(1\/n)=1；所以1\/n*tan1\/n与1\/n^2敛散性相同，1\/n^2收敛，所以原级数收敛。
如何判断一个级数收敛还是发散?
有极限（极限不为无穷）就是收敛，没有极限（极限为无穷）就是发散。例如：f（x）=1\/x 当x趋于无穷是极限为0，所以收敛。f（x）= x 当x趋于无穷是极限为无穷，即没有极限，所以发散。在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定...
怎么判断级数的收敛性?
1、正项级数比较判别法 简而言之，小于收敛正项级数的必然收敛，大于发散正向级数的必然发散。其中可以存在倍数关系，可以将一个级数放大或缩小再进行比较。若用极限形式，就是二者的比值的极限值是一个有限的正数即可。2、任意项级数阿贝尔判别法 其中一组级数收敛；另一组级数单调有界；那么二者的乘积...
请问级数收敛的判别有哪几种?
4、对于正项级数，有积分判别法：如果x>=1且f（x）〉=0且递减，则无穷级数（通项为f（n））与1到正无穷对f（x）作的积分同敛散。这个办法对于某些级数特别有效。局限性：由于其本质是将级数化成了反常积分，如果化成的反常积分的收敛性难以判断，则有可能该方法就把问题复杂化了。5、对于正项...
如何用判别法判断级数收敛性?
一、比较判别法 比较判别法是判断级数收敛的一种常用方法。如果级数∑an的每一项都是非负数，可以将其与一个已知的收敛级数∑bn进行比较，如果bn≥an，则级数∑an收敛；如果bn≤an，则级数∑an发散；如果无法比较，则比较判别法无法判断。二、比值判别法 比值判别法是判断级数收敛的另一种常用方法。
条件收敛怎么判断
1、如果级数的各项都是正数，那么要判断这个级数是绝对收敛还是发散，只需要判断级数的部分和数列是否有上界。2、如果级数的各项不全为正数，那么需要判断这个级数是否绝对收敛。可以采用比较审敛法或根审敛法来判断级数的绝对收敛性。3、如果级数绝对收敛，那么该级数一定收敛，因为绝对收敛意味着所有项的...
生印稳心： 代入端点值,化成常数项级数,先判断是否绝对收敛,再判断自身收敛性
濠江区19615817515： 怎样判断幂级数在某个点是收敛还是发散例如x的2n+1次幂/2n+1 - ？
生印稳心：[答案] ∑x^(2n+1)/(2n+1),收敛半径 R=lima/a=lim[2(n+1)+1]/(2n+1)=lim(2n+3)/(2n+1)=1.当 x=1 时,幂级数变为 ∑1/(2n+1) > ∑1/[2(n+1)] = (1/2)∑1/(n+1),后者发散,则级数发散;当 x=-1 时,幂级数变为 -∑1/(2n+1) ,因 ...
濠江区19615817515： 怎么快速判断幂级数的收敛和发散? - ？
生印稳心： ...趋近于无穷时就是发散,趋近于一个常数时就是收敛!
濠江区19615817515： 幂级数的收敛性 - ？
生印稳心： 因为1/(n*(n+1)) 1/n*(n+1) =1/n -1/(n+1) 所以从1一直加到n的和数列为1-1/(n+1),当n趋于无穷时,分母为0,即收敛于1~
濠江区19615817515： 怎样判断幂级数在某个点是收敛还是发散 - ？
生印稳心： ∑copy<n=0,∞>x^(2n+1)/(2n+1), 收敛半径 R=lim<n→∞>a<n>/a<n+1> =lim<n→∞>[2(n+1)+1]/(2n+1) =lim<n→∞>(2n+3)/(2n+1)=1. 当 x=1 时, 幂级知数变为 ∑<n=0,∞>1/(2n+1) > ∑<n=0,∞>1/[2(n+1)] = (1/2)∑<n=0,∞>1/(n+1), 后者发散道,则级数发散; 当 x=-1 时, 幂级数变为 -∑<n=0,∞>1/(2n+1) , 因 ∑<n=0,∞>1/(2n+1) 发散,则级数发散. 故收敛域是 x∈(-1,1). 即 x∈(-1,1)时收敛,x∈(-∞, -1] ∪[1, +∞) 时发散.
濠江区19615817515： 什么是缺项的幂级数?判断收敛半径! - ？
生印稳心：[答案] 幂级数的所谓缺项,就是指自变量某些幂次的系数为零.这是一个非正式的称谓,通常见于某些考研辅导书中.我曾经回答过几个类似的问题,你可以参看: 求收敛半径的方法有专用于幂级数的柯西-阿达马(Cauchy-Hadamard)公式,参见下面回答中...
濠江区19615817515： 幂级数收敛域什么时候开区间什么时候闭区间?怎么知道的啊<b? ？
生印稳心： 幂级数的收敛域与收敛区间区别只有一个:区间是否闭合.收敛区间是个开区间,而收敛域就是判断在收敛区间的端点上是否收敛.譬如说求出一个级数的收敛半径为5那...
濠江区19615817515： 判断级数是收敛还是发散？
生印稳心： 幂级数的项:n²x^n系数 a(n)=n²,x=2/3.当n→∞时,lim[a(n+1)/a(n)]=lin[(n+1)²/n²]=lim(1+1/n)²=1收敛半径:R=1.x=2/3所以幂级数收敛.
濠江区19615817515： 怎么判断数列是否为敛散性 - ？
生印稳心： 先判断这是正项级数还是交错级数 一、判定正项级数的敛散性 1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零(如果不易看出,可跳过这一步).若不趋于零,则级数发散;若趋于零,则 2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两...
濠江区19615817515： (高数)函数展开成幂级数例如根号下(x三次方)展成幂级数后,X取值为0到2,那两个端点值是否属于收敛域,怎么判断? - ？
生印稳心：[答案] 我明白你的意思,你应该说在x=1的那点展开成幂级数后,收敛半径是1,但是无法判断是开区间,闭区间还是半开半闭区间对吧? 方法是将两个端点代入变成一个常项数的级数,然后用比较法(限正项),根式法(限正项),极限法,或莱布尼茨...
