因式分解都有那些方法
提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法、双十字相乘法、对称多项式等等。
1、一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
5、双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字相乘法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
6、一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。x²+y²+z²，xy+yz+zx都是关于元x、y、z的对称多项式。
分解因式的方法有什么？
学习的方法就是多做题，多看典型的例题，并做好总结。
第二类换元法，模式是把f(x)dx经过代换x＝g(t)转化为f[g(t)]g'(t)dt，求出原函数后再回代x＝g(t)的反函数t＝h(x)。常用的代换是根式代换，三角代换，倒代换。适用于含有简单的根式，根式下是一次函数，如1/（√x+1）的积分，就可以考虑把√x代换；或被积函数里有√（a^2±x^2），√（x^2－a^2）；还有些题目可以适用到代换，把1/x代换一下，如1/（x√（1+x^2））的积分。
熟能生巧！！ 定理1 设具有原函数,可导,则有换元公式
.
此公式称为第一类换元公式(凑微分法)
说明:使用此公式的关键在于将
化为.
观察重点不同,所得结论不同.
例1 求.
解 被积函数中,是一个复合函数:,常数因子恰好是中间变量的导数.因此,作变换,便有
==,
再以代人,即得
.
例2 求.
解 被积函数.这里缺少这样一个因子,但由于是是常数,故可改变系数凑出这个因子:
,
从而令,便有
=
=.
一般地,对于积分,总可以变换,把它化为
==
例3 求.
解 被积函数中的一个因子为;剩下的因子恰好是中间变量的导数,于是有
=.
例4 求.
解 设,则,即,因此,
=
=.
例5 求.
解 =.
因为,所以设,那么,即,因此
==-
=.
类似地可得.
在对变量代换比较熟悉以后,就不一定要写出中间变量.
例6 求.
解 =.
在上例中,我们实际上已经用了变量代换,并在求出积分之后,代回了原积分变量,只是没有把这些步骤写出来而已.
例7 求.
解 =.
凑微分运用时的难点在于题中哪一部分凑成,这需要解题经验,如果记熟下列一些微分公式,解题中则会给我们一些启示:
;
例8 求.
解 由于
,
所以
=
=
=
=.
求.
解 ==.
求.
解 由于,因此,
=.
下面再举一些积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要用到一些三角恒等式.
求.
解 =
=.
求.
解 ==
=
=.
求.
解 =
=.
类似地可得 .
求.
解 =
=
因为
,
所以上述不定积分又可表为:
=.
求.
解 =
=.
.
解 =
=
=.
求.
解 利用三角学中的积化和差公式
得 ,
于是 =.
2,第二类换元法
定理2 设是单调的,可导的函数,并且.又设具有原函数,则有换元公式
=(第二类积分换元公式)
其中是的反函数.
证 设的原函数为,记,利用复合函数及反函数的求导法则,得到
,
即是的原函数.所以有
=
这就证明了公式.
下面举例说明换元公式的应用.
解 求这个积分的困难在于有根式,但我们可以利用三角公式
来化去根式.
设,那么=,,于是根式化成了三角式,所求积分化为
.
利用例14的结果得
由于,所以
,
,
于是所求积分为
.
求
解 和上例类似,可以利用三角公式
来化去根式.
设,那末,,于是
利用例17的结果得
为了要把及换成的函数,可以根据作辅助三角形(图4-3),便有
且,因此,
,
其中.
求
解 和以上两例类似,可以利用公式
来化去根式.注意到被积函数的定义域是和两个区间,我们在两
个区间内分别求不定积分
当时,设,那末
,
于是
为了把及换成的函数,我们根据作辅助三角形(图4—4),得到
因此,
其中.
当时,令,那么.由上段结果,有
=,
其中.
把在及内的结果合起来,可写作
.
从上面的三个例子可以看出:如果被积函数含有,可以作代换化去根式;如果被积函数含有,可以作代换化去根式;如果被积函数含有,可以作代换化去根式.但具体解题时要分析被积函数的具体情况,选取尽可能简捷的代换,不要拘泥于上述的变量代换(如例4,例8).
下面我们通过例子来介绍一种也很有用的代换——倒代换,利用它常可消去在被积函数的分母中的变量因子.
求
解 设 那末,于是
=,
当时,有
=
=
当时,有相同的结果.
基本积分表(2):
⒃
⒄ ,
⒅ ,
⒆ ,
⒇ ,
(21) ,
(22) ,
(23) ,
(24) .
求.
解 =,
利用公式⒇,便得
=.
求.
解 =,
利用公式(23),便得
=.
求.
解 =,
利用公式(22),便得
=.
二,分部积分法
问题:
解决思路: 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数及具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为
,
移项,得 .
对这个等式两边求不定积分,得
. (1)
公式(1)称为分部积分公式.如果求有困难,而求比较容易时,分部积分公式就可以发挥作用了.
为简便起见,也可把公式(1)写成下面的形式
. (2)
现在通过例子说明如何运用这个重要公式.
求
解 这个积分用换元积分法不易求得结果.现在试用分部积分法来求它.但是怎样选取和呢 如果设,那么,代人分部积分公式(2),得
=,
而容易积出,所以
=.
求这个积分时,如果设,那么
于是 =
上式右端的积分比原积分更不容易求出.
由此可见,如果和选取不当,就求不出结果,所以应用分部积分法时,恰当选取和是一个关键.选取和一般要考虑下面两点:
(1) 要容易求得;
(2) 要比容易积出.
求.
解 设,那末,于是
=.
求.
解 设,那末,于是
=.
这里比容易积出,因为被积函数中的幂次前者比后者降低了一次.由例26可知,对再使用一次分部积分法就可以了.于是
==
=.
总结:如果被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数为.这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次.这里假定幂指数是正整数.
求.
解 设,那末,利用分部积分公式得
=.
求.
解 设,那末,于是
=
=
=
=.
求.
解 设,那末,于是
=
=
=
=.
总结:如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设对数函数或反三角函数为.
下面几个例子中所用的方法也是比较典型的.
求.
解 设,那末,于是
=.
等式右端的积分与等式左端的积分是同一类型的.对右端的积分再用一次分部积分法:设,那末,于是
=.
由于上式右端的第三项就是所求的积分,把它移到等号左端去,再两端同除以2,便得
=.
因上式右端已不包含积分项,所以必须加上任意常数C.
求.
解 设,那末,于是
=
=
=
=.
由于上式右端的第三项就是所求的积分,把它移到等号左端去,再两端各除以2,便得
=
在分部积分法运用比较熟练以后,就不必再写出哪一部分选作u,哪一部分
选作dv.只要把被积表达式凑成的形式,便可使用分部积分公式.
求
解 令,则.于是
=
利用例2的结果,并用代回,便得所求积分:
==.
三,简单有理函数的积分
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数:
其中m和n都是非负整数;及都是实数,并
且.
假定在分子多顷式与分母多项式之间是没有公因式的.
(1)当有理函数(1)的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m,即n < m时,
称这有理函数是真分式;
(2)当n≥m时,称这有理函数是假分式.
利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之
和的形式.
例如, .
难点 将有理函数化为部分分式之和.
多项式的积分容易求得,而要计算真分式的积分需要用到真分式的下列性质:
如果多项式在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积,
如
(其中),那么真分式可以分解成如下部分分式
之和:
+
+
+
其中等都是常数.
有理函数化为部分分式之和的一般规律:
1) 分母中如果有因式,那末分解后有下列k个部分分式之和:
其中A1,A2,…,都是常数.特别地,如果k=1,那么分解后有了;
2) 分母中如果有因式,其中<0,那么分解后
有下列k个部分分式之和:
,
其中都是常数.特别地,如果k =1,那么分解后有.
真分式化为部分分式之和的待定系数法:
例如,真分式可分解成
,
其中A,B为待定常数,可以用如下的方法求出待定系数.
第一种方法 两端去分母后,得
, (3)
或 .
因为这是恒等式,等式两端的系数和常数项必须分别相等,于是有
从而解得 A=-5,B=6.
第二种方法 在恒等式(3)中,代人特殊的值,从而求出待定的常数.在(3)式中令,得A=-5;
令=3,得B=6. 同样得到
.
又如,真分式可分解成
,
再求待定系数A,B,C.两端去分母后,得
. (4)
在(4)式中,令=0,得A=1,令=1,得B=1.把A,B的值代入(4)式,并令
=2,得1=1+2+2C,即C=一1.所以
再如,真分式成
,
两端去分母后,得
,
或
. (5)
比较(5)式两端的各同次幂的系数及常数项,有
.
解之得 .
于是 .
下面举几个有理真分式的积分例子.
求.
解 因为
,
所以
=
=
=
求.
解 由于被积函数的分母是二次质因式,所以应另想别的方法.因为分子是一次式-2,而分母的导数也是一个一次式:,所以可以把分子拆成两部分之和:一部分是分母的导数乘上一个常数因子;另一部分是常数,即
.
这样,所求的积分可计算如下:
=
=.
求.
解 因为
,
所以
=
=
=.
求.
解 因为
所以
=
=
=
=.
总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说,多项式总可以在实数范围内分解成一次因式及二次质因式的乘积,从而把有理函数分解为多项式与部分分式之和.因此,有理函数的原函数都是初等函数.
十字相乘法…完全平方……
提公因式法 公式法 十字交叉法
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