自然数是什么来着?

自然数e是如何来的？~

e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828……，是这样定义的：
当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。
注：x^y表示x的y次方。
随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.71828……，不信你用计算器计算一下，分别取n=1,10,100,1000。但是由于一般计算器只能显示10位左右的数字，所以再多就看不出来了。
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
这里的e是一个数的代表符号，而我们要说的，便是e的故事。这倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧？但是搜索枯肠，大部分人能想到的重要数字，除了众人皆知的0及1外，大概就只有和圆有关的π了，了不起再加上虚数单位的i=√-1。这个e究竟是何方神圣呢？
在高中数学里，大家都学到过对数（logarithm）的观念，也用过对数表。教科书里的对数表，是以10为底的，叫做常用对数（common logarithm）。课本里还简略提到，有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数（natural logarithm），这个e，正是我们故事的主角。不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢？在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更「自然」吗？更令人好奇的是，长得这么奇怪的数，会有什么故事可说呢？
这就要从古早时候说起了。至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那么是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。
我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会，它的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫e）。所以用现在的数学语言来说，e可以定义成一个极限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到的。

我们从小就知道一二三四五（12345）等自然数，还能用手指进行十以内的加减运算。然而对于这样一个我们如此习惯的概念，其形成却是很慢的。
历史的进程并不是同步的，就像从城市中心走到郊区，我们仿佛从现代逆着时间走到过去。目前，世界上还现存不少处于原始社会，以及处于社会各个阶段的民族和部落，对他们的观察可以让我们跨越时光，走向认知之初。
考察这些部落进行计算的情况，我们发现，有些民族只有多少大小的概念，有些民族没有大于三的那些数的名称，有些民族虽然还可以往下多数几个数，但无论如何还是很快就完结了，他们能计数的只有一个两个三个等，至多二十个，然后把更大的数简单地称作“许多”或“无数地”。

原始部落
由此可见，起初，人们没有数的概念，只是直觉地感知一堆物体的多和少，比如，我有一小捧枣子，而你有一大捧枣子，明显你多我少。但是，物体的可分离性质使得人们可以将其罗列，这样就可以进行比对，最直接的便是和自己的身体比对，这产生了最开始的数。这可以从有些民族给予数的名称中看出来，例如：“手”就是五，“整个人”就是二十等。
这时的数量并非抽象的，它们总是指具体的实物，并且简单地理解为“就像手上的指头那样多”，而二十被理解为“就像一个人身上所有的手指和脚指那样多”等等。这和有些民族还没有比如“黑色的”“坚硬的”“四个”等等概念的情形完全一样。
为了说明一个物体是黑色的，他们把它与老鸦比较；而为了说明有五个东西，他们就把这些东西直接地与手比较。然后只有比五少，或者多，而没有四个三个等概念。而且常常是这样，即以不同的名称（数）用于不同种类的物体，一些是用来计算人的，比如手（指5个手指头），另一些是用来计算船只的，比如巴（指3只船），等等，共达数十种不同的数，这里不是抽象的数，这些“有名数”是分别属于一定种类的物体的，它们之间也不能运算，比如，手加巴，这是不能理解的。
有一些民族根本没有自然数的独立名称，例如没有“三”字，但是他们能够直接说“三只船”，在“三处地方”等等。这正如我们常常说这个或那个物体是黑色的，但是很少说“黑”本身，因为这个概念比较抽象。

黑色
关于物体性质的概念，比如物体的颜色或数目，其形成过程，可以分成三个阶段：在第一阶段，性质是由物体的直接比较确定的：像老鸦这个样子，就是手上的指头那样多。在第二阶段，出现了形容词：黑色的石头，同样地出现了数词：五株树等等。在第三阶段，性质脱离了物体,可以变为性质“本身”，像“黑”，像抽象的数“五”等等。
就像黑是具有煤的颜色的各种物体的公有性质一样，数“五”是所有包含像手上的指头那样多个物体的集合的公有性质，于是等数性以及序关系由简单的比对建立起来了。取出集合的一个物体，我们就弯一个手指头，就这样地用手指头一个个数出它们。完全不利用数，就用把两个集合的物体逐一比较的办法一般地即可以断定它们的物体数是否相等，例如，客人入座了，没有作任何计算，可是如果女主人少摆了一付餐具，她却能很容易地查出来，因为一个客人还没有餐具。
这样一来，可以提出数的下述定义：每一个单个的数，像“一”、“五”等等，是物体集合的一种性质。这种性质对于所有那些可以做比对的集合来说是共同的，对于那些不能做比对的集合来说是不同的。
为了要发现这种共同性质，并且把它明显地分出来，也就是为了建立这个数或那个数的概念并给像“六”、“十”等等名称，就必须在不少物体集合之间进行比较、人们世世代代地进行计算，千百万次地重复这同一种运算，于是在实践中发现了数及数之间的关系。

自然数
对于数进行计算、运算，也正是对具体物体作实在计算的反映，这也可以从数的名称中明显地看出，例如有些印第安人把数“二十六”说成“我们在两个十上面加上六”。显然这里反映出计算物体的具体方法。
尤其明显的是数的加法相当于把两个或多个物体集合堆放在一起成为一个总合，同样地容易看出减法、乘法和除法的具体意义(特别是乘法，可以看出它的产生无非是由于把两个或三个或更多的相同的集合加起来)。
在计算过程中，人们不仅发现和掌握了单个的数之间的关系，比如，二加三等于五，并且还逐渐地建立起一般规律。在实践中发现：和数与几个被加数的顺序无关，也就是对一定物体计算的结果与这计算按怎样的顺序进行无关(后面这种情形具体表现在“序”数与“量”数相致：第一、第二等等与一、二等等相一致)。因此数不是一个个无关的而是处在相互关联之中，一个数在其名称及写法上甚至可通过其他数表示出来，例如，“二十”表示“二个十”，按照法文，80-“四-二十"(quatrevingt),90-“四-二十又十”，又如，罗马数字Ⅷ,IX表示8=5+3,9=10-1。总之，不单是产生了一些单个的数，而且产生了具有一定关系和规律的数的系统。

运算
算术的对象正是具有特定关系和规律的数的系统，单个的抽象数本身不具有那种包含很多内容的性质，它的性质是通过与其他数的关系确定的。比如，数6的性质，可以指出6=5+1,6=3*2以及6是30的因子等等。这里数6处处与其他数关联着，因此，这个数的性质正是在它同其他数的关系之中。尤其明显的是，任一种算术运算都确定数之间的一种联系,因此，算术研究的是数之间的关系，但是数之间的关系是物体集合之间的现实的量的关系的抽象形态，所以我们可以说：算术是关于现实的量的关系的科学，但是这种关系是抽象的，只是在纯粹形式上加以研究的。
自然数及算术，正如我们所看到的，是反映现实物体的特定的性质，它是由于许多世代的长期实际经验而产生的。

什么是自然数？我们都知道，自然数就是集合｛0,1,2,3...n,...｝，这个定义给了自然数一个感性的描述，并且这个描述在日常生活中已经够用。但是在数学之中，自然数的定义问题曾经是数学理论大厦的最薄弱之处。如果自然数的定义问题不解决，那么很多与自然数有关的数学理论、方法，比如数学归纳法等，就值得怀疑。如果任这种状况发展下去，数学就很可能沦为经验科学，甚至整个数学大厦可能因为自然数的定义不严密而出现漏洞导致崩溃。

让我们想想自然数是怎么来的。1,2...n...这些符号分别与现实生活中一些物品的集合相对应，比如1这个符号对应一个物品，2这个符号对应两个物品;...在n个物品的集合中再加上一个物品，就得到n+1个物品;在一个物品的集合中再拿走一个物品，就得到0个物品;等等。也就是说每个自然数都是与现实中的一堆物品集合的数量相对应的。在没有自然数的数学严格定义之前，向一个人解释什么叫自然数的最严格的方法应该是把一堆现实存在的物品集合与表示自然数的符号对应起来。

如何得到自然数的严格数学定义呢？所谓数学定义，就是要把自然数的定义建立在集合论的基础上。集合是数学中最原始的概念，它不能用别的更原始的概念来定义，因此它只有性质，没有定义。但是由于集合的概念足够简单，因此人们理解它的性质没有多大问题（尽管如此，集合悖论一度震撼了数学界）。我们要定义自然数，就要把它与某个集合对应起来。这种集合应该具有自然数所具有的这些性质：

一，它有一个元素a;

二，任何元素都有且仅有一个后继（既任何元素都通过一个函数对应到另一个元素），这个后继也属于这个集合;

三，有且仅有一个元素不是任何一个元素的后继，这个元素是a。

于是设计满足这三条性质的集合，简单说来，这个集合如下：

｛Φ，Φ+,Φ++,Φ+++,....｝，其中A+=A∪{A}。

这时我们可以称这个集合为自然数集。

再强制性地把自然数的惯用符号与这个集合的元素对应起来，就使日常所用的自然数得到了集合论的意义，即：

0 = Φ
1 = Φ+ = 0+ = {0}
2 = Φ++ = 1+ ={0,1}
.
.
.
n = {0,1,2,...,n-1}

简单说就是大于等于零的整数.
自然数
用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码1，2，3，4，……所表示的数。自然数由1开始，一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论——自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。
自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③1不是任何元素的后继者。④不同元素有不同的后继者。⑤(归纳公理)N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N

是大于或等于0的数啊

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水磨沟区13997085684： 数学里的;自然数,是什么意思? - ？
之该秘诀：[答案] 自然数(natural number)简单说就是大于等于零的整数.用以计量事物的件数或表示事物次序的数 .即用数码1,2,3,4,……所表示的数 .自然数由1开始 ,一个接一个,组成一个无穷集合.自然数集有加法和乘法运算,两个自然数相加或相乘的结果仍为...

水磨沟区13997085684： 数学里什么是自然数 - ？
之该秘诀： 自然数就是整数,不可能是小数或分数.如0、1、2、3、4、5、6、7、8、9…等等

水磨沟区13997085684： 什么数是叫做自然数呢? - ？
之该秘诀：[答案] 用以计量事物的件数或表示事物次序的数 .即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数 .表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始(包括0),一个接一个,组成一个无穷的集体.自然数包括0.自然数包括全体非负整数(小数不算)自然数...

水磨沟区13997085684： 什么是自然数?自然数的定义是什么? - ？
之该秘诀：[答案] 现在的定义:是大于或等于0的整数,也就是非负整数. 但是在1998年(可能是9几年)以前0是不作为自然数的,但现在教科书把它加进去了.

水磨沟区13997085684： (自然数是什么意思呢) - ？
之该秘诀：[答案] 简单说就是大于等于零的整数.自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数.即用数码1,2,3,4,……所表示的数.自然数由1开始,一个接一个,组成一个无穷集合.自然数集有加法和乘法运算,两个自然数相加或相乘的结果仍为自...

水磨沟区13997085684： 什么叫做自然数,自然数有哪些?自然数就是用一位数表示出来的非负数非小数叫自然数.如0,1,2,3,4到9都是自然数.它是数学中任何大小数目都离不开的... - ？
之该秘诀：[答案] 用以计量事物的件数或表示事物次序的数 .即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数 .表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始(包括0),一个接一个,组成一个无穷的集体.自然数包括0.自然数包括全体非负整数(小数不算)自然数...

水磨沟区13997085684： 自然数的定义,和自然数是什么 - ？
之该秘诀：[答案] 用以计量事物的件数或表示事物次序的数 .即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数 .表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始(包括0),一个接一个,组成一个无穷的集体. 自然数是人们认识的所有数中最基本的一类 自然数就是我们常说的正整数和0....

水磨沟区13997085684： 什么叫做自然数的定义是什么 - ？
之该秘诀：[答案] 非负整数,包括正整数,现在也包括“0”.自然数也通常是指非负整数.自然数即用以计量事物的件数或表示事物次序的数,是用数字0,1,2,3,4,……所表示的数.我们常用的计数单位有:个、十、百、千、万、十万等等.

水磨沟区13997085684： 自然数的概念是什么?指什么?自然数包括1和0吗? - ？
之该秘诀：[答案] 用以计量事物的件数或表示事物次序的数 .即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数 .表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始(包括0),一个接一个,组成一个无穷的集体.

水磨沟区13997085684： 数学上的自然数指的是什么? - ？
之该秘诀：[答案] 自然数 用以计量事物的件数或表示事物次序的数.即用数码1,2,3,4,……所表示的数.自然数由1开始,一个接一个,组成一个无穷集合.自然数集有加法和乘法运算,两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数,也可以作减法或除法,但...