已知数列{an}的通项为an,前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项

已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,已知a3=11,S9=153,求数列{an}的通项公式~

设首项为a1,方差为d
a1=a3-2d=11-2d,
a9=a3+6d=11+6d
S9=n(a1+a9)/2=9*(11-2d+11+6d)/2=153
d=3
a1=a3-2d=11-2d=5
通项公式=a1+(n-1)d=5+(n-1)3=2+3n

解：
(1)
an是Sn和2的等差中项，则2an=Sn +2
n=1时，2a1=a1+2 a1=2
Sn=2an-2
Sn-1=2a(n-1)-2
an=Sn-Sn-1=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列。
an=2^n
x=bn y=b(n+1)代入直线方程：bn-b(n+1)+2=0
b(n+1)-bn=2，为定值。
又b1=1，数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列。
bn=1+2(n-1)=2n-1
综上，数列{an}的通项公式为an=2^n，数列{bn}的通项公式为bn=2n-1
(2)
Bn=n+2n(n-1)/2=n²
1/B1+1/B2+...+1/Bn=1/1²+1/2²+...+1/n²
<1+1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]
=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=2-1/n<2
(3)
Tn=b1/a1+b2/a2+...+bn/an
=1/2^1+3/2^2+...(2n-1)/2^n
Tn/2=1/2^2+3/2^3+...+(2n-3)/2^n+(2n-1)/2^(n+1)
Tn-Tn/2=Tn/2=1/2^1+2/2^2+2/2^3+...+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2^1+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+(1/2)[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+1-(1/2)^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
=3/2-(2n+3)/2^(n+1)
Tn=3-(2n+3)/2^n<3
令f(n)=(2n+3)/2^n
f(n+1)-f(n)=(2n+5)/2^(n+1)-(2n+3)/2^n=-(2n+1)/2^(n+1)<0
f(n+1)<f(n)
随n增大，(2n+3)/2^n单调递减，(2n+3)'/(2^n)'=2/[n2^(n-1)]，当n->∞时，(2n+3)/2^n->0，
Tn->3。
要对一切正整数n，Tn<c恒成立，则c≥3，c的最小值为3。

解：（Ⅰ）由题意可得2an=sn+2，
当n=1时，a1=2，
当n≥2时，有2an-1=sn-1+2，两式相减，整理得an=2an-1即数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an=2n．
点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上得出bn-bn+1+2=0，即bn+1-bn=2，
即数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此bn=2n-1．
（Ⅱ）Bn=1+3+5+…+（2n-1）=n2
∴1B1+1B2+…+1Bn=112+122+132+…+1n2＜1+11×2+12×3+..+1(n-1)．n=1+(1-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n)
=2-1n＜2∴1B1+1B2+…+1Bn＜2．
（Ⅲ）Tn=12+322+523+…+2n-12n①
12Tn=122+323+524+…+2n-12n+1②
①-②得12Tn=12+122+123+223+…+22n-2n-12n+1
∴Tn=3-12n-2-2n-12n＜3
又T4=12+322+423+724=3716＞2
∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．

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儋州市15360044908： 已知数列{an}的通项为an,前n项的和为sn,且an是sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1 - ？
戚柄更年： 由于an是sn与2的等差中项 因此an=(Sn+2)/2=1/2(Sn)+1=an=1/2(an+S(n-1))+1 an=S(n-1)+2 a(n-1)=1/2(S(n-1))+1 S(n-1)=2(a(n-1)-1) an=S(n-1)+2=2(a(n-1)-1)+2=2a(n-1) 是等比数列 a1=1/2a1+1 a1=2 an=2^n a2=4 由于(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上 所以bn-b(n+1)+2=0 b(n+1)-bn=2 是等差数列 又b1=1 故bn=1+2(n-1)=2n-1

儋州市15360044908： 已知数列{an}的通项为an,前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项;数列{bn}中,b1=1,点P(bn,b(n+1))在直线x - y+2=0上.？
戚柄更年： (1) 数列{an}的通项为an,前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项 所以有2+Sn=2an 当n=1时,2+S1=2a1 2+a1=2a1 a1=2 当n>1时,2an=2+Sn=2+an+S(n-1) an=2+S(n-1) a(n+1)=2+Sn=2+an+S(n-1)=an+2+S(n-1)=2an 所以an=2a(n-1) an/a(n-1...

儋州市15360044908： 已知数列{an}的通项为an=2n - 1,Sn为数列{an}的前n项和,令bn=1Sn+n,则数列{bn}的前n项和的取值范围为( - ？
戚柄更年： ∵an=2n-1 ∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列 ∴Sn=n2 ∴bn=1 Sn+n =1 n(n+1) =1 n -1 n+1 ∴数列{bn}的前n项和为1-1 2 +1 2 -1 3 +…+1 n -1 n+1 =1-1 n+1 当n=1时,有最小值1 2 ∴数列{bn}的前n项和的取值范围为[1 2 ,1) 故选A

儋州市15360044908： 已知数列{an}的通项为:an.... - ？
戚柄更年： 两项为一组,第2k-1和2k项相加a 2k-1 +a 2k=2(2k-1)-3+5^(2k)-2=4k+25^k-7 令bk=4k+25^k-7 m为偶数,原数列的前m项和就是bk的前m/2项和,bk实际上是一个等差数列、一个等比数列和一个常数项相加,求和的话分开求就可以了 m为奇数的情况就是m为偶数的情况减去am 我这样说能明白吗?

儋州市15360044908： 已知数列{an}的通项公式为an=n•2n 求数列{an}的前n项和Sn. - ？
戚柄更年：[答案] Sn=1*2+2*22+3*23+…+n•2n ∴2Sn=1*22+2*23+3*24…+(n-1)•2n+n•2n+1 两式相减得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1 = 2−2n+1 1−2−n•2n+1 =(1-n)•2n+1-2 ∴Sn=(n-1)•2n+1+2

儋州市15360044908： 已知等差数列{An}的通项公式为An=3n - 5,求前n 项和公式及S20 - ？
戚柄更年：[答案] an=-2+3(n-1) Sn=n(a1+an)/2 =n(-2+3n-5)/2 =n(3n-7)/2 S20=20(60-7)/2=530

儋州市15360044908： 已知数列an的通项公式为an=25 - 2n求证数列an为等差数列 求数列an前n项和的最大值 - ？
戚柄更年：[答案] 1.an-an-1=25-2n-25+2(n-1)=-2 所以两项之间的差是一个常数,是等差数列 2.当 an>0的时候,Sn会增加 所以当an≤0的时候,有Sn的最大值 25-2n≤0 n≥12.5 所以a13

儋州市15360044908： ■■■一道数列求和已知数列{an}的通项公式为an= - 2n*2^n,则数列{an}的前n项和Sn=? - ？
戚柄更年：[答案] S(n)=-2*1*2^1+...+(-2)n*2^n2S(n)=-2*1*2^2+...+(-2)(n-1)*2^(n)+(-2)n*2^(n+1)以上两式相减S(n)=-[-2*2+...+(-2)*2^n-(-2)n*2^(n+1)]=-[2*(1-2^n)+2n*2^(n+1)]=2*(2^n-1)-2n*2^(n+1)

儋州市15360044908： 已知数列{an}的通项公式为an=n2(n为正奇数) - n2(n为正偶数),求其前n项和Sn. - ？
戚柄更年：[答案] 当n为偶数时,其前n项和Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an =12-22+32-42+…+(n-1)2-n2=-(1+2+3+4+…+n-1+n) =- 1 2n(1+n); 当n为奇数时,其前n项和Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an =- 1 2(n-1)n+n2= 1 2n(n+1). 其前n项和Sn= -12n(1+n),n为偶数12n(...

儋州市15360044908： 高一数学已知数列{an}的通项公式为an=3n - 50,求其前n项 ？
戚柄更年： 数列的第一项a1=-47,由an=3n-50=n= 全部