非齐次微分方程的通解公式

求非齐次微分方程的通解（拜托各位惹）~

解：(2)首先求解其对应的齐次方程的通解。y''+2y'+y=0，特征方程r²+2r+1=0得r1=r1=-1则通解为y=(C1+C2x)e^(-x)再求y''+2y'+y=e^x的一个特解：f(x)＝e^x，令y=me^x，y''＝y'＝y＝me^x代入得：me^x+2me^x+me^x＝e^x即m+2m+m＝1，解得m＝1/4则y''+2y'+y=e^x的一个特解为y＝(1/4)*e^x∴通解为y=(C1+C2x)e^(-x)+(1/4)*e^x

其中一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，它的通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。

微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
微分方程的作用
1、微分方程，是高等数学中最为重要的一个分支领域，只要在等式中含有未知量的导数与变量之间关系的方程，都可以称之为微分方程。
2、我们使用微分方程可以将一个复杂的个体分割成无限个微小部分，在利用微分方程对一个一个的小部分利用边界条件对其进行求解，最后求解整个部分的解。
3、微分方程，现在广泛应用在计算机仿真、电子电路计算、航空航天等多个领域。

非齐次微分方程的通解公式：y'+p(x)y=Q(x)。这是一类具有非齐次项的线性微分方程，其中一阶非齐次线性微分方程的表达式为y'+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)。
一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=Q(x)。
齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

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白银区18199787395： 常系数非齐次线性微分方程的通解怎么求啊? - ？
狄钞唯妙：[答案] 常系数非齐次线性微分方程的通解==常系数齐次线性微分方程的通解++ 常系数非齐次线性微分方程的的一个特解.例如:y' + y = 1 (1)(1)的齐次方程:y' + y = 0 (2)y(t) = Be^(st) s = - 1y(t) = Be^(-t) (1)的一个特y...

白银区18199787395： 一阶线性微分方程, 非齐次方程的通解公式 咋带的? 忘了 前面是看作齐次方程的通解, 后面不懂 - ？
狄钞唯妙： 人家问的是公式咋2113带,没问你通解是怎么构成的,所问非所答,非齐次是5261y'+p(x)y=Q(x),他的通解公式是e^–∫pxdx[Qxe^∫pxdx dx+c]这个公式是可4102以直接用的,只要把原方程,化非齐次形式就行,而这个公式是看做1653齐次式就齐次式通解y=Ce^-∫pxdx将常数C转换Cx而将y=Cxe^-∫pxdx带入原方程中版求出Cx就是刚才那个公式,你可以用公式法求解,也可以用最原始的方法求,个人喜权好

白银区18199787395： 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解,详解,谢谢! - ？
狄钞唯妙： 特征方程 2r^2+r-1=0 (2r-1)(r+1) r=1/2,r=-1 所以齐次通解 y=C1e^(x/2)+C2e^(-x) 设特解为y=ae^x y'=y''=y=ae^x 代入原方程得 2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x a=1 因此特解y=e^x 因此非齐次通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x

白银区18199787395： 线性非齐次微分方程的通解 - ？
狄钞唯妙： 解:∵齐次方程y＂-6y'+9y=0的特征方程是r^2-6r+9=0,则r=3(二重实根) ∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^(3x) (C1,C2是常数) ∵设原方程的解为y=(Ax^3+Bx^2)e^(3x) 代入原方程,得(6Ax+2B)e^(3x)=(x+1)e^(3x) ==>6A=1,2B=1 ==>A=1/6,B=1/2 ∴y=(x^3/6+x^2/2)e^(3x)是原方程的一个解 故原方程的通解是y=(C1x+C2)e^(3x)+(x^3/6+x^2/2)e^(3x),即y=(x^3/6+x^2/2+C1x+C2)e^(3x).

白银区18199787395： 如何求非齐次一阶线性微分方程的通解 - ？
狄钞唯妙： 一阶线性非齐次微分方程 y'+p(x)y=q(x), 通解为 y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx+C} 用的方法是先解齐次方程,再用参数变易法求解非齐次. 《高等数学》教科书上都有的.

白银区18199787395： 二阶非齐次微分方程的通解公式 ？
狄钞唯妙： 二阶非齐次微分方程的通解公式:y''+py'+qy=f(x).其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程.若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的.特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解.

白银区18199787395： 的通解,求对应的非齐次线性微分方程的 - ？
狄钞唯妙： 标准形式 y″+py′+qy=0 特征方程 r^2+pr+q=0 通解 1.两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x) 2.两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x) 3.共轭复根r=α+iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx) 标准形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) 解法 通解=非齐次方程特解+齐次...

白银区18199787395： 求微分方程的通解 用非齐次线性方程公式 - ？
狄钞唯妙： 第一种方法 微分方程取倒数,看成x对y的微分方程 利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式 过程如下: 第二种方法 看成y对x的微分方程 利用换元法求通解 过程如下: