边长为a的菱形ABCD中角DAB=60º,e是ad上动点，f是cd上动点，且满足ae+cf=a，求

在边长为a的菱形ABCD中，角DAB等于60°，E是AD上异于A,D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。~

1、连接BD
∵菱形ABCD，∠DAB=60°
∴BD=AB=BC,∠ADB=∠DCB=60°
∵AE＋CF=a，AD=CD=a
∴DE=CF
∴△BDE≌△BCF
2、∵△BDE≌△BCF
∴BE=BF,∠DBE=∠CBF
∴∠EBF=∠ABD=60°
∴△BEF总是等边三角形
3、√3/2AB≤BE<AB
√3/2a≤BE<a
S=√3/4*BE²
∴3√3/16*a²≤S<√3/4*a²

由AE+CF=a；AD=AE+ED=a；CD=DF+CF=a
∴AE=DF；CF=ED
在菱形ABCD中，连接BD
则有AB=BD=BC
∵ AB=BD，AE=DF ∠BAE=∠BDF=60°
∴△ABE≡△DBF
则有BE=BF
同理可证△BFC≡△BED
∴∠EBD=∠FBC；∠ABE=∠DBF
则∠EBF=1/2∠ABC=60°
在△BEF中 BF=BF ∠EBF=60°
∴△BEF是正三角形

证明：连接BD，

由于∠A=60° ，AD=AB

所以：△ABD是等边三角形

所以：∠1=60°

由AE+CF=AD得知：ED=FC

在△BED和△BFC中：由于∠1=∠C=60°，BD=BC，ED=FC

所以：这两个三角形全等

所以：BE=BF，∠2=∠3

而：∠2+∠4=∠5+∠3=60°

所以：∠4=∠5

所以：∠2+∠5=60°

所以：△BEF是正三角形。

可通过余弦定理求得EF的最大值:EF=(√3)a/2

所以：△EFB有最大值。

由题意可知，AE+CF=CD=DF+CF
所以AE=DF
因为菱形ABCD，∠A=60°，连接BD
得AD=AB, CD=BC,
△ABD和△BCD是正三角形，所以BD=AB
所以可证∠ADC=∠ADB+∠CDB=120°
∠ADB=∠CDB=∠A=60°
所以△ABE≌△DBF
所以BE=BF, 且∠ABE=∠DBF
所以∠ABE+∠EBD=∠DBF+∠EBD
即∠ABD=∠EBF=60°
所以△BEF是等边三角形
显然，当等边△BEF的边长最小的时候，其面积最小
E是AD边上的点，BE最小的时候，就是BE⊥AD于E的时候，因为点到直线的垂线段最短
此时，BE=√3a/2
S△BEF=3√3a²/16

ΔBAE全等ΔBDF。所以得证

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汶上县14798169016： 如图,边长为a的菱长ABCD中,角DAB=60°,E是异于AD两点的动点,F是CD上的动点,满足AE CF=a,证明:不论EF怎样移动,三角形BEF总是正三角形 - ？
展武司坦：[答案] 连接BD,分别过E、F作EM‖BD,FN‖BD 由AE+CF=a,可知AE=ME=DF=BN,NF=ED=BM 证△MEB≌△DBF≌△DEF,可证三边相等,所以△BEF恒为正三角形

汶上县14798169016： 边长为a的菱形ABCD中角DAB=60º,e是ad上动点,f是cd上动点,且满足ae+cf=a,求 - ？
展武司坦： 证明:连接BD,由于∠A=60° ,AD=AB 所以:△ABD是等边三角形 所以:∠1=60° 由AE+CF=AD得知:ED=FC 在△BED和△BFC中:由于∠1=∠C=60°,BD=BC,ED=FC 所以:这两个三角形全等 所以:BE=BF,∠2=∠3 而:∠2+∠4=∠5+∠3=60° 所以:∠4=∠5 所以:∠2+∠5=60° 所以:△BEF是正三角形.可通过余弦定理求得EF的最大值:EF=(√3)a/2 所以:△EFB有最大值.

汶上县14798169016： 已知菱形ABCD的边长为a,角DAB=60°,则|向量AB+向量AD|= - ？
展武司坦： 解:在菱形ABCD中AD//BC 且 AD=BC ∴ 向量AD=向量BC ∴向量AB+向量AD=向量AB+向量BC=向量AC ∵角DAB=60° 则角ABC=120° 在△ABC中 由余弦定理得: AC²=AB²+BC²-2AB乘以BC乘以cos∠ABC=3a² ∴AC=√3a ∴|向量AB+向量AD|=|向量AC|=√3a

汶上县14798169016： 如图,在边长为a的菱形ABCD中,角DAB=60°,E是AD上的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,说明;不论E,F怎 - ？
展武司坦： 由AE+CF=a;AD=AE+ED=a;CD=DF+CF=a ∴AE=DF;CF=ED 在菱形ABCD中,连接BD 则有AB=BD=BC ∵ AB=BD,AE=DF ∠BAE=∠BDF=60° ∴△ABE≡△DBF 则有BE=BF 同理可证△BFC≡△BED ∴∠EBD=∠FBC;∠ABE=∠DBF 则∠EBF=1/2∠ABC=60° 在△BEF中 BF=BF ∠EBF=60° ∴△BEF是正三角形

汶上县14798169016： 在边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是AD上异于A,D两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a - ？
展武司坦： 1、连接BD ∵菱形ABCD,∠DAB=60° ∴BD=AB=BC,∠ADB=∠DCB=60° ∵AE+CF=a,AD=CD=a ∴DE=CF ∴△BDE≌△BCF2、∵△BDE≌△BCF ∴BE=BF,∠DBE=∠CBF ∴∠EBF=∠ABD=60° ∴△BEF总是等边三角形3、√3/2AB≤BE<AB √3/2a≤BE<a S=√3/4*BE² ∴3√3/16*a²≤S<√3/4*a²

汶上县14798169016： 菱形abcd中,边长为a,角dab=60,E是AD上一动点,F是CD上点,AE+CF=a,证明三角形BEF为正三角形 - ？
展武司坦： ED=a-AE=FC. ∠EDB=∠FCB=60°.DB=BC=a.∴⊿EDB≌⊿FCB.(S,A,S). ∴EB=FB,∠EBD=∠FBC.∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF=∠DBC=60° ∴⊿EBF为正三角形.

汶上县14798169016： 如图,在边长为a的菱形ABCD中,角DAB=60°,E是AD上的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,说明;不论E,F怎么移动,三角形BEF总是正三角形. - ？
展武司坦： 答:AE+DE=a,AE+CF=a 所以 DE=CF AE=DF 在三角形 ABE和DBF中 AB=DB AE=DF 角A=角BDF=60度`` 所以三角形 ABE和DBF全等 依理可得 DEB和CFB全等 所以BE等于BF 角EBF=1/2角ABC 所以 三角形BEF总是正三角形

汶上县14798169016： 边长为a的菱形ABCD中 ∠DAB=60度 E为AD上异于A D两点的一动点F为CD边上的动点 且AE+CF=a 求出三角形Bef最？
展武司坦： 因为ABCD为菱形,∠DAB=60度,所以AB=BD=AD=BC=DC=a,∠BDC=∠DAB=60° 又因为AE+CF=a,所以AE=DF,△ABE≌△DBF. 四边形DEBF的面积=菱形ABCD的面积-(△ABE的面积+△CBF的面积)=菱形ABCD的面积-(△DBF的面积+△CBF的面积)=菱形ABCD面积/2 四边形DEBF的面积=△EDF的面积+△BEF的面积 设AE=DF=x,则DE=a-x △BEF的面积=菱形ABCD面积/2-△EDF的面积=(a²根号3/4)-(根号3/4)x(a-x) =根号3/4(x-a/2)²+(3根号3/16)a² 当x=a/2时,△BEF的面积的值最小为(3根号3/16)a²

汶上县14798169016： 如图,边长为1的菱形ABCD中,角DAB=60度,连结对角线AC,以AC为边做第二个菱形ACC1D1,使角D1AC=60度,按此规律所作的第2010个菱形的边长... - ？
展武司坦：[答案] 根据三角函数,依次求出几个边长值,找找规律就行了 第n个菱形边长为=(√3)^(n-1) 第2010个菱形的边长为=(√3)^2009

汶上县14798169016： 如图,边长为a的菱形ABCD中∠DAB=60°,E是异于A,D两点的动点,F是CD上的动点,满足A - ？
展武司坦： 连接BD.因为ABCD为菱形,∠BAD=60°,有ABD为正三角形,BD=CB;AE+DE=a,AE+CF=a,则DE=CF,∠ADB=∠C=60°,则三角形BED全等三角形BFC,所以BE=BF,∠EBD=∠FBC,因为∠FBC+∠FBD=60°,则∠FBD+∠DBE=60°,因为BE=BF,∠EBF=60°,所以三角形BEF总为等边三角形