在证明黎曼可积的，函数必有界的过程中，图中**式是怎么得来的？还有由*式可知是怎么得出的？求解释
积分的定义就是一个黎曼积分和的极限，
这个极限与被积曲线（在定积分是被积区间）的分割无关，与分割后选近似点无关。
如果被积函数无界，就一定可以找到一个分割后的选点，使得黎曼积分和也是无界的，所以就是（黎曼）不可积的。
区间上的连续主要麻烦就是分段问题，如果单纯的连续只需要求导，发现是一次或者二次等简单函数就已经完事了。
对于复杂函数、虚拟函数、多重分段函数、假设x=a是它的一个分段点，譬如 f(x)=g(x) (b,a] f(x)=k(x) (a,c) 这个分段函数。
要证明他在x=a处连续，显然g(a)可以求出，那么重点是x>a时。k(x)的问题，那么我们假设k(x)可以取 x=a (严格来说，是趋近于x=a)。
考察 x→a 对应k(x)→k(a) (注意不可以写等号!)
如果k(a)=g(a) 则称f(x)在x=a处连续。
类似上面这样，就是证明右边的左极限等于已知函数值，根据实际题目需要也有证明左边的右极限等于已知函数值，或者左边的右极限等于右边的左极限等等。
对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
扩展资料：
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。
特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
所谓最大值是指，[a，b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a，b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a，b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。
由于已经证明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a，b])必有上确界和下确界。
设f([a,b])的上确界为M，则必存在ξ∈[a，b]使f(ξ)=M
若不是这样，根据上界的定义，对任意x∈[a，b]，都有f(x)<M。
参考资料来源：百度百科——连续函数
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可积不一定存在原函数 ,原函数存在不一定可积举个例子说明下_百度知 ...
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广义黎曼可积条件
有界闭区间上的有界函数黎曼可积当且仅当它的不连续点集合是勒贝格零测集，也当且仅当任意开集的原像是可数个若当可测集的并，还当且仅当除去最多可数个端点以外，任意开区间的原像若当可测。在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式的零点也就是代数方程 ζ(s)=0的根。
错尚尤林： 在数学分析里面,用黎曼可积的概念就可以证明了.也可以根据定积分的概念,也就是那个求和的极限.
昌图县19811053248： 有界函数和无界函数与可积的关系 - ？
错尚尤林： 其实根据黎曼积分的定义, 可以证明:(黎曼积分的必要条件) 函数无界必不可积. 所谓无界函数的有积分, 其实是反常积分, 本质是“变限积分的极限值”. 很有内涵,记住:“变限积分的极限值”! 并非积分本身.关于e^(-x^2) 课本上应该强调了,该函数是 “积不出的”,即其原函数不能用 基本初等函数{幂函数,指数函数,对数函数,三角函数}表示. 注意!“积不出的”与“不可积”是两码事, 显然此函数是可积的.这些东西很多学生都在迷惑,关于“积不出函数”为什么“积不出”,相关证明很高深,涉及到函数论的内容.
昌图县19811053248： 证明Riemann函数Riemann可积 - ？
错尚尤林：[答案] 你指的应该是0到1上的,这样定义的函数称为Riemann函数(黎曼函数): R(x)=1,如果x=0; R(x)=1/q,如果x=p/q,p、q互素; R(x)=0,如果x是无理数; 和Dirichlet函数一样,这个函数在高等数中是非常有用的. 我要要证明Riemann可积,要用...
昌图县19811053248： 问一道可积的充要条件f(x)在【a,b】上有界,证明函数黎曼可积的充要条件是:对任意ε>0,存在【a,b】上满足以下条件的连续函数g(x),h(x)(1)g(x)≤f(x)≤h(x)任... - ？
错尚尤林：[答案] 证明:必要性,若f在[a,b]上黎曼可积,设该积分值为S 则对任意ε>0,存在分割π:a=x(0)
昌图县19811053248： 黎曼函数的性质 - ？
错尚尤林： 定理:黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0. 证明:对任意x0∈(0,1),任给正数ε,考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点,因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式(q∈N+),且对每个q,函数值等于1/q的点都是有限的,所以...
昌图县19811053248： 正切函数在(0,2/兀)可积吗?不是说可积函数必定有界吗?但是只要在一个区间上连续的函数也是可积的 - ？
错尚尤林： 首先y=tanx在(0,π/2)不可积,这里的积分是一种瑕积分,其中x=π/2是瑕点; 其次,黎曼可积函数的确是有界函数; 再次,在一个区间上连续的函数不一定可积.比如说函数f(x)=1/x在区间(0,1)上连续,但它在这个区间的积分是+∞,也就是不可积.注意:是闭区间上的连续函数必然黎曼可积!
昌图县19811053248： 函数有界是函数可积的必要条件,求反例? - ？
错尚尤林： 例如: f(x)=0 (x为有理数), f(x)=1(x为无理数) f(x)在[a,b] 上有界,但不是黎曼可积的.
昌图县19811053248： 怎么证明一个函数黎曼可积?我们老师讲到过可以利用拉格朗日中值定理取一个特殊的黎曼和,然后证明其他任意的黎曼和与这个特殊的黎曼和在最大分割长... - ？
错尚尤林：[答案] 这样证明按照定义肯定是对的,但应该比较麻烦吧……一般如果要证明一个函数黎曼可积引入函数区间上的振幅概念(就是一个区间上面最大值减去最小值),然后用达布理论,黎曼可积转化为几个等价条件,比如任给一个δ>0,都...
昌图县19811053248： 黎曼积分的两个简单证明 - ？
错尚尤林： 数学如果证明了(2),那直接用这个结论就可以很容易证明(1),因为在(1)中,f在[a,b]上的不连续点最多只有有限个,根据测度的相关知识(从单点集的测度为0及测度的可列可加性知有限点集的测度等于0),这有限个不连续点构成零测集,因此根据(2)可知f在[a,b]上可积.至于(2)的证明就不这么容易了,它的等价表述是:有界函数f(x)在[a,b]上可积的充要条件是,其振幅不能任意小的那些小区间长度之和可以任意小.严格证明如下:
