求极限时，求到一半有时需要代入，有时需要替换等价无穷小，迷糊了

求极限时使用等价无穷小的条件~

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

扩展资料求极限基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。

7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

8、特殊情况下，化为积分计算。

9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。

是啊。x趋于0时候，求极限，可以运用等价无穷小来求解。x趋于0时候，求f（x²/sin²x）也可以使用等价无穷小求解。x²和sin²x是等价无穷小，所以可以求得函数的极限。
等价无穷小：高数中常用于求x趋于0时候极限，当然，x趋于无穷的时候也可求，转化成倒数即成为等价无穷小。
拓展资料
常用等价无穷小：x趋于0时，x和sinx是等价无穷小；sinx和tanx是等价无穷小；tanx和ln(1+x)是等价无穷小；ln（1+x）和e^x-1是等价无穷小；e^x-1和arcsinx、arctanx是等价无穷小；等价无穷小，可以用乘法，但是不能互相加减，否则误差会增大到不可接受的地步。

可以把分子或分母整个换成与之等价的无穷小，也可以把分子或分母中的某个乘积因子换掉，但是有加减关系的时候一般不能替换

例如lim(x→0) (sinx-tanx)/x^3 中，sin～x，tanx～x，但是不能替换，如果化成lim(x→0) tanx(cosx－1)/x^3，那么可以把sinx替换为x，cosx－1替换为－1/2×x^2.

至于中间代入的问题，是指如果极限 lim f(x)＝lim [g(x)×h(x)]，而g(x)的极限非零，可以先把g(x)的极限计算出来，提取到极限以外，如果g(x)连续，则极限值就是函数值.

例如 1＝lim(x→0) tanx/x＝lim(x→0) sinx/x×1/cosx. 这时候的1/cosx就可以先计算出来，因为连续，所以就是把0代入了

不出现歧义时可以带入，出现歧义时要替换等价无穷小或无穷大
比如
lim((sinx)^2/x) x->0
如果带入x=0则分子分母都是0，这时就要替换等价无穷小
再比如lim((sinx)/2) x->0
带入x=0则分子是0而分母不是0，没有歧义，可以直接带入，而不拘泥于加减法或乘除法

替换等价无穷小的目的是为了将求极限的函数化简，而代入的目的是为了最终求值，这是二者最根本的区别。通常在求极限的最初步骤进行替换，到后面步骤进行代入。另外应当注意的是，如果代入导致分式函数分母为O，则代入过早或是最终极限为无穷大；如属于代入过早的情况，就要考虑采取其他的方法了。
例：lim(e^x-1)/x^(1/2) x->0若直接将x=0代入，则0/0，无意义。可先将分子换成x，极限变成limx/x^(1/2)，进一步得limx^(1/2)=0。

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阿城区17367917456： 求极限时,求到一半有时需要代入,有时需要替换等价无穷小,迷糊了 - ？
帅璐新百： 可以把分子或分母整个换成与之等价的无穷小,也可以把分子或分母中的某个乘积因子换掉,但是有加减关系的时候一般不能替换例如lim(x→0) (sinx-tanx)/x^3 中,sin~x,tanx~x,但是不能替换,如果化成lim(x→0) tanx(cosx-1)/x^3,那么可以把...

阿城区17367917456： 求极限时什么时候可以代入 ？
帅璐新百： 求极限的时候,只有在积分项相乘并且其极限值为常数的时候才可以代入并提出去.极限性质1、唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的,且它的任何子列的极限与原数列的相等.2、有界性:如果一个数列“收敛”(有极限),那么这个数列一定有界.但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛.例如数列 :“1,-1,1,-1,……,(-1)n+1”3、保号性:若(或0,使n>N时有(相应的xnN时有,则(若条件换为xn>yn ,结论不变).5、和实数运算的相容性:譬如:如果两个数列{xn} ,{yn} 都收敛,那么数列也收敛,而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和.

阿城区17367917456： 求极限时何时才能把极限直接带入?有例题 - ？
帅璐新百： 确实不能直接代入. 这个问题当初也困扰我很久.后来发现你要利用那几个极限运算的关系.就是当函数形式如f(x)g(x)或g(x)/f(x)时,有一个是确切的数字就可以代.而f(x)+g(x)时必须两个都是确切数字才能代.这题形式是[f(x)+g(x)]^u(x)根本就不可以用以上任一个可计算法则.并且当你上面可用法则代入遇到不定式(就是0*无穷,无穷乘无穷这类的不能代了.)说的不够全面,多做些题自然就能知道什么时候能代不能代了

阿城区17367917456： 在求函数的极限时为什么有时候可以直接代入x趋近的值,有时候却不能代入,要用洛必达或其他的法则运算 - ？
帅璐新百： 如果带入后的式子有意义,那就可以 否则就不行

阿城区17367917456： 请问在求极限是什么时候可以直接把x代入什么时候必须化简 - ？
帅璐新百： 你好!初等函数在定义域内是连续的,所以如果能代入求出极限值就直接代入;不能代入(例如0/0)时才需要化简.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.谢谢!

阿城区17367917456： 求极限能先代入一半吗?高数问题 - ？
帅璐新百： 只要符合极限的四则运算法则,就可以代入部分或全部

阿城区17367917456： 求极限过程中能计算部分结果吗? - ？
帅璐新百： 法1: 不能,要转化到最后再代入数值 lim[cosx-cos(sinx)cosx]/3x² (0/0型,用罗比达法则) =lim[(﹣sinx)-(cos(sinx)cosx)']/6x =lim﹛(﹣sinx)-[(cos(sinx))'cosx-sinxcos(sinx)]﹜/6x =lim﹛(﹣sinx)-[﹣sin(sinx)cos²x-sinxcos(sinx)]﹜/6x =lim[﹣sinx+sin(...

阿城区17367917456： 高数!求极限时什么时候可以分开求?等价无穷小代换什么时候可以用?什么时候可以在f(x)中直接代入x趋近的那个值? - ？
帅璐新百：[答案] 1.求极限时什么时候可以分开求? 分开后要保证各个部分有极限. 2.等价无穷小代换不能一般不能在有加减时进行,但这并不是绝对的,下面的结论在做代换时十分有用: (1)两个无穷小量相减时,如果它们不是等价无穷小量,可以分别用它们的等...

阿城区17367917456： 在求极限时什么时候可以直接代入x趋近的值,什么时候又不能代入 - ？
帅璐新百： 如果函数在x趋近的点处连续,那么就可以直接代.

阿城区17367917456： 求极限什么时候可以直接代入X,什么时候不能直接代入?还有,求极限是一个整体过程,这个是关于”求极限是一个整体过程,不能一部分求,而另一部分... - ？
帅璐新百：[答案] 你的问题从头到尾只有一个.只有整体乘项(整体除项)可以用等价替换,和非零常数极限先求.请注意,上述命题中用了只有,也就是只有上述情形可以用上述方法.第一个问题,实际上[f(x)-f(x-h)]/h=f'(x-h),当然考虑到h趋于零才...