定理证明同旁内角互补,两直角平行过程初中数学
数学定理
三角形三条边的关系
定理:三角形两边的和大于第三边
推论:三角形两边的差小于第三边
三角形内角和
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
推论1 直角三角形的两个锐角互余
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
推论3 三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的内角
角的平分线
性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言:
∵OC是∠AOB的角平分线(或者∠AOC=∠BOC)
PE⊥OA,PF⊥OB
点P在OC上
∴PE=PF(角平分线性质定理)
判定定理 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上
几何语言:
∵PE⊥OA,PF⊥OB
PE=PF
∴点P在∠AOB的角平分线上(角平分线判定定理)
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等
几何语言:
∵AB=AC
∴∠B=∠C(等边对等角)
推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
几何语言:
(1)∵AB=AC,BD=DC
∴∠1=∠2,AD⊥BC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)
(2)∵AB=AC,∠1=∠2
∴AD⊥BC,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)
(3)∵AB=AC,AD⊥BC
∴∠1=∠2,BD=DC(等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边)
推论2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角等于60°
几何语言:
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°(等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°)
等腰三角形的判定
判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等
几何语言:
∵∠B=∠C
∴AB=AC(等角对等边)
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
几何语言:
∵∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC(三个角都相等的三角形是等边三角形)
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
几何语言:
∵AB=AC,∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)
∴AB=AC=BC(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)
推论3 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
几何语言:
∵∠C=90°,∠B=30°
∴BC= AB或者AB=2BC(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)
线段的垂直平分线
定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
几何语言:
∵MN⊥AB于C,AB=BC,(MN垂直平分AB)
点P为MN上任一点
∴PA=PB(线段垂直平分线性质)
逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
几何语言:
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线判定)
轴对称和轴对称图形
定理1 关于某条之间对称的两个图形是全等形
定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
定理3 两个图形关于某直线对称,若它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那这两个图形关于这条直线对称
勾股定理
勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和,等于斜边c的平方,即
a2 + b2 = c2
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形
四边形
定理 任意四边形的内角和等于360°
多边形内角和
定理 多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n - 2)·180°
推论 任意多边形的外角和等于360°
平行四边形及其性质
性质定理1 平行四边形的对角相等
性质定理2 平行四边形的对边相等
推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
几何语言:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD‖BC,AB‖CD(平行四边形的对角相等)
∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对边相等)
AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分)
平行四边形的判定
判定定理1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AD‖BC,AB‖CD
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
判定定理2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
几何语言:
∵∠A=∠C,∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)
判定定理3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AD=BC,AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
判定定理4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
判定定理5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
几何语言:
∵AD‖BC,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
矩形
性质定理1 矩形的四个角都是直角
性质定理2 矩形的对角线相等
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD(矩形的对角线相等)
∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四个角都是直角)
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言:
∵△ABC为直角三角形,AO=OC
∴BO= AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言:
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)
判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
几何语言:
∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)
菱形
性质定理1 菱形的四条边都相等
性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
几何语言:
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD(菱形的四条边都相等)
AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC
(菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角)
判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
几何语言:
∵AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形(四边都相等的四边形是菱形)
判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言:
∵AC⊥BD,AO=CO,BO=DO
∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
正方形
性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
性质定理2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
中心对称和中心对称图形
定理1 关于中心对称的两个图形是全等形
定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称
梯形
等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
几何语言:
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠A=∠B,∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的两个角相等)
等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
几何语言:
∵∠A=∠B,∠C=∠D
∴四边形ABCD是等腰梯形(在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形)
三角形、梯形中位线
三角形中位线定理 三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半
几何语言:
∵EF是三角形的中位线
∴EF= AB(三角形中位线定理)
梯形中位线定理 梯形的中位线平行与两底,并且等于两底和的一半
几何语言:
∵EF是梯形的中位线
∴EF= (AB+CD)(梯形中位线定理)
比例线段
1、 比例的基本性质
如果a∶b=c∶d,那么ad=bc
2、 合比性质
3、 等比性质
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
几何语言:
∵l‖p‖a
(三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例)
推论 平行与三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行与三角形的第三边
垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
几何语言:
∵OC⊥AB,OC过圆心
(垂径定理)
推论1
(1) 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
几何语言:
∵OC⊥AB,AC=BC,AB不是直径
(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧)
(2) 弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧
几何语言:
∵AC=BC,OC过圆心
(弦的垂直平分线过圆心,并且平分弦所对的两条弧)
(3) 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
几何语言:
(平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧)
推论2 圆的两条平分弦所夹的弧相等
几何语言:∵AB‖CD
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等
推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
圆周角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直角
推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
圆的内接四边形
定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
几何语言:
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠C=180°,∠B+∠ADB=180°,∠B=∠ADE
切线的判定和性质
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言:∵l ⊥OA,点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言:∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA(切线性质定理)
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言:∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切线长定理)
弦切角
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
几何语言:∵∠BCN所夹的是 ,∠ACM所对的是 , =
∴∠BCN=∠ACM
和圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被焦点分成的两条线段长的积相等
几何语言:∵弦AB、CD交于点P
∴PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
几何语言:∵AB是直径,CD⊥AB于点P
∴PC2=PA·PB(相交弦定理推论)
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项
几何语言:∵PT切⊙O于点T,PBA是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB(切割线定理)
推论 从圆外一点因圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等
几何语言:∵PBA、PDC是⊙O的割线
∴PT2=PA·PB(切割线定理推论)
您好:
三角形:
(l)延长DE到F,使 ,连结CF,由 可得AD FC.
(2)延长DE到F,使 ,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形,可得AD FC.
(3)过点C作 ,与DE延长线交于F,通过证 可得AD FC.
上面通过三种不同方法得出AD FC,再由 得BD FC,所以四边形DBCF是平行四边形,DF BC,又因DE ,所以DE .
(详见http://www.xinyuwen.com/kczy/HTML/42436.html)
你连接梯形的一条对角线,会发现由两个三角形组成,他们分别是梯形上底,下底的一半,相加得出结论:梯形中位线=(上底+下底)/2。
祝,学业有成。
如图,∵∠3+∠2=180°
而∠1+∠3=180°
∴∠1=∠2
∴a//b(内错角相等,两直线平行)
晕倒,你画个图就出来咯。
设,角1 ,角3是同旁内角,角2和角3是内错角
角1+角3=180
角2=角3
角1+角2=180
角1,角3互补
角1 ,角3是同旁内角,角2和角3是内错角
角1+角3=180
角2=角3
角1+角2=180
角1,角3互补
证明:“两直线平行,同旁内角互补”(详细过程)
如图,两黑色直线平行,A、B为同旁内角。因为平行,所以角A=角C。而角C+角B=180度,所以角A+角B=180度,即A、B互补。
命题:用几何语言说出:两直线平行,同旁内角互补?
已知:L1∥L2,求证:∠2+∠3=180°,证明:∵L1∥L2,∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),∵∠1+∠3=180°(平角的定义),∴∠2+∠3=180°(等量代换),
定理“两直线平行,同旁内角互补”的证明
根据“两直线平行,同位角相等”,及“平角的定义”和“等量代换”来证明。
用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补
证明:两直线平行l1,l2,直线l3分别交l1,l2于a,b两点,同位角(锐角)∠a=∠b,假设同旁内角∠b+∠c不等于180°,因为∠a+∠c=180°(直线l3组成的平角等于180°)于是得到∠a不等于∠b,这与同位角相等矛盾,所以假设不成立。故证两直线平行,同旁内角互补。
平行四边形邻角互补怎么证明
平行四边形的对边是平行的,根据两直线平行,同旁内角互补的定理,且平行四边形的同旁内角就是平行四边形的邻角,所以平行四边形邻角互补。
怎样证明亮直线平行,同旁内角互补?
两条直线平行被第三条直线所截,2个同旁内角为分别是∠1和∠2,∠1的内错角是∠3(两直线平行,内错角相等).∵∠3+∠2=180°(平角),且∠1=角3,∴∠1+∠2=180°(等量代换)所以两直线平行被第三条所截同旁内角互补。。
如何证明两条直线平行被第三条截断同旁内角互补
成为第36位粉丝 假设两条直线平行被第三条截断,2个同旁内角为∠1,∠2,∠1的内错角是角3.∵角三+角2=180°(平角),又因为∠1=角3,∴∠1+∠2=180°(等量代换)所以两条直线平行被第三条截断同旁内角互补 编辑于 2020-04-11 查看全部2个回答 治疗腰椎间盘?「水滴筹」大病筹款_可筹...
平行线的判定定理怎么证明?
证明同位角相等两直线平行 平行线的判定:同位角相等,两直线平行。内错角相等,两直线平行。同旁内角互补,两直线平行。两条直线a,b被第三条直线c所截(或说a,b相交c),在截线c的同旁,被截两直线a,b的同一侧的角,我们把这样的两个角称为同位角。两条直线a,b被第三条直线c所截会出现“...
用内错角和同为角证明两直线平行,同旁内角互补?
用同旁内角互补,同样可以证明直线a∥b。设∠3下方的角为∠4,已知:∠2+∠4=180°,求证:a∥b。证明:∵∠2+∠4=180°,∠3+∠4=180°,∴∠2=∠3(同角的补角相等),∴a∥b(同位角相等,两直线平行)。
同旁内角互补两直线平行演绎推理证明题所示的定理
(1)如果同旁内角互补,那么两条直线相互平行.因为不平行,这两条直线会在不远处先交;这样就构成了一个三角形,同旁内角之和小于180,不满足互补的定义.所以就只能平行了 (2)三角形的三个内角和等于180,如果三角形的外角和不等于360的话,三角形的内角和等于180就不成立了,违反了三角形的定义 2.假...
时怎除痰: 如图,两黑色直线平行,A、B为同旁内角. 因为平行,所以角A=角C. 而角C+角B=180度, 所以角A+角B=180度,即A、B互补.
江川县17072028693: 定理证明同旁内角互补,快,求求你了.用内错角相等,两直线平行去证明旁内角互补,两直角平行, - ?
时怎除痰:[答案] 如图,∵∠3+∠2=180° 而∠1+∠3=180° ∴∠1=∠2 ∴a//b(内错角相等,两直线平行)
江川县17072028693: 证明:同旁内角互补,两直线平行. - ?
时怎除痰: 设一角为x,另一角为180-x, ∵180-x的补角为180-(180-x)=x 且x=x ∴两直线平行
江川县17072028693: 两直线平行,同旁内角互补的证明? - ?
时怎除痰: 假设平行四边形ABCD,那么: 角A和角B是同旁内角,它们互补,所以:A+B=180度. 角C和角B是同旁内角,它们互补,所以:C+B=180度. 所以:A=C. 同样,可以知道:B=D. 所以平行四边形对角相等.
江川县17072028693: 同旁内角互补,两直线平行. 是真命题还是假命题?说明理由 - ?
时怎除痰: 是真命题,因为如果互补的话,相加就会的180读°,这两个角所对的直线就是平行的.
江川县17072028693: 请你完成定理"两直线平行,同旁内角互补的证明 - ?
时怎除痰:[答案] 这个必须用到两直线平行,同位角相等的公理,根据其中一个角的邻补角得出两直线平行,同位角相等的定理
江川县17072028693: 同旁内角定理是什么? - ?
时怎除痰:[答案] 两条直线平行,同旁内角互补 2.同旁内角互补,两直线平行
江川县17072028693: 定理“两直线平行,同旁内角互补”的证明 - ?
时怎除痰: 根据“两直线平行,同位角相等”,及“平角的定义”和“等量代换”来证明.
江川县17072028693: 用同旁内角互补推出两直线平行 两种方法 - ?
时怎除痰: 用同旁内角互补推出两直线平行:一、设一角为x,另一角为180-x.∵180-x的补角为180-(180-x)=x,且x=x.∴两直线平行.二、已知:∠1+∠2=180°求证:L1∥L2.证明:∵∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°.∴∠1=∠3.∴L1∥L2.三、直线L3分别交L1,L2于A、B两点,同位角(锐角)∠A=∠B.假设同旁内角∠B+∠C不等于180°.∠A+∠C=180°(直线L3组成的平角等于180°),∠A不等于∠B,这与同位角相等矛盾,所以假设不成立.所以同旁内角互补,两直线平行.
江川县17072028693: 如何证明“同旁内角互补,两直线平行”(要用上∵和∴!!!!!!!!!!) - ?
时怎除痰: 证明:∵两直线平行L1,L2, ∴直线L3分别交L1,L2于A,B两点, ∵同位角(锐角)∠A=∠B, ∴假设同旁内角∠B+∠C不等于180°, ∵∠A+∠C=180°(直线L3组成的平角等于180°) ∴∠A不等于∠B,这与同位角相等矛盾, ∴假设不成立. ∴同旁内角互补,两直线平行.