几何证明
ABC和ADC关于AC对称
<BAC=<DAC
在三角形ABE中, AC为<BAE的平分线
有: AB:AE=BC:CE (角平分线性质)
如图所示,点A、B、C、D、E是圆o的五等分点，弦BE与弦AD相交于点p，
已知:∠AOB=∠BOC=∠COD∠DOE=∠EOA=180/5=72
OA=OB=OC=OD=OE=R
求p点分弦BE或弦AP为黄金分割点.
以弦BE为例,即求证BP/BE=0.618
证明:BE=AP=2*OE*sin72=2R*sin72=2R*2sin36cos36=4R*sin36cos36
∠BAE=2*∠OAE=2*(180-72)/2=108
∠AEP=(180-∠BAE)/2=(180-108)/2=36
AB=AE=BE/(2*cos36)=2R*sin72/(2*cos36)=R*sin72/cos36=R*2sin36cos36/cos36
=2R*sin36
PE=EF/cos36=AE/(2*cos36)
=[R*sin72/cos36]/(2*cos36)
=R*sin72/2*(cos36)^2
=R*2sin36cos36/2*(cos36)^2
=R*sin36/cos36
BP=BE-EP=4R*sin36cos36-R*sin36/cos36
=R*sin36*[4*(cos36)^2-1]/cos36
BP/BE={R*sin36*[4*(cos36)^2-1]/cos36}/4R*sin36cos36
=[4*(cos36)^2-1]/4*(cos36)^2=1-1/4*(cos36)^2
查表得,cos36≈0.8090,代入
BP/BE=1-1/4*(cos36)^2=1-1/4*(0.8090)^2=1-0.382=0.618
即为所证.
要用纯几何证明？还是只说这是几何题？
以下是几何证明
图麻烦LZ跟著画。。。不太难的。。。我不会用电脑画。。。
连结AC，AD，BE，BD，CE（就是连好整个星星。。。）
其中AD交BE於P，AD交CE於Q，BD交AC於R
若P是AD的黄金分割点，则应有AP*AD=AQ^2
等价於AP*AC=AQ*AR
等价於AP*AC*sin∠CAD=AQ*AR*sin∠CAD
等价於APC和ARQ两三角形面积相等
连结PR，易知三角形PCR=三角形PQR（同底等高）
所以APC和ARQ两三角形面积相等成立
故命题得证
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