求解一个线性代数问题

求解一道线性代数题~

你求的应该是(AB)-1的行列式吧

AB的行列式的值就是A和B的行列式的乘积=12

所以(AB)-1的行列式=1/12

这个矩阵A有点特殊，它的秩数是1
那么它可以分解成一个行向量与列向量的乘积
即A=BC 其中B=[1 0 -1]^T C=[1 0 -1]
因为CB=2
那么A^n=(BC)^n=(BC)(BC)...(BC)
=B(CB)(CB)....(CB)C 这里有n-1个CB
=B*2^(n-1)*C
=2^(n-1)B*C
再利用|En-AB|=|Em-BA|的性质（m、n表示下标，你去看一下资料书，一般好点的都会有）（当m、n有1个是1时，这个结论很好用）
所以|kE-A^n|=k^n|En-[2^(n-1)/k]B*C|
=k^n|E1-[2^(n-1)/k]C*B|
=k^n[1-2^n/k]
=k^n-k^(n-1)*2^n

限于一些符号不好打，希望你能看懂！（最好也希望加分，做的那么辛苦了）

首先这个问题要用线性方程组的知识来解决。

先证必要性，也就是左推右。

因为存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0 那就说明B中每个列向量就都是方程Ax=0的解，因为B为非零矩阵，所以其列向量中至少有一个为非零列向量，这就说明方程Ax=0有非零解，从而说明A不满秩，所以 |A|= 0 。

再证充分性，也就是右推左。
因为 |A|=0 说明A不满秩，所以方程Ax=0其解向量中有非零解，任意取出一个非零解向量和n-1个0向量组成矩阵就可以满足AB=0，而且B也为非零向量，所以存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0。

证毕

必要性：B的列向量为Ax=0的解，可知Ax=0有非零解，因此|A|=0
充分性：如果|A|=0，可知Ax=0有非零解，将其作为B的列向量即可

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兴国县15583206231： 求解一线性代数题 - ？
幸耐五加： 设λ2,λ3对应的特征向量为(x1,x2,x3),(y1,y2,y3) 则α1=(0,1,1)与其正交0*x1+1*x2+1*x3=00*y1+1*y2+1*y3=0 可解得:有两特解 (1,1,-1)(0,1,-1) 单位化:(1/√3,1/√3,-1/√3)(0,1/√2,-1/√2) 则:可知 A=PλP^(-1) 其中..P=0 1/√3 01 1/√3 1/√21 -1/√3 -1/√2 λ=-1 0 00 1 00 0 1 余下的就是纯矩阵乘法了.我就不做计算了.实在不好打

兴国县15583206231： 求一个线性代数的问题求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示,a1=(1,2,1,3),a2=(4, - 1, - 5, - 6),a3=( - 1, - 3, - 4, - 7),a4=(2,1,2... - ？
幸耐五加：[答案] 经初等变换知道这组向量的秩是3,由于都非零,任取3个就可以了. 比如取a1,a3,a4,那么a2=3a1+3a3+2a4

兴国县15583206231： 线性代数求解 - ？
幸耐五加： Aα1=λ1α1=α1 则Bα1=(A^5-4A^3+E)α1=A^5α1-4A^3α1+α1=α1-4α1+α1=-2α1 因此α1是B的特征向量,相应特征值是-2 其余两个特征值是2^5-4*2^3+1=1,(-2)^5-4*(-2)^3+1=1 即1是矩阵B的特征值(两重) 设相应特征向量为α2,α3,则两者都与α1线性无关 且由于B是实对称矩阵(因为A是实对称矩阵,A的多项式也是实对称矩阵) 因此α2,α3,还与α1正交(内积为0).因此可以设 α2=(1,1,0)T α3=(0,1,1)T 显然满足题意的要求.

兴国县15583206231： 求解一个线性代数问题 - ？
幸耐五加： 我来试试吧.. 1、解: (1)∵A^3=0 ∴|A|^3=0 ∴|A|=0,即|A-0E|=0,∴0是矩阵A的一个特征 设λ为矩阵A的任一特征值,则存在非零向量x,使得Ax=λx 上式两边同左乘矩阵A,得AAx=(A^2)x=A(λx)=λAx=(λ^2)x ∴λ^2是3阶矩阵A^2的特征值....

兴国县15583206231： 求解线代题 - ？
幸耐五加： 行列式每做一次行变换或者列变换 就变一次号 这个总知道吧 如果行列式只有主对角线上有元素 其他都为0 那么行列式就等于主对角线乘积 以上两点就是根本思路 把副对角线上的元素换到主对角线上就是这道题的想法 为了表述方便 设行列式为...

兴国县15583206231： 问一个线性代数的问题设一个n阶矩阵A,x为一列向量组,x不等于0,Ax不等于0.那么是否能够推出矩阵A不等于0?为什么能由题设推出Ax=0,只有零解 - ？
幸耐五加：[答案] 题目没有表达太清楚. x为一列向量组,x不等于0,Ax不等于0. 这是说存在一个非零列向量x,使得Ax不等于0; 还是对于任意一个非零列向量x,都有Ax不等于0. 第二: 是希望推出矩阵A不等于0,还是希望推出矩阵A行列式不等于0. Ax=0,只有零解 与...

兴国县15583206231： 求解一道线性代数问题??? - ？
幸耐五加： 由A*A=A得,(E-A)A=O 可看成, 以(E-A)为系数矩阵,以A的列向量为未知数的n个线性方程组. (严格来说,系数矩阵都是E-A,他们都是同一个方程组) A的所有列向量都是齐次线性方程组(E-A)A=O的解, 并且它们都是属于特征值1的特征向量. 设A的秩为r,一定有r个非零特征值(重根按重数算),其它的n-r个特征值都是0 因为A的秩为r,则一定存在r个特征向量(A的列向量)线性无关,至少有r个特征值. (这r个列向量是不是方程组的基础解系无所谓,本题不讨论这个) 综上所述,A非零特征向量都是1(r重),问题得证. 用行向量证明也是同样的结果,“中国人瘦”的表达更细腻一点.

兴国县15583206231： 解决一个线性代数的问题:看补充说明证明:a2 (a+1)2 (a+2)2 (a+3)2b2 (b+1)2 (b+2)2 (b+3)2c2 (c+1)2 (c+2)2 (c+3)2 =0d2 (d+1)2 (d+2)2 (d+3)2(其中括号后... - ？
幸耐五加：[答案] 第二、三、四列减第一列,行列式值不变,然后第三列减第二列的2倍,第四列减第二列的3倍,行列式的值始终保持不变.最后第三、四列数值成比例,于是行列式值为0. 就是这样解的.《线性代数》p76页

兴国县15583206231： 求解一道线性代数题 - ？
幸耐五加： 这个是行列式的求解 求这个行列式,先是降维 可以按照这个过程先展开第n行,也可以展开第n列都是等效的,目的就是把该行列式化简为便于计算的 多个行列式的和差 第一:按第n行展开:第N行不为零的项分别是1和a,其下标分别是n1和nn,按照行列式的性质,便得到第二个式子 这里的(-1)的n+1次方以及(-1)的2n次方表示的是其下标数字的和

兴国县15583206231： 证明:矩阵A与A的转置A'的乘积的秩等于A的秩,即r(AA')=r(A).一个线性代数问题. - ？
幸耐五加：[答案] 设 A是 m*n 的矩阵. 可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A) 1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解,好理解. 2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0 故两个方程是同解的. 同理可得 r(AA')=r(A') 另外 有 r(A)=r(A') 所以综上 r(A)=r(...