怎样用定积分推导圆锥的体积公式？求具体过程。

圆锥体积公式怎么用积分简单的推导，棱锥要怎么推。~

锥体的体积都是底面积乘以高除以3，可以用已知截面积的立体体积的积分公式计算。经济数学团队帮你解答，请及时评价。谢谢！

如图

连接圆锥顶点A向地面圆心O，在AO伤取点p,有点P向侧面作垂线交侧面与Q。再设AP为x,再过O做底面半径r，高为h 。则旋转PQ所得的面积为π(rx/h)²。因为所求圆锥的x范围是0到h，设上述面积为S（x）。 可用定积分来做。∫h-o=∫h-o πr²/h²*x²=πr²/h²*1/3h³=1/3πr²h
圆锥，数学领域术语，有两种定义。解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴 。
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；[1]
圆锥的母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形侧面展开图是扇形。
圆锥侧面展开是一个扇形，已知扇形面积为二分之一rl。所以圆锥侧面积为二分之一母线长×弧长（即底面周长）。另 外，母线长等于底面圆直径的圆锥，展开的扇形就是半圆。所有圆锥展开的扇形角度等于（底面直径÷母线）×180度。
2体积

提示：（“/” 为“÷”）
（以下“×”改为“ * ”）
（“x”为…的…次方）
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
根据圆柱体积公式V=Sh/3（V=πr2*h），得出圆锥体积公式：V=1/3Sh[2]
S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。

证明：
把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
第 n份半径：n×r÷k
第 n份底面积：pi×nx2×rx2÷kx2
第 n份体积：pi×h×nx2×rx2÷kx3

圆锥
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi×h×(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)×rx2/kx3
∵
1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2=k×(k+1)×(2k+1)÷6

圆锥(4张)
∴
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)*rx2/kx3
=pi*h*rx2* k*(k+1)*(2k+1)/6kx3
=pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
∵ 当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
∴ pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*rx2/3

圆锥
∵ V圆柱=pi*h*rx2
∴ V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3
3绘制方法

圆锥体展开图的绘制十分简单。通过绘制展开图可以精确求出圆锥体的侧面积。
体展开图

圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成。(如右图）

在绘制指定圆锥的展开图时，一般知道a（母线长）和d（底面直径）
∵弧AB=⊙O的周长
∴弧AB=πd
∵弧AB=2πa(∠1/360°)
∴2πa(∠1/360°)=πd
∴2a(∠1/360°)=d
将a,d带入2a(∠1/360°)=d得到∠1的值。这样绘制展开图的所有所需数据都求出来了。根据数据即可画出圆锥的展开图。
表面积

圆锥展开图
一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积．
圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。
S=πRx2(n/360)+πrx2或(1/2)αRx2+πrx2(此n为角度制,α为弧度制,α=π(n/180)
4面积公式

　　

圆锥侧面展开图
S侧=πrl=（nπl^2）/360（r：底面半径，l：母线长，n：圆心角度数）
底面周长（C）=2πr=（nπl）/180（r：底面半径，n：圆心角度数，l：母线长）
h=根号（l^2-r^2）（l：母线长，r：底面半径）
全面积（S）=S侧+S底
V=1/3Sh=1/3πr·2h（S：底面积，r：底面半径，h：高）
V（圆锥）=1/3·V（圆柱）=1/3·Sh =1/3·πr2h（S：底面积，r：底面半径，h：高）
5三视图

圆锥三视图是观测者从三个不同位置观察而画出的图形。
其主视图和侧视图均为等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心。

6圆锥

生活中经常出现的圆锥有：沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、铅笔头等。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。
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这是幂函数的积分规律:
1、被积函数的幂加1：
2、然后将加了1之后的幂做分母；
3、代入上限的值减去代入下限的值就是答案。

这些在所有的微积分书上都有证明，在这里是讲不清的，需要讲很长时间，有问题，可以Hi我。

这种积分的例子，举例如下：

∫xdx (从1积到2)= ½x²(从1积到2)=½(4-1)=3/2
∫x²dx (从1积到2)= ⅓x³(从1积到2)=⅓(8-1)=7/3
∫x³dx (从1积到2)= ¼x⁴(从1积到2)=¼(16-1)=15/4

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八公山区19585114783： 【数学】关于用积分推导圆锥体积公式的证明过程下图是推导,其中红色方框部分怎么算的?(越通俗越好……本人还没到大学……) - ？
许朱利鲁：[答案] 这是幂函数的积分规律:1、被积函数的幂加1:2、然后将加了1之后的幂做分母;3、代入上限的值减去代入下限的值就是答案.这些在所有的微积分书上都有证明,在这里是讲不清的,需要讲很长时间,有问题,可以Hi我.这种积分的...

八公山区19585114783： 求圆锥的体积公式怎么得来的？
许朱利鲁： 连接圆锥顶点A向地面圆心O,在AO伤取点p,有点P向侧面作垂线交侧面与Q.再设AP为x,再过O做底面半径r,高为h .则旋转PQ所得的面积为π(rx/h)².因为所求圆锥的x范围是0到h,设上述面积为S(x). 可用定积分来做.∫h-o=∫h-o πr²/h²*x²=πr²/h²*1/3h³=1/3πr²h

八公山区19585114783： 圆锥体的体积公式是怎么推导出来的? - ？
许朱利鲁：[答案] 给你种初等的方法 设圆锥高H,底面半径为R,底面积S=π*R^2 用平行于底面的平面把它切成n片,则每片的厚度为H/n 可把每片近似看做底半径为k/n*r的圆柱 其体积为(π*k/n*r)^2*h/n,对k=1到n求和得 S=πR^2H*(1/6/n^3)*n*(n+1)*(2n+1) 令n=无穷...

八公山区19585114783： 求解释积分公式怎么用 - ？
许朱利鲁：[答案] 帮你推一下圆锥体积吧,设圆锥底面半径为R,高为H.设距圆锥顶点距离为x的圆面面积为S.由相似三角形可得该圆面半径为Rx/H.则S=派(R^2/H^2)x^2.圆锥体积V= 定积分从0到HS=派(R^2/H^2)x^2dx,其原函数为1/3派(R^2/H^2)x^3,...

八公山区19585114783： 圆锥体积公式是如何推导的? - ？
许朱利鲁： 圆锥的体积是这样推导出的 其实很简单.任何物体的体积都离不开底面积*高的求法. 圆柱的体积公式是V=Sh 那么与它等底等高的圆锥的体积是 把与它等底等高的圆锥装满水,倒进圆锥体里,你可以发现倒3次才能倒满圆柱. 所以与圆柱等底等高的圆锥是这个圆柱的三分之一, 所以:圆锥的体积就是V=1/3Sh 三分之一乘底面积乘高.

八公山区19585114783： 如何推导圆锥体积公式? - ？
许朱利鲁：[答案] 圆锥沿高分成k分 每份高 h/k, 第 n份半径:n*r/k 第 n份底面积:pi*n^2*r^2/k^2 第 n份体积:pi*h*n^2*r^2/k^3 总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 因为 1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6 所以 总体积(1+...

八公山区19585114783： 微积分推导圆锥体体积公式 - ？
许朱利鲁：[答案] 主要建立圆锥体外表面的方程

八公山区19585114783： 针对于圆锥的体积推导公式最近想了一下圆的体积公式,于是回到了圆锥的体积公式上,我下面说下我的求圆锥体积的方法,首先如图图为圆锥,AG是高,... - ？
许朱利鲁：[答案] 我按照你的分割线,一段一段来讲哈第一段“因为重心是一个物体受重力作用的综合在一起的作用点,也就是物体下落时所有部分受的重力都可以用这个点受力来表示”虽然表述有点问题,不过重心基本就是这个意思.但是,首先,拿...

八公山区19585114783： 求圆锥体积公式的推导:V锥=1/3 S表 R (S表 为圆锥表面积,R为内切球半径) ,还有再问一下,这个公式在棱锥中可不可以用啊~ - ？
许朱利鲁：[答案] 设圆锥底半径为r,母线长l,高h,内切球半径R.全面积S,体积V. 如图⊿AOE∽⊿ACD ∴ l/r=﹙h-R﹚/R l=r﹙h-R﹚/R S=πr²+πrl=πr²+πr²﹙h-R﹚/R=πr²h/R V=﹙1/3﹚πr²h=﹙1/3﹚[πr²h/R]*R=﹙1/3﹚SR [此公式只适用于正棱锥,因为一般的棱锥...

八公山区19585114783： 圆锥的体积公式的推导 - ？
许朱利鲁： 用极限法可以推导: V=1/3Sh(V=1/3SH) S是底面积,h是高,r是底面半径. 设圆锥高为h,底部半径为r,把圆锥等分为k份,每份看做一个小圆柱.则第n份圆柱的高为h/k, 半径为n*r/k.则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3 总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3 而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6 则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6 K越大,这个总体积越接近于圆锥的体积.当K为无穷大时,则1/k等于0.即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一