三角形ABC中,BD.CE分别是角ABC.角ACB的平分线,EC=BD,求证:AB=AC

~ 这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理。1840年,莱默斯[C.L.Lehmus]在给斯图姆[C.Sturm]的一封信中提出的，他请求给出一个纯几何的证明，斯图姆向许多数学家提到此问题。首先回答的是瑞士大几何学家斯坦纳[J.Steiner]。后来该定理就以斯坦纳--莱默斯定理定理而闻名于世。在1965年的一篇报道中提到该定理约有60多种证法。下面给出两种证法.
己知
在△ABC中，BE,CF是∠B，∠C的平分线，BE=CF。求证:AB=AC.
证法一
设AB≠AC,不妨设ABAC，这样∠ACB∠ABC，从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2∠ABC/2=∠CBE=∠EBF。
在△BCF和△CBE中，因为BC=BC,
BE=CF，∠BCF∠CBE.
所以
BFCE。
(1)
作平行四边形BEGF，则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF，连CG，
故△FCG为等腰三角形，所以∠FCG=∠FGC。
因为∠FCE∠FGE，所以∠ECG∠EGC。
故得
CEEG=BF.
(2)
显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。
证法二
在△ABC中，假设∠B≥∠C，则可在CF上取一点F'，使∠F'BE=∠ECF'，这有CF≥CF'。
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中，由A'B≥A'C，得:
∠A'CB≥∠A'BC，即∠C≥(∠B+∠C)/2，故∠B≤∠C。
再由假设∠B≥∠C，即有∠B=∠C。
所以△ABC为等腰三角形。

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额济纳旗13661532569： 在三角形ABC中,AB等于AC,BD,CE分别为角ABC,角ACB的平分线,请说明四边形EBCD为等腰梯形. - ？
漆筠余麦： △ABC是等腰三角形, 所以两底角∠ABC=∠ACB 由于BD CE为底角的角平分线,所以∠ABD=∠ACE △ABD全等于△ACE AE=AD EB=DC AE:EB=AD:DC 所以ED平行BC 所以EBCD为等腰梯形

额济纳旗13661532569： 已知,如图 三角形ABC中,角A=60度,BD,CE分别是角ABC和角ACB的平分线相交于点E - ？
漆筠余麦： 1. ∵∠A等于60°,∴∠B+∠C=180°-60°=120° ∵BD和EC分别是∠B和∠C的角平分线,∴∠DBC+∠ECB=60° ∴∠BFC=180°-60°=120° ∵∠BFC=120° ∴∠BFE=180°-120°=60°∴∠BFE=60° 2. 连接AF (三角形的三条角平分线交于一点)∴AF为∠A的角平分线,得出△AEF和△ADF,然后根据三角形全等得出 FE=FD 全等的条件 (∠EAF=∠DAF AF=FA ∠EFA=∠DFA) 就可以算出FE等于FD了.

额济纳旗13661532569： 在三角形ABC中BD,CE分别是角B角C的角平分线已知BE=CD求证三角形ABC为等腰三角形 - ？
漆筠余麦： 由角平分线的对应边成比例,所以 BC/CD=AB/AD,BC/BE=AC/AE 因为 BE=CD 所以 AB/AD=AC/AE 所以三角形ABC和三角形ACE相似 由相似三角形对应角相等,所以角ABD=角ACE 所以角ABC=角ACB 得证~三角形ABC为等腰三角形

额济纳旗13661532569： 如图在三角形ABC中,BD,CE分别是角ABC,角ACB的角平分线BD,CE相交于点F.若三角形abc是等腰三角形,试说明df=ef - ？
漆筠余麦：[答案] ∠BCE=∠CBD=1/2∠ABC=1/2ACB ∠ABC=∠ACB BC=BC ∴△BCE≌△CBD ∴CE=BD 又∵∠BCE=∠CBD=1/2∠ABC=1/2ACB ∴△BCF中BF=CF ∴DF=BD-BF=CE-CF=EF

额济纳旗13661532569： 如图,BD和CE分别是角ABC和角ACB的平分线,且角DOC=角ECB=31°,求角ABC和角ACB的度数,它们相等吗? - ？
漆筠余麦： .〈ⅰ〉BD是ABC的平分线 ABC=2DBC CE是ACB的平分线 ACB=2ECB DBC=ECB ABC =ACB 〈ⅱ〉解:角DBC=角ECB=31° 角ABC=角ACB=62° 答: 角ABC=角ACB=62°

额济纳旗13661532569： 在三角形abc中,BD,CE分别是角ABC,角ACB的平分角.若角A=80度,求角BPC的度数. - ？
漆筠余麦：[答案] ∠BPC=180-(∠PBC+∠PCB)=180-1/2*(∠ABC+∠ACB)=180-1/2*(180-∠A)=180-1/2*(180-80)=130

额济纳旗13661532569： 在三角形ABC中,BD,CE分别是角ABC,角ACB的角平分线,BD,CE相交于点F.1.求证角BFC=90度+2分之1角A2.若角A=60度,判断FE与FD的数量关系,... - ？
漆筠余麦：[答案] (1)∵∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC∴∠BFC=180-°1/2(∠ABC+∠ACB)∴∠BFC=180≤-1/2(180°-∠BAC)∴∠BFC=180°-90°+1/∠2BAC∴∠BFC=90°+1/2∠BAC (2)FD =FE 作FM⊥AB于点M,FN⊥AC于点N∵∠A=60°∴∠MFN=120°∵BF,...

额济纳旗13661532569： 三角形ABC中,角A=60°,BD,CE分别是角ABC和角ACB的平分线,相交于点F,求证FE=FD - ？
漆筠余麦：[答案] 如图,在BC上取点G,使BG=BE,∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠FBC+∠FCB=60°,∴∠BFC=120°,∠EFB=∠CFD=60°∵BE=BG,∠EBF=∠GBF,BF=BF,∴△BEF≌△BGF,∴FE=FG,∠BFG=∠BFE=60°,∴∠GFC=60°=∠DFC,又∵CF=...

额济纳旗13661532569： 如图,在三角形ABC中,BD,CE分别是角ABC和角ACB的平分线,交点为O,(1)若角A等于60度,求角BOC的度数;(2)若角A=a,试用a的代数式表示角... - ？
漆筠余麦：[答案] ∵BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线 ∴∠DBC=½∠ABC,∠ECB=½∠ACB ∴∠DBC+∠EDB=½(∠ABC+∠ACB) ∵∠ABC+∠ACB=180º-∠A ∴∠DBC+∠EDB=90º-½∠A ∵∠BOC=180º-(∠DBC+∠EDB)=90º+½∠A ∴ (1)∠A=60º,...

额济纳旗13661532569： 在三角形ABC中,角A=60度,BD,CE分别是AC,AB上的高,F是BC上的中点.连结DE,DF.若AB不等于AC,三角形DEF还 - ？
漆筠余麦： 由EF是直角△BCE斜边BC的中线,∴BC=2EF.同理:DF是直角△BCD斜边BC的中线,∴BC=2DF,得EF=DF(1) 由∠FEC=∠FCE,∠FDB=∠FBD,∴∠FEC+∠FDB=∠FCE+∠FBD,而∠FCE+∠FBD=∠BOE=60°(O是BD,CE交点) 在四边形AEFD中:∠EFD=360-60-90-90-60=60°,即△DEF是等边三角形.