三角形的五心及其几何性质，要有图片解释的。
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百度上有详细的介绍
三角形五心分别指三角形内心、外心、垂心、重心和旁心。以下是它们的性质和证明方法：1. 内心：三角形内接圆的圆心，同时也是三条角平分线的交点。性质：内心到三角形三边的距离相等。证明：假设内心为I，三角形三边分别与圆心O相切于A,B,C，连接OI。则由切线定理可知，OA=OI，OB=OI，OC=OI，因此I到三角形三边的距离相等。2. 外心：三角形外接圆的圆心，即三条垂直平分线的交点。性质：三角形三个角的平均值等于360度，并且外心到三角形三个顶点的距离相等。证明：假设外心为O，连接OA，OB，OC。可以证明AO=OB=OC=圆周半径R，因此外心到三角形三个顶点的距离相等。又因为外接圆的圆心在三角形外，不妨设角A为外角，则∠BAC=∠BOC，∠CAB=∠COB，∠ABC=∠AOB，所以三角形三个角的平均值等于360度。3. 垂心：三角形三边与对边垂线的交点（也可以定义为三条高线的交点）。性质：垂心到三角形三边的垂线长度相等。证明：假设垂心为H，连接AH，BH，CH。因为∠ABH=∠ACH=90度，所以AH过B,C的垂线长度相等，同理可以证明BH，CH过A,C的垂线长度相等。4. 重心：三角形三个顶点和重心连线的中垂线交点。性质：重心将中线分成2：1的比例。证明：假设重心为G，AB的中点为M，则连接GM和MA。由于∠GMB=∠GAB=90度，所以MG是AB中线的中垂线，又因为AG:GM=2:1，所以重心将中线分成2：1的比例。5. 旁心：三角形外接圆的圆心，即三角形外对接圆的圆心。性质：旁心到对边的距离相等。证明：不妨设旁心为I，三角形的B,C对应的外接圆相交于E，连接IE。由于∠E=90度，且AE=IE，所以I到AC的距离等于I到AB的距离。同理可证明I到AC，BC的距离相等。
5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线
内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线
重心：三角形的三条中线的交点.
重心分三条中线的比例为1:2,到顶点的是2
外心：三角形三边垂直平分线的交点。
是三角形外接圆的圆心.
垂心：三角形三条高线的交点。
内心：三角形三内角平分线交的点。
是三角形内接圆的圆心。到三边的距离相等.
旁心：三角形一内角平分线和另外两角的外角平分线的交点。有三个。
一、三角形的五心定义：
三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。
二、五心性质：
（一）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3,（Y1+Y2+Y3)/3。
（二）外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心.
2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.
3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合.
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c ).
5、外心到三顶点的距离相等。
（三）垂心的性质：
1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.
（四）内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.
3、P为ΔABC所在平面上任意一点,点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心,A、B、C分别为三角形的三个顶点,延长AO交BC边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC。
（五）旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
[几何]关於内心和外心,还有关於几和题型的解题技巧,希望可以帮我讲解一...
三角形有五心 一、概念 旁心是三个外角平分线的交点(因为三角形有三个外角，所以有三个旁心）。（在中学只需了解）垂心是三条高线的交点（有一个）。重心是三条中线的交点（有一个）。外心是三条垂直平分线（也就是中垂线）的交点（有一个）。内心是三条内角平分线的交点（有一个）。正三角形...
三角形的重心的性质
重心将中线按比例分成2：1：重心将每条中线分成两个部分，从重心到顶点的部分与从重心到对边中点的部分的比例为2:1。重心是平衡点：如果把三角形看成一个平面物体，以顶点为质量点，那么重心就是这个物体的平衡点，意味着通过重心的平衡轴上的力矩为零。二、三角形的五心 1、外心：外心是以三角形三...
高中数学几何概念
对三角形而言，有五心。旁心，是旁切圆的圆心，现在多不提了。重心，是三条中线的交点。垂心，是三条高的交点。内心，是三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。外心，是三边中垂线的交点，也是外接圆的圆心。正三角形的每边上均是三线合一，故正三角形的重心,垂心，内心，外心合一。（1）...
数学上三角形的几个心
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三角形重心有什么性质
外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点。内心：三角形的三条内角平分线的交点。旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点；或三角形旁切圆的圆心。三、三角的基本内涵 三角形是平面几何中最基本、最重要的图形之一。平面上不共线的三点及其每两点连结的线段所组成的封闭图形。这...
三角形的“五心”指的是?
你好，分别为：外心（三条中垂线的交点），内心（三条内角角平分线的交点），重心（三条中线的交点），垂心（三条高的交点），旁心（一角的角平分线与另外两角的外角平分线的交点）
很有意思的三角形的“五心”性质证明(高手进)
2.外心：设三角形ABC的三条边长，外接圆半径，面积分别为a,b,c,R,S,则R=abc\/4S 正弦定理啊。。。面积公式S=1\/2absinC sinC=c\/2R 3.重心：GA^2+GB^2+GC^2最小..这个用解析法可以。。还可以用复数，向量。。都是配方法。。。纯几何不知道 4.垂心：三角形任一顶点到垂心的距离，...
三角形的五心分别是什么?
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高中几何 三角形 垂心 外心 内心 重心的性质
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三角形五心定理及欧拉定理怎么证明
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昌江黎族自治县13435009325： 高中数学三角形五心的性质分别是什么 - ？
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始霭复方： 重心:中线交点.重心分中线为2:1. 垂心:高线交点. 外心:三边垂直平分线交点,外接圆圆心. 内心:三角角平分线交点,内切圆圆心.三角形的五心 一 定理 重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的 离是它到对边中点距离的...
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昌江黎族自治县13435009325： 数学中三角形的重心,垂心,中心,内心,外心都是什么,有什么性质?…谢啦 - ？
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昌江黎族自治县13435009325： 三角形有几个心啊?介绍的详细一点？
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