高等数学，定积分
首先曲线绕x=O(y轴)所得的体积公式为
∫兀x^2dy
所以绕x=a所得体积为
∫兀(a一x)^2dy
所求体积等于圆x=F(y)
绕x=3a的体积减去y=x绕其的体积
=∫兀[(3a一F(y))^2一(3a一y)^2]dy
望采纳
在矩形闸门上,距离闸门顶x、高为dx、宽为2米的微元所受到的水压力为；
∫(0,3) ρg(2+x)*2dx
=21ρg
=21*1.0*10^3*9.81
=2.0601*10^5(N)
扩展资料；
一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么
用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
参考资料来来源；百度百科-定积分
因为x趋于a，取极限后，x就用a代替了。
至于ξ为何趋于a，是因为ξ∈(a,x)，当x趋于a时，这个区间不断缩小，最终等于a。
如果不会这种办法，也可以用洛必达法则求。
答案印漏了，根据积分中值定理，δ是(a,x)之间的，x趋近a,所以δ也趋近a
解：由积分中值定理，有∫(a,x)f(t)dt=(x-a)f(ξ)，其中，a<ξ<x。∴x→a时，ξ→a。
∴lim(x→a)x[∫(a,x)f(t)dt]/(x-a)=lim(x→a)xf(ξ)=af(a)。
供参考。
答案错了，哈哈哈哈，你买的盗版书
什么叫定积分?
2、二重积分的注意事项：平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。3、三重积分的注意事项：当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。定积分与二重积分、三重积分均是高等数学中重要内容，其中...
高等数学定积分,如何积分
I = 2 ∫ <0, π\/2>x^2(cosx)^2dx = ∫ <0, π\/2>x^2(1+cos2x)dx = ∫ <0, π\/2>x^2dx + (1\/2)∫ <0, π\/2>x^2dsin2x = [x^3\/3] <0, π\/2> + (1\/2)[x^2sin2x]<0, π\/2> - (1\/2)∫ <0, π\/2>2xsin2xdx = π^3\/24 + 0 + (1\/2)∫...
高等数学,定积分,怎么求的?
降幂公式： 2(sinx)^2 = 1 - co2x I = - ∫<0, π> x(1-cos2x)dx = ∫<0, π> xcos2xdx - ∫<0, π> xdx = (1\/2)∫<0, π> xdsin2x - [x^2\/2]<0, π> = (1\/2)[xsin2x]<0, π> - ∫<0, π> sin2xdx - π^2\/2 = 0 + (1\/2)[cos2x...
高等数学求定积分问题求解(如图所示)
分享解法如下。(1) 令t=tanx。原式=∫(0,∞)dt\/[1+t^(2\/3)]³。(2)转换成贝塔函数【B(a,b)】、并且利用贝塔函数与伽玛函数【Γ(α)】的关系求解。令s=[t^(2\/3)]\/[1+t^(2\/3)]。∴原式=(3\/2)∫(0,1)[s^(1\/2)](1-s)^(1\/2)ds=(3\/2)B(3\/2,3\/2)。而...
高等数学 定积分 积分上限函数 求导
结果为第一个结果 (∫[0-->x] f(t)dt)'=f(x)，这个你一定知道 若上限换为g(x)，则 ∫[0-->g(x)] f(t)dt 求导得到f(g(x))，相当于g(x)当作变量在求导，由于g(x)只是一个中间变量，因此根据复合函数求导法则，对中间变量求导后，需再乘以g'(x)，因此结果为：f(g(x))*g'(...
问一道高等数学定积分问题
第一个是利用了积分上限求导公式，可以看成是积分函数除以（x-a）的复合函数求导。对于所给积分函数求导，因为积分上限是x，所以求导之后就是f(x)。然后利用除法符合函数求导公式，下面的平方分之上导下不导减去下导上不导就可以了。第一个红框到第二个红框，是运用了积分中值定理。也就是说，对于...
高等数学。定积分。求详细证明框内等式。
设x=π-t ∫(0,π)xf(sinx)dx =∫(π,0)(π-t)f(sint)d(-t)=∫(0,π)(π-t)f(sint)dt =∫(0,π)πf(sint)dt-∫(0,π)tf(sint)dt =π∫(0,π)f(sint)dt-∫(0,π)xf(sinx)dx 移项除以2得证
高等数学,求定积分
积分表、场论初步等三个附录以及习题参考答案·本书对基本概念的叙述清晰准确，对基本理论的论述简明易懂，例题习题的选配典型多样，强调基本运算能力的培养及理论的实际应用·本书可用作高等学校工科类本科生和电大、职大的高等数学课程的教材，也可供教师作为教学参考书及自学高等数学课程者使用·...
高等数学,定积分,要过程
∵f(x)+2∫[0,x]f(t)dt=x^2+1\/2 ∴f(0)=1\/2 两端对x求导得f(x)满足微分方程：f'(x)+2f(x)=2x 对应的齐次方程：y'=-2y ln|y|=-2x+lnC y=Ce^(-2x)设特解为：y*=C(x)e^(-2x)则：y*'=C'(x)e^(-2x)-2C(x)e^(-2x)C'(x)e^(-2x)-2C(x)e^(-...
高等数学定积分问题?
f(x) = ∫<0, 2π>e^(sint)sintdt， 则 f(x) 是常数。f(x) = ∫<0, π>e^(sint)sintdt + ∫<π，2π>e^(sint)sintdt 后者 令 u = t - π， 则 sint = sin(u+π) = -sinu I = ∫<π，2π>e^(sint)sintdt = ∫<0，π>e^(-sinu)(-sinu)du 定积分...
鱼龙速必： 求定积分【3/4,1】∫dx/[√(1-x)-15] 解:令√(1-x)=u,则x=1-u²,dx=-2udu;x=3/4时u=1/2;x=1时u=0;故原式=【1/2,0】-2∫udu/(u-15)=【1/2,0】-2∫[1+15/(u-15)]du=【1/2,0】-2[u+15∫du/(u-15)]=-2[u+15ln∣u-15∣]【1/2,0】=-30ln15+[1+30ln(29/2)]=30ln(29/30)+1.
古冶区19887013789： 高数定积分和不定积分有什么区别 - ？
鱼龙速必： 1、定义不同 在微积分中,定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限. 在微积分中,一个函数f 的不定积分,也称作反导数,是一个导数f的原函数 F ,即F′=f. 2、实质不同 若定积分存在,则是一个具体的数值(曲边梯形的...
古冶区19887013789： 高数定积分 - ？
鱼龙速必： 1.定积分偶倍奇零性质,只有D是奇函数.2.奇函数,值为03.换元u=x-t,=∫(x到0)sinud(x-u)=∫(0到x)sinudu,所以导数是sinx4.f'(x)=sin(sin²x)cosx~sin²x~x²,g(x)=x³(1+x)~x³,g'(x)~3x²,所以同阶不等价5.只有C成立,A是偶函数,B是非奇非偶函数,D定积分为常数导数为0
古冶区19887013789： 高数定积分具体定义与常规做法 - ？
鱼龙速必： 定积分的常规解法 跟 不定积分 类 即 求取 原函数·· 具体意义 如果 一段曲线在 X轴上面 那么 它的定积分 即 这段曲线与X轴围成的面积 如果 X轴上下都有 那就是 上面的面积减下面的面积··
古冶区19887013789： 高数.定积分？
鱼龙速必： 【1】求定积分f(t)=∫(t+c)e^tdt=∫(t+c)de^t=(t+c)e^t-∫e^tdt=(t+c-1)e^t+Cf(x)-f(0)=[(x+c-1)e^x+C]-[(0+c-1)e^0+C]=(x+c-1)e^x-(c-1)【2】代入方程,求c.(x+c)e^x=e^x+[(x+c-1)e^x-(c-1)=(x+c)e^x-(c-1)∴c-1=0,∴c=1.
古冶区19887013789： 高等数学,定积分的求法 - ？
鱼龙速必： 原式=<-π→π> ∫x^2sinxdx +∫5x^2dx =0+[5/3x^3] =10π^3/3 奇函数,积分区间对称=0
古冶区19887013789： 高等数学 定积分 - ？
鱼龙速必： 解:分享一种解法.∵∫√(1+θ²)dθ=θ√(1+θ²)-∫θ²dθ/√(1+θ²)=θ√(1+θ²)-∫√(1+θ²)dθ+∫dθ/√(1+θ²),∴∫√(1+θ²)dθ=(θ/2)√(1+θ²)+(1/2)∫dθ/√(1+θ²).而,∫dθ/√(1+θ²)=ln丨θ+√(1+θ²)丨+C,∴原式=[(θ/2)√(1+θ²)+(1/2)ln丨θ+√(1+θ²)丨]丨(θ=0,2π)=π√(1+4π²)+(1/2)ln[2π+√(1+4π²)].供参考.
古冶区19887013789： 高数 定积分 - ？
鱼龙速必： 要分类讨论,其中t是变量,而x是参变量.将积分区间分为[0,x](0≤t≤x),[x,1](x≤t≤1)f(x)=∫(1,0)t-xdt =-∫(0,1)t-xdt =-[∫(0,x)t-xdt+∫(x,1)t-xdt] =-∫(0,x)t-xdt-∫...
古冶区19887013789： 高等数学定积分奇偶性,计算 - ？
鱼龙速必： x是奇函数,积分为0 所以 原式=2∫(0,2)-√(4-x²)dx (几何意义,4分之1圆的面积) =-2*π*2²÷4 =-2π 或:式子可以分成两个部分,分别考察奇偶性和几何意义. I=∫xdx - ∫√ dx =0 - π*2²/2 =-2π ∫xdx 被积函数为奇函数,对称区间上定积分为0; ...
古冶区19887013789： 高等数学基础定积分？
鱼龙速必： 1/x=d(lnx) (题意中已经有lnx项说明x>0) 然后用t代替lnx 就可求解 (根据公式或者分解因式求原函数) 注意定积分的上下限也要改变
