二元一次方程组与一次函数

二元一次方程与一次函数有什么关系~

一次函数可以看成二元一次方程，两者图形一样，但意义不同。二元一次方程的图形表示的是点的运动轨迹。而一次函数图像表示的是x，y通过图像的依赖关系。二元一次方程中，x，y是平等的两个未知数，而一次函数中y是依赖于x的。
一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。
适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。每个二元一次方程都有无数对方程的解，由二元一次方程组成的二元一次方程组才可能有唯一解，二元一次方程组常用加减消元法或代入消元法转换为一元一次方程进行求解。
扩展资料：
k为一次函数y=kx+b的斜率，k=tanθ（角θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，θ≠90°）。
当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；当k互为负倒数时，两直线垂直。
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
（2）加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4）回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值。
参考资料来源：百度百科——二元一次方程
参考资料来源：百度百科——一次函数

一次函数可以看成二元一次方程，两者图形一样，但意义不同。二元一次方程的图形表示的是点的运动轨迹。而一次函数图像表示的是x，y通过图像的依赖关系。二元一次方程中，x，y是平等的两个未知数，而一次函数中y是依赖于x的。
一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。
适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。每个二元一次方程都有无数对方程的解，由二元一次方程组成的二元一次方程组才可能有唯一解，二元一次方程组常用加减消元法或代入消元法转换为一元一次方程进行求解。


扩展资料：
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1、变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
2、加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
3、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
4、回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
参考资料来源：百度百科-二元一次方程
参考资料来源：百度百科-一次函数

解：
（1）由1得：Y=-a/2X+3
由2得：Y=1/15X-1/3
当K（就是斜率）=1/15时，该方程无解
所以：-a/2=1/15
a=-2/15
所以：当A不等于-2/15事，方程组有唯一的解
（2）在（1）已求出： 当a为-2/15方程组无解
（3）无解

例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7
把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7
∴x=-24/7，y=59/7
这种解法就是代入消元法。
加减消元法
例：解方程组x+y=5① x-y=9②
解：①+②，得2x=14，即x=7
把x=7带入①，得7+y=5，解得y=-2
∴x=7，y=-2
这种解法就是加减消元法。
二元一次方程组的解有三种情况：
1.有一组解
如方程组x+y=5① 6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。
2.有无数组解
如方程组x+y=6① 2x+2y=12②，因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解
如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
[编辑本段]三元一次方程
定义：与二元一次方程类似，三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程。
三元一次方程组的解法：与二元一次方程类似，利用消元法逐步消元。

含有未知数的等式叫方程。
等式的基本性质1：等式两边同时加〔或减〕同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式。则：
〔1〕a+c＝b+c
〔2〕a-c＝b-c
等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的的数所得的结果仍是等式。
3若a=b,则b=a（等式的对称性）。
4若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
【方程的一些概念】
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。
方程有整式方程和分式方程。 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
[编辑本段]一元一次方程
人教版5年级数学上册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第七章会学到。
定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。通常形式是kx+b=0(k，b为常数，且k≠0）。
一般解法：
⒈去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
⒉去括号 一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律。
⒊移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
⒋合并同类项 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。
⒌系数化1 方程两边同时除以未知数的系数，得出方程的解。
同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
方程的同解原理：
⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
做一元一次方程应用题的重要方法：
⒈认真审题
⒉分析已知和未知的量
⒊找一个等量关系
⒋设未知数
⒌列方程
⒍解方程
⒎检（jiao）验
⒏写出答
教学设计示例
教学目标
1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题；
2．培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力；
3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．
教学重点和难点
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．
课堂教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？
为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．
例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．
(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)
解法1：(4+2)÷(3-1)=3．
答：某数为3．
(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)
解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4．
解之，得x=3．
答：某数为3．
纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．
本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．
二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15％后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉？
师生共同分析：
1．本题中给出的已知量和未知量各是什么？
2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)
3．若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？
上述分析过程可列表如下：
解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x千克，由题意，得
x-15％x=42 500，
所以 x=50 000．
答：原来有 50 000千克面粉．
此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？
(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)
教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程；
(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．
依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：
(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；
(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)；
(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；
(4)求出所列方程的解；
(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．
[编辑本段]二元一次方程（组）
人教版7年级数学下册会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到。
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
代入消元法
例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7
把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7
∴x=-24/7，y=59/7
这种解法就是代入消元法。
加减消元法
例：解方程组x+y=5① x-y=9②
解：①+②，得2x=14，即x=7
把x=7带入①，得7+y=5，解得y=-2
∴x=7，y=-2
这种解法就是加减消元法。
二元一次方程组的解有三种情况：
1.有一组解
如方程组x+y=5① 6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。
2.有无数组解
如方程组x+y=6① 2x+2y=12②，因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解
如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
[编辑本段]三元一次方程
定义：与二元一次方程类似，三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程。
三元一次方程组的解法：与二元一次方程类似，利用消元法逐步消元。
典型题析：
某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定:每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费.某月甲用户比乙用户多缴水费16元,乙用户比丙用户多缴水费7.5元.已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲.乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?
解：设甲用水x吨,乙用水y吨，丙用水z吨
显然，甲用户用水超过了20吨
故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23
乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-7
丙缴费：0.9z
2.4x-23=1.6y-7+16
1.6y-7=0.9z+7.5
化简得
3x-2y=40－－－－(1)
16y-9z=145-------(2)
由(1)得x=(2y+40)/3
所以设y=1+3k,3<k<7
当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7
当k=5,y=16,代入(2),z没整数解
当k=6,y=19,代入(2),z没整数解
所以甲用水22吨,乙用水13吨，丙用水7吨
甲用水29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元</CA>
[编辑本段]一元二次方程
人教版9年级数学上册会学到，冀教版9年级数学上册第二十九章会学到。
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。
由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。
一般形式：ax^2+bx+c=0 (a≠0)
一般解法有四种：
⒈公式法（直接开平方法）
⒉配方法
⒊十字相乘法
⒋因式分解法
（由于精力有限，不举例说明如何解，望有人能帮忙）
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。
[编辑本段]附注
一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0；
n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；
一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；
n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解

1.x=5时,y=0,则a=3/5
2.y=ax-3与xy轴交点分别是(3/a,0)
(0,-3)
则一次函数的图像与x轴，y轴围成的三角形面积为s=1/2.|3/a|.|-3|=|9/2a|<2
则-4<9/a<4
则a<-9/4或a>9/4
懂了吗？
希望能帮到你
O(∩_∩)O~

过程：
ax+y=b可以整理成为函数解析式y=-ax+b
mx-y=n可以整理成为函数解析式y=ax-n
既然x=3,y=-1是方程组的解，
就说明把x=3,y=-1带入两个方程中能够使两个方程左右两边相等，
也就是说把有序数对（3，-1）带入两个函数解析式中，两个函数解析式左右两边全都相等，于是说明（3，-1）这个点不仅仅是y=-ax+b上的点，同时也是y=ax-n上的点，就说明（3，-1）是两个函数图像的公共点，也就是交点
结果：（3，-1）

y=负十五分之四
那么这个y就可以忽略了
（1）a不为零
（2）无无解情况
（3）当a=0时有无数解

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王益区13754415297： 二元一次方程遇一次函数有何区别二元一次方程与一次函数有何区别? - ？
除侄藏青：[答案] 二元一次方程反映的是二元的关系,一次方程则含有自变量和因变量,并且自变量与因变量的顺序是一定的,不能随便改变.但是二元一次方程中二元的自变与因变是不确定的.它们都可以在直角坐标系中反映出来,二元一次方程经转...

王益区13754415297： 二元一次方程与一次函数有何联系、区别? - ？
除侄藏青：[答案] 方程和函数是两个不同的数学概念: 方程是从人类实际活动和生产过程中,人们根据实际情况,在假设未知量已知的基础之上列出的计算算式 ,通过该算式人们可以求解出未知量.而函数的概念则不同,函数是数集A到数集B的一种映射(即:对应关...

王益区13754415297： 一次函数与二元一次方程组之间的关系有什么? - ？
除侄藏青：[答案] 一次函数就是二元一次方程,只不过形式不同而已,叫法不同而已;两个或两个以上的二元一次方程用括号括起来就组成一个二元一次方程组,实际上也是两个一次函数放在一起,它们的解在图像上就是两个一次函数图象——直线的交 点坐标!

王益区13754415297： 一次函数与二元一次方程有什么关系 - ？
除侄藏青： 一次函数的表达式就是一个二元一次方程,反过来,任何一个二元一次方程都可以化成一次函数的表达形式.如:y=3x+2是一次函数表达式,也可以表示成:3x-y+2=0的二元一次方程式.望采纳

王益区13754415297： 二元一次方程与一次函数 - ？
除侄藏青：[答案] 二元一次方程,实际上是两个一次函数, 而这两个一次函数的交点就是二元一次方程的解 不知道这样回答你满意不?

王益区13754415297： 一次函数和2元一次方程组有什么联系 - ？
除侄藏青： 一次函数表示一条直线.二元一次方程组是由两个一次函数组成,它的解即为此两个一次函数所代表的两条直线的交点.

王益区13754415297： 一次函数与二元一次方程组之间的关系有什么? - ？
除侄藏青： 一次函数就是二元一次方程,只不过形式不同而已,叫法不同而已;两个或两个以上的二元一次方程用括号括起来就copy组成一个二元一次方程组,实际上也是两个一次函数放在一起,它们的解zhidao在图像上就是两个一次函数图象——直线的交 点坐标!!

王益区13754415297： 一次函数与二元一次方程、一次函数与一元一次方程之间的联系点和区别点是什么? - ？
除侄藏青：[答案] 1、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐...

王益区13754415297： 一次函数与二元一次方程组的关系:解方程组相当于求_____的值和_____的值,从形的角度看,解方程组相当于求两直线_____的坐标 - ？
除侄藏青：[答案] 一次函数与二元一次方程组的关系: 解方程组相当于求【x】的值和【y】的值, 从形的角度看,解方程组相当于求两直线【交点】的坐标.

王益区13754415297： 二元一次方程与一次函数有什么关系? - ？
除侄藏青： 有具体的题么?由一个二元一次方程可以整理出 y=ax+b的式子,这就是一次函数 此一次函数是唯一的 而一次函数对应的方程 可以由各项系数同乘一个不为0的数来改变 也就是说一次函数对应的方程有无数个 解方程组也可以用这种方法:将整理后的二个一次函数在坐标系里画出来 其交点的横纵坐标就是二元一次方程组的解