设对于数列an有lim|an+1|/|an|=c<1,证明an是无穷小数列

设数列{an}满足an+1=a2n-2，n∈N*．若存在常数A，对于任意n∈N*，恒有|an|≤A，则a1的取值范围是______~

由题意，an+1=a2n-2≥-2，∴a1≥-2，若a1=2，则an=2，若a1＜2，则令a1=2cosθ，∴an=2cos（2n-1θ），∴|an|＜A综上，存在常数2，对于任意n∈N*，恒有|an|≤2，此时a1的取值范围是[-2，2]．故答案为：[-2，2]．

（1）据条件得2+1an+1＜n(n+1)(1an+1an+1)＜2+1an①当n=1时，由2+1a2＜2(1a1+1a2)＜2+1a1，即有2+14＜2a1+24＜2+1a1，解得23＜a1＜87．因为a1为正整数，故a1=1．当n=2时，由2+1a3＜6(14 +1a3)＜2+14，解得8＜a3＜10，所以a3=9．（2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：an=n2．下面用数学归纳法证明．①当n=1，2时，由（1）知an=n2均成立；②假设n=k（k≥2）成立，则ak=k2，则n=k+1时由（1）得2+1ak+1＜k(k+1)(1k2+1ak+1)＜2+1k2∴k3(k+1)k2?k+1＜ak+1＜k(k2+k?1)k?1(k3+1?1)(k+1)2k3+1＜ak+1＜k[(k2+k)2?1]k3?1，即(k3+1?1)(k+1)2k3+1＜ak+1＜k3(k+1)2?kk3?1∴(k+1)2?(k+1)2k3+1＜ak+1＜(k+1)2+1k?1因为k≥2时，（k3+1）-（k+1）2=k（k+1）（k-2）≥0，所以(k+1)2k3+1∈(0，1]．k-1≥1，所以1k?1∈(0，1]．又ak+1∈N*，所以（k+1）2≤ak+1≤（k+1）2．故ak+1=（k+1）2，即n=k+1时，an=n2成立．由1°，2°知，对任意n∈N*，an=n2．

liman=0，就说明an｝是无穷小数列

同学，你是WHU的吧？那个数列题 用单调有界原理证明 下边三个求极限的题 1从分母提出个X 注意符号 答案是 -1 2先通分，然后两次洛必达法则 答案是3/2 3先用In，先把……x^2给弄下来，再洛必达法则 也可以用泰勒公式展开 答案是e^(-1/3)

8#

证明：由|aN+1|/|an|=c, 有
|an+1|=c^(n+1)|a0|
则 lim(n->无穷)|an+1|
=lim(n->无穷)c^(n+1)|a0|
=0
因而an是无穷小序列

1、原式=lim(x->无穷)x/x=1

2、原式=3/2

3、太复杂，有时间试度吧

同学，我也识破你WHU学子的真身…因为我也在做这道题= =

各位，这题我得了-8分，求破

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白河县18986112855： 求解,如果数列{an}收敛lim an+1=lim an ,谢谢 - ？
樊华复方： 极限的唯一性

白河县18986112855： 若数列{an}满足a1=根号6 a(n+1)=根号下an+6 (n∈N*) 如果lim an 存在,求lim an的值[数列极限] - ？
樊华复方： liman=liman+1 an+1=根号下an+6 即liman+1=根号下liman+1 +6 liman+1=3或-2 -2舍去(显然an>0) 所以lim=3

白河县18986112855： 数列{an}满足lim(an+1 - an)=a,证明liman/n=a - ？
樊华复方：[答案] lim(an+1-an)=lim(an+1-an)/(n-(n-1))=a,由于{n}单调增,由Stolz定理,liman/n=a

白河县18986112855： 设an是单增正数列,求证:当an有上界时,级数(1 - an/an+1)收敛 - ？
樊华复方： 法一 当an有界时原级数写成Σ(an+1-an/an+1)而Σ(an+1-an)=an+1-a1 因为数列an有界所以上式有界且1/an单调递减(因为an递增)还<1/a1 由Abel判别法有 原级数收敛 法2 limΣ(an+1-an/an+1)<lim(an+1-a1)/a 因为an有界 所以原级数收敛

白河县18986112855： 已知无穷等比数列{an}的极限存在,且满足a1=a>0,an+1=2an+3/an,则liman=? - ？
樊华复方： 极限存在,则liman=lim(an+1),设liman=x,则:x=2x+3/x,求出x即可

白河县18986112855： 数列an满足|an+1|<=q|an|,n>=N(N为一确定正整数,0<q<1为常数)用夹逼定理证明lim|an|=0,从而liman=0 - ？
樊华复方： 0≤|an|≤q|an-1|≤q^2|an-2|≤...≤q^(n-1)|a1| ―›0 (n―›∞) 所以 lim|an|=0,从而liman=0

白河县18986112855： 对于数列a(n),有lima(n+1)/a(n)=c〈1,证明数列a(n)是无穷小数列 - ？
樊华复方： 根据极限定义,对e=(1-c)/2, 存在N>0, 当n>N时 a(n+1)|/|a(n)|-ca(n+1)|/|a(n)||a(n)|由于 lim|a(N)|q^(n-N)=0 所以 lim|a(n)|=0 数列a(n)是无穷小数列

白河县18986112855： 数列有界性判断的问题 - ？
樊华复方： 解:由 n-->∞l时, lim(an-an-1)=0 得liman-liman-1=0 即liman=liman-1 又 n-1-->∞时 liman-1≠0 有 liman/liman-1=1 即 lim(an/an-1)=1=lim1 有 an/an-1=1 该数列为常数列. 常数列必为有界数列, ∴该数列为有界数列.

白河县18986112855： 数列证明设{An}为一正数数列,且lim[A(n+1)/An]=0,证明数列{An}当n充分大后为单调减数列.希望各位学长帮忙啊. - ？
樊华复方：[答案] 考虑B(n)=A(n+1)/A(n) 本题等价于证明当n充分大后,B(n)因为lim(B(n))=0, 由极限的性质,对于任意的e>0,存在N,使得对任意n>N时,有B(n)这里只要取e=1即可.

白河县18986112855： 一个数列an存在极限,那么它的绝对值也存在极限?且大小同!??? - ？
樊华复方： 解:一个数列an存在极限,那么它的绝对值也存在极限,且大小同为数列an极限的绝对值.即若liman=A,则lim|an|=|A| 证明如下: 任取ε>0 因为liman=A 所以存在N,当n>N时,恒有|an-A|<ε 又|an|=|an-A+A|≤|an-A|+|A| 于是有|an|-|A|≤|an-A| ............