已知任意三角形ABC,AD平分角BAC,求证:AD^2=AB*AC-BD*DC.(
在AC上取一点M,使角ADM=角ABC,所以三角形ABD相似于三角形ADM,所以AB/AD=AD/AM,即AD^2=AB*AM,只需证明AB*AM=AB*AC-BD*DC 化简即 AB*MC=BD*DC 由图可知 三角形CMD相似于三角形CDA , 所以CM*CD=CD*AC 再由三角形角平分线定理可知 AB/AC=BD/DC 即CD/AC=AB/BD 所以 CM/CD=AB/BD 所以AB*CM=BD*DC 从而得之结论! 边看边画图 加油!!
用余弦定理和半角倍角公式结合可证,比较麻烦
AB*AC-DB*DC=AD*AD是成立的。理由如下: 在△ABC中,延长AB到E,使BE=BD,则AE=AB+BD.
在AC边上取点F,使CF=CD,则AF=AC-CD.
连结ED,FD.我们只要能证明△AED与△ADF相似就可以了.
而在△AED与△ADF中,∠EAD=∠DAF=∠A/2;
∠CDF+∠CFD=180°-∠C=∠A+∠B,即∠CFD=(∠A+∠B)/2;
故∠ADF=∠CFD-∠A/2=(∠A+∠B)/2-∠A/2=∠B/2=∠AED;
所以△AED~△ADF,则AE/AD=AD/AF,即 AD^2=AE×AF=(AB+BD)(AC-CD)=AB*AC-AB*CD+AC*BD-BD*CD;
另外,过C作DA的平行线交BA延长线于G点,则有BD/DC=BA/AG,因为∠AGC=∠BAD=∠DAC=ACG,所以AC=AG。代入比例式得:BD/DC=BA/AC,
即:AB*CD=AC*BD,
所以
AD^2=AB*AC-BD*CD,即AB*AC-DB*DC=AD*AD成立。
作三角形ACE相似于三角形ADB(延长AD至E)
三角形ADB相似于三角形ACE,三角形CDE
由相似得AC/AD=AE/AB AD/CD=BD/ED
所以AB*AC=AD*AE AD*ED=BD*CD
AB*AC=AD*(AD+DE)
=AD^2+AD*DE
=AD^2+BD*CD
故AD^2=AB*AC-BD*DC
三角形三个内角和为180度 命题的已知求证
已知:任意三角形ABC求证:此三角形中至少有一个角小于或等于60°。证明:令∠A≥∠B≥∠C>60°,则有 ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°,这与三角形内角和等于180°矛盾,∴原假设不成立 ∴三角形中至少有一个角小于或等于60° ...
正弦定理sinA\/a=sinB\/b=sinC\/c=2R是怎么证明的
简单分析一下,答案如图所示
已知abc是三角形abc的三边长,求证:
首先,我们考虑三角形的基本性质。在任意三角形ABC中,任意两边之和必须大于第三边。这是三角形存在的基本条件,也是三角形不等式定理的核心内容。接下来,我们逐一验证这三个不等式。对于a+b>c,这意味着在三角形ABC中,边a和边b的长度之和必须大于边c的长度。同理,a+c>b和b+c>a也分别表示边...
已知:△ABC是任意三角形。 (1)如图1所示,点M、P、N分别是边AB、BC...
解:(1)∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点, ∴线段MP、PN是△ABC的中位线, ∴MP∥AN,PN∥AM∴四边形AMPN是平行四边形∴∠MPN=∠A。 (2)∠MP 1 N+∠MP 2 N=∠A正确如图所示,连接MN∵ ,∠A=∠A∴△AMN∽△ABC∴∠AMN=∠B, ∴MN∥BC, ∵点P 1 、P 2 是边...
已知任意一个三角形ABC, DF DE EF分别是三角形的三个外角平分线它们相交...
△DEF为锐角三角形 证明:如图:∠D=180-∠DAB-∠DBA=180-1\/2*(180-∠BAC)-1\/2*(180-∠ABC)=1\/2(∠BAC+∠CAB)<1\/2(∠BAC+∠CAB+∠ACB)=90度 同理可证:∠E、∠F小于90度 证毕
怎样证明三角形abc的外心到三角形三个顶点的距离都相等?
证明:任意三角形ABC,作ABC的外接圆O。作直径BD交⊙O于D,连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度,因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C。所以c\/sinC=c\/sinD=BD=2R。类似可证其余两个等式。∴a\/sinA=b\/sinB=c\/sinC=2R。
已知:在任意三角形ABC中,D E F 分别是AB,AC,BC上的动点 D E F 在...
D、E、F在三边的中点的时候周长最短!!
已知任意三角形的两边和夹角,怎样用三角函数求出第三边的长度
两种方法:一、最简单的,使用三角函数的余弦定理。c²=a²+b²-2abcosC 依据上述公式,直接求解,即得。二、勾股定理,以已知的一边为斜边,夹角为直角三角形的一内角,做一直角三角形。求出高及一直角边。结合待求的边,又是一直角三角形,再计算出即可。
已知三角形ABC中,AB=15,AC=13,BC=14,求三角形ABC的面积
在Rt△ADC中,AD2=152-(14-x)2 ∴132-x2=152-(14-x)2 132-x2=152-196+28x-x2 解得x=9 ∴CD=5 在Rt△ACD中,AD=12 ∴△ABC的面积=1\/2×BC•AD=1\/2×14×12=84 故答案为84 三角形的性质 1、在平面上三角形的内角和等于180°(内角和定理)。2、在平面上三角形的...
一个任意的三角形分成ABC三个三角形,使A的面积是B的3倍
B的底边长为:1.732050807568877 C的底边长为:2 所以,把一个任意的三角形分成ABC三个三角形,使A的面积是B的三倍,C的面积是B的四倍的方法是: 把原三角形分成三个三角形,底边分别为1.7320508075688772,1.732050807568877,2,高分别为0.3849001794597505,0.12830005981991685,0.4444444444444444。
德楠巴美: AD平分角BAC,所以角BAD=角CAD AD垂直于BC,所以角ADB=角ADC=90 所以角B+角BAD=90,角C+角CAD=90 因为角BAD=角CAD,所以角B=角C 所以三角形ABC为等腰三角形.
九里区19232612318: 已知:如图,在三角形ABC中,AD平分角BAC,DE垂直AB与E,求证:三角形ABC是等腰三角形. - ?
德楠巴美: (图自己去画)证明:∵AD平分S△ABC ∴AD是BC边上中线 再证△AED≌△AFD (AAS) 得DE=DF 又∵BD=CD ∠BED=∠CFD=90° △DEB≌△DFC(HL) ∴∠B=∠C ∴△ABC是等腰△
九里区19232612318: 已知三角形ABC中,AD平分角BAC,AD=AB,CM垂直AD于M,求证:AM=1/2(AB+AC) - ?
德楠巴美: 证:因为AB=AD,所以角ABD=角ADB,在△ABD内,2角ADB+角BAD=180°,所以角ADB+角BAD/2=90°,因为角ADB和角CDM为对顶角,且CM垂直AD,所以角DCM=角BAD/2,因为AD平分角BAC,所以角DCM=角CAD/2,延长AM至点N,使MD=MN,并联结CN,则根据三线合一性质,可知△CDN也是等腰△,所以角DCM=角NCM,即角DAC=角DCN,加上公共角ANC,所以△ACN也是等腰△,AC=AN,因为AB+AC=AD+AN=(AM-MD)+(AM+MN)=2AM,所以命题得证.
九里区19232612318: 已知:如图,三角形ABC中,AD平分角BAC,且BD=CD.求证AB=AC - ?
德楠巴美: 上面那个不对,没SSA的,应该过点D作AB和AC的垂线.设交AB于点E,交AC于点F.因为角DEB与角DFC是直角,且BD=DC,DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等),所以△DBE全等于△DCF,所以角DBE=角DCF,所以AB=AC(在同一个三角形中,等角对等边) 怎么样,厉害吧,怎么说我也是初三的大姐姐啊,智商就是高一点 嘻嘻 低调低调
九里区19232612318: 已知,如图所示三角形ABC中,AD平分角BAC,角B=2角C,求证AB+BD=AC - ?
德楠巴美: 过点D做DE交AC与E使得 AE=AB 则用SAS可得∆BAD全等于∆EAD 所以 AE=AB ,ED=BD 且综上 AB+BD=AE+EC=AC
九里区19232612318: 如图,已知在三角形ABC中,AB等于AC ,AD平分角BAC.请说明下列结论成立的理由: - ?
德楠巴美: (1)因为AD是平分角BAC 所以角BAD=角DAC 又因为由题目知AD=AC,AD为三角形ABD和三角形ACD的公共边 所以根据边角边 三角形ABD全等于三角形ACD (2)因为三角形ABD全等于ACD 所以根据全等原则 BD=CD
九里区19232612318: 已知在△ABC中AD平分∠BAC,BD=CD.求证:AB=AC,AD⊥BC(提示:过点D作DE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AC于点F) - ?
德楠巴美: 根据已知条件,三角形的一个角的平分线,同时又是对边的中线,那么这个三角形是等腰三角形.你是要证明这个定理吗?过点D作DE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AC于点F DE=DF(角一部分线上的点到角两边的距离相等.在直角三角形BDE和直角三角形CDF中,BD=CD,DE=DF ,<BED=<CFD=Rt < 直角三角形BDE和直角三角形CDF全等,<B=<C 三角形ABC是等腰三角形,所以AB=AC<B+<1/2<BAC=<C+1/2<BAC180/2=Rt< 所以,<ADB=<ADC=Rt< AD⊥BC
九里区19232612318: 已知三角形ABC全等于三角形A'B'C',AD,A'D'分别是三角形ABC和三角形A'B'C'的角平分 - ?
德楠巴美: 三角形ABC全等于三角形A'B'C' 所以AB=A'B',∠B=∠B',,∠A=∠A'∵AD,A'D'分别是三角形ABC和三角形A'B'C'的角平分线, ∴∠BAD=∠B'A'D'∴△ABD≌△A;B'D' ∴AD=A'D'
九里区19232612318: 如图 已知三角形ABC中,AD平分角BAC,且BD=CD,DE垂直于AB,DF垂直于AC,垂足 - ?
德楠巴美: 答:角B=角C 因为DE垂直AB,DF垂直AC 所以角BED=角CFD=90度(垂直定义) 因为D是BC中点 所以BD=CD(线段中点定义) 因为AD平分角BAC,点D在AD上 所以DE=DF(角平分线上的点到角两边距离相等) 因为在Rt三角形BED和Rt三角形CFD中,BD=CD,DE=DF 所以Rt三角形BED全等于Rt三角形CFD(HL) 所以角B=角C(全等三角形对应角相等) 备注:需要证明全等三角形.
九里区19232612318: 已知三角形abc中.ad平分角bac.三角形abd:三角形acd=3:2.求bd:dc - ?
德楠巴美: 根据角分平线性质得BD:DC=4:2 设⊿ABC高位h,则S⊿ABD=3=1/2·BD·h;S⊿ADC=1/2·DC·h∴S⊿ABD:S⊿ADC=1/2·BD·h:1/2·DC·h 3:S⊿ADC=BD:DC=4:2S⊿ADC=1.5