已知任意三角形ABC,AD平分角BAC,求证:AD^2=AB*AC-BD*DC.(

AD是三角形ABC的角平分线,求证AD^2=AB*AC-BD*DC~

在AC上取一点M,使角ADM=角ABC，所以三角形ABD相似于三角形ADM,所以AB/AD=AD/AM,即AD^2=AB*AM,只需证明AB*AM=AB*AC-BD*DC 化简即 AB*MC=BD*DC 由图可知 三角形CMD相似于三角形CDA , 所以CM*CD=CD*AC 再由三角形角平分线定理可知 AB/AC=BD/DC 即CD/AC=AB/BD 所以 CM/CD=AB/BD 所以AB*CM=BD*DC 从而得之结论！ 边看边画图 加油！！

用余弦定理和半角倍角公式结合可证，比较麻烦

AB*AC-DB*DC=AD*AD是成立的。

理由如下： 在△ABC中，延长AB到E，使BE＝BD，则AE=AB+BD．

在AC边上取点F，使CF＝CD，则AF=AC－CD．

连结ED，FD．我们只要能证明△AED与△ADF相似就可以了．

而在△AED与△ADF中，∠EAD=∠DAF=∠A/2；
∠CDF+∠CFD=180°-∠C=∠A+∠B,即∠CFD=(∠A+∠B)/2；

故∠ADF=∠CFD-∠A/2=(∠A+∠B)/2-∠A/2=∠B/2=∠AED；

所以△AED～△ADF，则AE/AD=AD/AF，即 AD^2＝AE×AF＝(AB＋BD)(AC－CD)=AB*AC-AB*CD+AC*BD-BD*CD；

另外，过C作DA的平行线交BA延长线于G点，则有BD/DC=BA/AG，因为∠AGC=∠BAD=∠DAC=ACG，所以AC=AG。代入比例式得：BD/DC=BA/AC，
即：AB*CD=AC*BD，
所以
AD^2＝AB*AC-BD*CD，即AB*AC-DB*DC=AD*AD成立。

作三角形ACE相似于三角形ADB（延长AD至E）
三角形ADB相似于三角形ACE，三角形CDE
由相似得AC/AD=AE/AB AD/CD=BD/ED
所以AB*AC=AD*AE AD*ED=BD*CD
AB*AC=AD*(AD+DE)
=AD^2+AD*DE
=AD^2+BD*CD
故AD^2=AB*AC-BD*DC

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九里区19232612318： 如图,已知三角形ABC,AD平分角BAC,AD垂直于BC于D.求证:三角形ABC为等腰三角形. - ？
德楠巴美： AD平分角BAC,所以角BAD=角CAD AD垂直于BC,所以角ADB=角ADC=90 所以角B+角BAD=90,角C+角CAD=90 因为角BAD=角CAD,所以角B=角C 所以三角形ABC为等腰三角形.

九里区19232612318： 已知:如图,在三角形ABC中,AD平分角BAC,DE垂直AB与E,求证:三角形ABC是等腰三角形. - ？
德楠巴美： (图自己去画)证明:∵AD平分S△ABC ∴AD是BC边上中线 再证△AED≌△AFD (AAS) 得DE=DF 又∵BD=CD ∠BED=∠CFD=90° △DEB≌△DFC(HL) ∴∠B=∠C ∴△ABC是等腰△

九里区19232612318： 已知三角形ABC中,AD平分角BAC,AD=AB,CM垂直AD于M,求证:AM=1/2(AB+AC) - ？
德楠巴美： 证:因为AB=AD,所以角ABD=角ADB,在△ABD内,2角ADB+角BAD=180°,所以角ADB+角BAD/2=90°,因为角ADB和角CDM为对顶角,且CM垂直AD,所以角DCM=角BAD/2,因为AD平分角BAC,所以角DCM=角CAD/2,延长AM至点N,使MD=MN,并联结CN,则根据三线合一性质,可知△CDN也是等腰△,所以角DCM=角NCM,即角DAC=角DCN,加上公共角ANC,所以△ACN也是等腰△,AC=AN,因为AB+AC=AD+AN=(AM-MD)+(AM+MN)=2AM,所以命题得证.

九里区19232612318： 已知:如图,三角形ABC中,AD平分角BAC,且BD=CD.求证AB=AC - ？
德楠巴美： 上面那个不对,没SSA的,应该过点D作AB和AC的垂线.设交AB于点E,交AC于点F.因为角DEB与角DFC是直角,且BD=DC,DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等),所以△DBE全等于△DCF,所以角DBE=角DCF,所以AB=AC(在同一个三角形中,等角对等边) 怎么样,厉害吧,怎么说我也是初三的大姐姐啊,智商就是高一点 嘻嘻 低调低调

九里区19232612318： 已知,如图所示三角形ABC中,AD平分角BAC,角B=2角C,求证AB+BD=AC - ？
德楠巴美： 过点D做DE交AC与E使得 AE=AB 则用SAS可得∆BAD全等于∆EAD 所以 AE=AB ,ED=BD 且综上 AB+BD=AE+EC=AC

九里区19232612318： 如图,已知在三角形ABC中,AB等于AC ,AD平分角BAC.请说明下列结论成立的理由: - ？
德楠巴美： (1)因为AD是平分角BAC 所以角BAD=角DAC 又因为由题目知AD=AC,AD为三角形ABD和三角形ACD的公共边 所以根据边角边 三角形ABD全等于三角形ACD (2)因为三角形ABD全等于ACD 所以根据全等原则 BD=CD

九里区19232612318： 已知在△ABC中AD平分∠BAC,BD=CD.求证:AB=AC,AD⊥BC(提示:过点D作DE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AC于点F) - ？
德楠巴美： 根据已知条件,三角形的一个角的平分线,同时又是对边的中线,那么这个三角形是等腰三角形.你是要证明这个定理吗?过点D作DE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AC于点F DE=DF(角一部分线上的点到角两边的距离相等.在直角三角形BDE和直角三角形CDF中,BD=CD,DE=DF ,<BED=<CFD=Rt < 直角三角形BDE和直角三角形CDF全等,<B=<C 三角形ABC是等腰三角形,所以AB=AC<B+<1/2<BAC=<C+1/2<BAC180/2=Rt< 所以,<ADB=<ADC=Rt< AD⊥BC

九里区19232612318： 已知三角形ABC全等于三角形A'B'C',AD,A'D'分别是三角形ABC和三角形A'B'C'的角平分 - ？
德楠巴美： 三角形ABC全等于三角形A'B'C' 所以AB=A'B',∠B=∠B',,∠A=∠A'∵AD,A'D'分别是三角形ABC和三角形A'B'C'的角平分线, ∴∠BAD=∠B'A'D'∴△ABD≌△A;B'D' ∴AD=A'D'

九里区19232612318： 如图 已知三角形ABC中,AD平分角BAC,且BD=CD,DE垂直于AB,DF垂直于AC,垂足 - ？
德楠巴美： 答:角B=角C 因为DE垂直AB,DF垂直AC 所以角BED=角CFD=90度(垂直定义) 因为D是BC中点 所以BD=CD(线段中点定义) 因为AD平分角BAC,点D在AD上 所以DE=DF(角平分线上的点到角两边距离相等) 因为在Rt三角形BED和Rt三角形CFD中,BD=CD,DE=DF 所以Rt三角形BED全等于Rt三角形CFD(HL) 所以角B=角C(全等三角形对应角相等) 备注:需要证明全等三角形.

九里区19232612318： 已知三角形abc中.ad平分角bac.三角形abd:三角形acd=3:2.求bd:dc - ？
德楠巴美： 根据角分平线性质得BD:DC=4:2 设⊿ABC高位h,则S⊿ABD=3=1/2·BD·h;S⊿ADC=1/2·DC·h∴S⊿ABD:S⊿ADC=1/2·BD·h:1/2·DC·h 3:S⊿ADC=BD:DC=4:2S⊿ADC=1.5