如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=PD=根号2/2AD

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=(根号2 )/2 AD,若E,F分别为PC,BD的中点.~

1)求证EF//PAD 因为PE是PDC直角三角形斜边PC的中点。距PAD的距离为1/2AB.（边长的一半｝而F点是ABCD面的中心点也是距AB边长的一半。所以直线PE//平面PAD..
2)锥体的体积是三分之一的高乘底面积 S=(√2/2)^2AB *AB^2*3/4 ^1/3
=0,5*0.75 /3=0.125AB^3 注;底面积为原正方形的3/4

（1）以AD为 y 轴，AD的中点O为坐标原点，以 OF为 x 轴、OP为 z 轴建立直角坐标系；
有关点的坐标计算如下：P(0,0,a/2)、F(a/2,0,0)、E(a/2,a/4,a/4)、D(0,a/2,0)、C(a,a/2,0)；
向量EF={0,a/4,a/4}，而侧立面PAD的法向量就是 向量OF{a/2,0,0}（已知PAD⊥底面ABCD，而 OP⊥AD、OF⊥OP、OF⊥AD）；
向量EF•向量OF=0*(a/2)+(a/4)*0+(a/4)*0=0，∴ EF⊥OF，从而 EF∥平面PAD；
（2）向量DC={a,0,0}，与平面APD的法向量平行，DC可看作平面PAD的一条法线，故 平面PCD⊥平面PAD；

证明：

定理1.平面α外的一条直线L1如果与平面内的一条直线L2平行，则L1∥α;

定理2.如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则这两个平面垂直；

定理3. 两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面。

（为证明本题而写，与原定理可能有文字上的出入）

(1)连接EF，

∵点E是PC中点,F是AC中点,即EF是三角形PAC的中位线，

∴EF∥PA.

又PA在平面PAD内，EF在平面PAD外，

∴EF∥平面PAD。

(1) ∵ PA=PD=(√2 ）/2 AD，

∴△PAD是直角等腰三角形，∠APD是直角，AP⊥PD;

∵侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD,

∴CD⊥平面PAD(定理3)。

∴平面PCD⊥平面PAD（定理2）,又PA⊥PD,所以PA⊥平面PDC(定理2).

∵EF∥PA,

∴EF⊥平面PDC.

连接AC，由于F为BD中点，可知线段AC过F点，且F也是AC中点。
EF是三角形PAC两边中点，于是可证平行于第三边。即证得EF∥PA，所以EF∥平面PAD；

由题意，易得三角形PAD是等腰直角，有PA⊥PD，

侧面PAD⊥底面ABCD，又CD⊥AD，所以有CD⊥PA

所以PA⊥平面PDC．

前面一题证得EF∥PA
所以有EF⊥平面PDC

---

宁化县18477992240： 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=2a(1)求证:PD⊥平面ABCD;(2)求二面角P - BC - D的大小. - ？
崔会通宣：[答案] (1)证明:因为四棱锥P-ABCD,底面是边长为a的正方形, 侧棱PD=a,PA=PC= 2a, 即PA2=2a2=DA2+PD2=a2+a2, 所以PD⊥AD,同理PD⊥CD,AD∩CD=D, 所以PD⊥底面ABCD. (2)因为PD⊥面ABCD, 所以二面角P-BC-D的平面角为∠PCD...

宁化县18477992240： 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,PA=PD=AD且侧面PAD⊥底面ABCD,若E、F分别为PC、BD的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面... - ？
崔会通宣：[答案] (Ⅰ)证明:ABCD为正方形, 连结AC∩BD=F,F为AC中点,E为PC中点, ∴在△CPA中EF∥PA,且PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD, ∴EF∥平面PAD. (Ⅱ)假设在线段PB上是存在点M, 使得二面角A-MC-B为直二面角. 在四棱锥P-ABCD中, ∵底面...

宁化县18477992240： 如图所示,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,若E,F分别为PC,BD的中点.(1)求证:EF∥... - ？
崔会通宣：[答案] (1)证明:连接EF,AC, ∵四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形且点F为对角线BD的中点, ∴对角线AC经过F点,又点E为PC的中点, ∴EF为△PAC的中位线,∴EF∥PA. 又PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,∴EF∥平面PAD. …(4分) (2...

宁化县18477992240： 如图所示,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点... - ？
崔会通宣：[答案] (1)证明:在底面菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD边的中点,所以BG⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BG⊥平面PAD. (2)证明:连接PG,因为△PAD为正三角形,G为AD边的中点, 得PG⊥AD,由(1)知...

宁化县18477992240： 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCd是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点,求证:... - ？
崔会通宣：[答案] (1)证明:∵△ABD为等边三角形且G为AD的中点, ∴BG⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴BG⊥平面PAD (2)证明:∵△PAD是等边三角形且G为AD的中点, ∴AD⊥PG ∵AD⊥BG,PG∩BG=G, ∴AD⊥平面PBG,PB⊂...

宁化县18477992240： 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,E,F分别为PA,BD的中点,PA=PD=AD=2.(1)证明:EF∥平面PBC;(2)若PB=6,求三棱锥A - ... - ？
崔会通宣：[答案] 证明:(1)连接AC,因为四边形ABCD是菱形,F为BD中点, 所以F为AC中点. 又因为E为PA中点,所以EF∥PC,又EF⊄平面PBC,PC⊂平面PBC, 所以EF∥平面PBC. …(6分) (2)取AD中点O,连接OB,OP,因为PA=PD, 所以PO⊥AD,因...

宁化县18477992240： 如图所示,四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:平面PMC⊥... - ？
崔会通宣：[答案] 证明:(1)设PD的中点为E,连接AE、NE, 由N为PC的中点知EN ∥ . 1 2DC, 又ABCD是矩形,∴DC ∥ .AB,∴EN ∥ . 1 2AB 又M是AB的中点,∴EN ∥ .AM, ∴AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE,而AE⊂平面PAD,NM⊄平面PAD ∴MN∥平面...

宁化县18477992240： 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°.侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法错误的是() - ？
崔会通宣：[选项] A. 在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB B. 异面直线AD与PB所成的角为90° C. 二面角P-BC-A的大小为45° D. BD⊥平面PAC

宁化县18477992240： 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN⊥AB. - ？
崔会通宣：[答案] 证明:以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴, 建立空间直角坐标系, 设AB=2a,AD=2b,AP=2c, 则M(a,0,0),C(2a,2b,0), P(0,0,2c),N(a,b,c),A(0,0,0), MN=(0,b,c), AB=(2a,0,0), MN• AB=0, ∴ MN⊥ AB, ∴MN⊥AB.

宁化县18477992240： 如图,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,E.F为PD的两个三等分点.Ⅰ求证BE‖平面A如图,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥... - ？
崔会通宣：[答案] (1) 连接BD AC交BD于O 连接FO E,F为PD的两个三等分点 PE=EF=FD ∴F为ED中点 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BD平分AC且O为BD中点(AC,BD为对角线) ∵F为ED中点 O为BD中点 ∴FO∥BE FO∈面ACF BE∉面ACF 所以 BE∥面ACF ...