如图，在四棱锥P-ABCD中，BA⊥平面PAD，AP=AD，DC∥AB，DC=2AB，E是棱PD的中点．（1）求证：AE∥平面PBC
证明：（1）取PC中点F，连结BF，EF． 因为点E、F分别为棱PD、PC的中点，所以EF∥DC，且EF=12DC． 又AB∥DC，且AB=12DC，所以EF∥AB，且EF=AB．于是，四边形ABFE为平行四边形，故有AE∥BF．又因为AE不包含于平面PBC，BF?平面PBC，所以AE∥平面PBC．…（6分）（2）在△PAD中，因为AP=AD，且E为PD的中点，所以AE⊥PD．因为AB⊥平面PAD，DC∥AB，所以DC⊥平面PAD．又AE?平面PAD，所以DC⊥AE．因为AE⊥PD，DC⊥AE，PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，所以AE⊥平面PCD．又BF∥AE，所以BF⊥平面PCD．又因为BF?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC．…（12分）
证明：（1）取PA的中点F，连EF，DF．…2分因为E是PB的中点，所以EF∥AB，且EF＝12AB．因为AB∥CD，AB=2DC，所以EF∥CD，…4分EF=CD，所以四边形DCEF是平行四边形，从而CE∥DF，而CE?平面PAD，DF?平面PAD，故CE∥平面PAD． …7分（2）因为PD=AD，且F是PA的中点，所以DF⊥PA．因为AB⊥平面PAD，DF?平面PAD，所以DF⊥AB．…10分因为CE∥DF，所以CE⊥PA，CE⊥AB．因为PA，AB?平面PAB，PA∩AB=A，所以CE⊥平面PAB．因为CE?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…14分
设PC中点为F，连接EF、BF。已知EF为中点，EF平行且等于1/2CD，EF平行等于AB，故EFBA为平行四边形，AE平行于BF。
由于AE不在屏幕PBC上且AE平行于BF，故AE平行于平面PBC
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧 ...
（1）证明：在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BG⊥平面PAD．（2）证明：连接PG，因为△PAD为正三角形，G为AD边的中点，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，PG?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG=G，所以AD⊥平面PGB，因为PB?
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=A...
（1）见解析（2） （3） 解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）. （1）证明：易得 ， 于是 ,所以 (2) , 设平面PCD的法向量 ，则 ,即 .不防设 ，可得 .可取平面PAC的法向量 于...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD...
证明：（1）连结AC，∵底面ABCD是边长为a的正方形，F为BD的中点， ∴F∈AC，且F也是AC的中点，CD⊥AD，在△CPA中，∵E为PC的中点，∴EF∥PA，∵ 平面PAD， ∴EF∥侧面PAD； （2）∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥侧面PAD，∵ ， ∴CD⊥PA，又∵ ，...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABC...
∴PA⊥CD ∵∠PBA=45° ∴PA=AB=BC=1\/2AD ∵∠ABC=∠BAD=90° ∵AC^2=AB^2+BC^2 =2PA^2 CD^2=AB^2+(1\/2AD)^2=2PA^2 AD^2=4PA^2 可得：AC^2+CD^2=AD^2 ∴CD⊥AC ∵PA、AC在面PAC上，且PA∩AC=A ∴CD⊥面PAC 又∵CD在面PCD上 ∴面PAC⊥面PCD （2）存在；取...
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B...
CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. ∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=2 ,PB=4.∴D(0,1,0),B(2 ,0,0),A(2 ,4,0),P(0,0,2),M( ,0, ),∴ =(0,-1,2), =(2 ,3,0), =( ,0, )....
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=...
(1)见试题解析；（2） . 试题分析：（1）要证两直线垂直，一般通过证明其中一条直线垂直于过另一条直线的平面，这里观察已知，有PD⊥平面ABCD，则有PD⊥BC，又BC⊥CD，显然就有BC⊥平面PCD，问题得证；（2）要求点A到平面PBC的距离，由于三棱锥P－ABC的体积容易求出（底面是三角形ABC，高...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的棱形,∠ABC=60°,EF分别...
在菱形ABCD中∠ABC=60°，∴AB=AC=AD=2,PB=PC=PD=4,∴P在平面ABCD的射影是△BCD的外心A,∴PA=√(PB^2-AB^2)=2√3，F是CD的中点，∴AF⊥CD.分别以AB,AF,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0),F(0,√3,0），C(1,√3,0),P(0,0,2√3),E(1,0,√3),向量E...
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD...
解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．设AC∩BD=O，则PB在平面PAC的射影为PO，所以∠BPO即为所求因为PA=AB=2，∠BAD=60°，所以PB=22，BO=1所以sin∠BPO=BOPB=24…（6分）（2）因为∠BAD=60°，PA=AB=2，...
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M、N分别为PA、BC的中点,PD⊥...
AD⊥DC，如图，以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系（4分）则D（0，0，0），A（ 2 ，0，0），B（ 2 ，1，0）C（0，1，0），P（0，0， 2 ）（6分）所以M（
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA垂直于平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA=AB=...
(1)由等腰△APD三线合一知AG⊥PD，且PD⊂面PCD，故AG⊥面PCD；(2)又面PEC⊥面PDC，且AG⊄面PEC，故AG\/\/面PEC；(3)先证明点E是AB的中点(不好意思，这里没有想出来)则F为PC中点，易知PG=2√2，GC=2√6，PC=4√3，S_PGC=4√2，EF=AG=2√2，PE=EC=2√5，PC=4√3...
娄周乌拉： ∵平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD ∴PA⊥平面ABCD(平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. ) ∵E是CD中点,CD=2AB ∴AB=ED 又∵AB∥CD ∴四边形ABED是平行...
魏都区15852916986： 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2倍根号2,E,F分别为AD,PC的中点.求证:PC⊥面BEF.求平面BEF与平面... - ？
娄周乌拉：[答案] ∵PA⊥平面ABCD,AB是斜线PB的射影, BC⊥AB, ∴根据三垂线定理,BC⊥PB, ∴△PBC是RT△, ∵F是RT△PBC斜边的中点, ∴BF=PC/2, 根据勾股定理.PC^2=PA^2+AC^2, AC^2=AB^2+BC^2, AC=2√3, PC=4, BF=2, ∵PA=PB=2,PA⊥PB, ...
魏都区15852916986： 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,BC=2√2,EF分别是AD,PC的中点1.证明PC⊥平面BEF2.求平面BEF与平... - ？
娄周乌拉：[答案] 解法一 (Ⅰ)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP算在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. ∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD是矩形. ∴A,B,C,D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2) 又E,F分别是AD,PC的中点, ∴...
魏都区15852916986： 四棱锥P - ABCD中,PA=PB,底面ABCD为菱形,角ABC=60度(1)求证:BA垂直于PC(2)求证三角形PCD为直角三角形(3)若E为PD的中点,求证PB//面... - ？
娄周乌拉：[答案] (1)取AB中点为M,连接PM,因为PA=PB,所以PM垂直于AB,ABCD为菱形,所以AB=AC,又因为角ABC=60度,所以三角形ABC为等边三角形,AC=BC,CM垂直于AB,所以AB垂直于面PCM,所以AB垂直PC(2)AB//CD,AB垂直PC,所以CD垂直...
魏都区15852916986： 在四棱锥P - ABCD中,三角形PBC为正三角形,AB垂直平面PBC.AB平行CD,AB=1\2DC,E为PD的中点.求证AE垂直PDC - ？
娄周乌拉：[答案] 令PC的中点为F. ∵PF=CF、PE=DE,∴由三角形中位线定理,有:FE∥CD,且FE=CD/2. 又BA∥CD、BA=CD/2,∴FE=BA、且FE∥BA,∴ABFE是平行四边形,∴AE∥BF. ∵AB⊥平面PBC,∴BA⊥BF,而BA∥CD,∴BF⊥CD. ∵△PBC是正三角...
魏都区15852916986： 如图,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,侧面PAB⊥底面ABCD,PA=AD=AB=1,BC=2.(1)求证:平面PBC⊥平面PDC;(2)若... - ？
娄周乌拉：[答案] (1)证明:延长BA,CD交于M点,连接MP,则BM=2, A是BM的中点,AP= 1 2BM, ∴MP⊥PB, 又∵侧面PAB⊥底面ABCD,AB⊥BC, ∴BC⊥平面PBM,可得BC⊥MP, 故MP⊥平面PBC, ∵MP⊂平面PCD,∴平面PBC⊥平面PCD; (2)∵∠PAB=90°,...
魏都区15852916986： 如图,在四棱锥P - ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点,求证:CE∥平面PAD. - ？
娄周乌拉：[答案] 证明:取PA的中点F,连EF,DF. 因为E是PB的中点,所以EF∥AB,且EF= 1 2AB. 因为AB∥CD,AB=2DC,所以EF∥CD, EF=CD, 所以四边形DCEF是平行四边形, 从而CE∥DF,而CE⊄平面PAD,DF⊂平面PAD, 故CE∥平面PAD.
魏都区15852916986： 如图,在四棱锥P - ABCD中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E为PD的中点.求证:(1)AE∥平面PBC;(2)PD⊥平面ACE. - ？
娄周乌拉：[答案] 证明:(1)取PC中点F,连接EF,BF, ∵E为PD中点, ∴EF∥DC且EF= 1 2DC. ∵AB∥DC且AB= 1 2DC, ∴EF∥AB且EF=AB. ∴四边形ABFE为平行四边形. ∴AE∥BF. ∵AE⊄平面PBC,BF⊂平面PBC, ∴AE∥平面PBC. (2)∵PB⊥AC,BD⊥AC,...
魏都区15852916986： 如图,在四棱锥P - ABCD中,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,AB=BC=1,M为PD的中点.(Ⅰ) 求证:CM... - ？
娄周乌拉：[答案] 证明:(I)取PA的中点E,连接ME、BE,∵ME∥AD,ME=12AD,∴ME∥BC,ME=BC,∴四边形BCME为平行四边形,∴BE∥CM,∵BE⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,∴CM∥平面PAB;(II)在梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,∠BAD=90°过C...
魏都区15852916986： (2010•安徽模拟)如图,在四棱锥P - ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,底面四边形ABCD是梯形,AB∥DC,BC=DC=2AB=2,AD=3,求... - ？
娄周乌拉：[答案] 取CD中点Q,连接BQ,则DQ=1=AB,又AB∥DC, ∴ABQD为平行四边形,从而BQ=AD= 3, ∵BQ= 3,CQ=1,BC=2 ∴CQ⊥BQ,CD⊥AD 又∵平面PAD⊥平面ABCD ∴CD⊥平面PAD CD⊂平面PDC ∴平面PAD⊥平面PDC
