非齐次线性方程组的解的三种情况是什么?
非齐次线性方程组的解的三种情况是只有零解,有非零解,有无穷多解。
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:
(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。
(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。
(3)设R(A)=R(B)=r,把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于C1,C2……Cn-r,即可写出含n-r个参数的通解。
齐次线性方程组
设其系数矩阵为A,未知项为X,则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r,则它的方程组的解只有以下两种类型:
当r=n时,原方程组仅有零解。
当r<n时,有无穷多个解(从而有非零解)。
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即矩阵的秩)小于等于m(矩阵的行数),若mr,则其对应的阶梯型n-r个自由变元,这个n-r个自由变元可取任意取值,从而原方程组有非零解(无穷多个解)。
非齐次线性方程组的解的三种情况是只有零解,有非零解,有无穷多解。
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:
(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。
(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。
(3)设R(A)=R(B)=r,把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于C1,C2……Cn-r,即可写出含n-r个参数的通解。
简介
对于m个方程、n个未知数的齐次线性方程组 ,系数矩阵记为A,其秩记为r(A),齐次线性方程组总有零解,不存在无解的情况,且其有非零解的等价条件为 ,即系数矩阵中的列向量线性相关。而且齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是该线性方程组的解。
基础解系是由个线性无关的解向量构成的,基础解系的解向量个数是确定的,但解向量是不确定的,只要两两之间线性无关即可,基础解系的任意线性组合构成了该齐次线性方程组的一般解,也称通解。
非齐次线性方程组的解的三种情况是只有零解,有非零解,有无穷多解。
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:
(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。
(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。
(3)设R(A)=R(B)=r,把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于C1,C2……Cn-r,即可写出含n-r个参数的通解。
线性化关系
在例子中(不是特例)变量y是x的函数,而且函数和方程的图像一致。
通常线性方程在实际应用中写作:
y=f(x)。
这里f有如下特性:
f(x+y)=f(x)+f(y)。
f(ax)=af(x)。
这里a不是向量。
一个函数如果满足这样的特性就叫做线性函数,或者更一般的,叫线性化。
因为线性的独特属性,在同类方程中对线性函数的解决有叠加作用。这使得线性方程最容易解决和推演。
非齐次线性方程组的解三种情况分别是无解、有无穷多解、有唯一解。
判别法:
当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,即r(A)<r(A,b),此时无解。
当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即r(A)=r(A,b),此时有解。
有解又可分为以下两种情况:
当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,且均小于系数矩阵的列数n,即r(A)=r(A,b)<n,有无穷多解。
当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,且均等于系数矩阵的列数n,即r(A)=r(A,b)=n,有唯一解。
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:
(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。
(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。
(3)设R(A)=R(B)=r;把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于
,即可写出含n-r个参数的通解。
齐次线性方程组的解有几种情况
齐次线性方程组的解。一般来说有三种情况,第一种是无解的情况。也就是说,方程之间出现有矛盾的情况。第二种情况是解为零的情况。这也是其次线性方程组唯一解的情况。另外一种是齐次线性方程组系数矩阵线性相关。这种情况下有无数个解。
齐次线性方程组的解唯一吗?
齐次线性方程组只有零解说明只有唯一解且唯一解为零(因为零解必为其次线性方程组的解)。齐次线性方程组有非零解即有无穷多解。
齐次线性方程组总有解吗?
非齐次线性方程 Ax = b 当且仅当 r(A, b) = r(A) = n 时有唯一解.齐次线性方程组 Ax = 0 当 r(A) < n 时有无穷多解,即有非零解;非齐次线性方程 Ax = b 当 r(A, b) = r(A) < n 时有无穷多解。解的存在唯一性定理是指方程的解在一定条件下的存在性和唯一性,它是常...
齐次线性方程组解的判定
齐次线性方程组解的判定如下:1、是否具有唯一解或者有无穷多解 根据方程组的表达式,判断其是否具有唯一解或者有无穷多解。如果存在唯一解,则该解即为特解;如果存在无穷多解,则需要进一步求解。当非齐次线性方程组有无穷多解时,可以通过求解相应的齐次线性方程组的通解和非齐次线性方程组的一个特解...
线性方程组的解怎么求?
线性方程组解的判定如下:1、齐次线性方程组 (1)有唯一解:当方程组的系数矩阵的解等于方程组的未知数个数时,方程组有唯一解。(2)有无穷多解:当方程组的系数矩阵的解小于方程组的未知数个数时,方程组有无穷多解。(3)只有零解:当方程组的系数矩阵的解等于方程组的未知数个数,并且解等于...
齐次线性方程组的解怎么求
齐次线性方程组的解怎么求如下 特解是由该矩阵经过行列变换后变为标准式,那么这个标准矩阵和原来的矩阵所代表的方程组是同解的。所以就由标准矩阵列出同解方程组,然后得出该方程组特解。具体解法 1、将原增广矩阵行列变换为标准矩阵。2、根据标准行列式写出同解方程组。3、按列解出方程。4、得出特解...
齐次线性方程组的基础解系怎么求
齐次线性方程组的基础解系求解方法如下:1、将齐次线性方程组表示为增广矩阵形式,其中系数矩阵的行数为方程组的未知数个数,列数为方程组的方程个数。2、对增广矩阵进行初等行变换,将其化为行最简形,即将增广矩阵化为上三角形矩阵或行阶梯形矩阵。3、根据行最简形矩阵,可以得到方程组的解的形式...
齐次线性方程组一定有解吗?
所以齐次线性方程组一定有解(至少有一个零解)。若齐次线性方程组中方程的个数小于未知数的个数,即系数矩阵的秩小于未知数的个数,则方程组有无穷多解(即有非零解)。如果m<n(行数小于列数,即未知数的数量大于所给方程组数),则齐次线性方程组有非零解,否则为全零解。
如何求解一个齐次线性方程组的解?
设齐次线性方程组AX=0 将A用初等行变换化成行简化梯矩阵、比如 1 2 0 3 4 0 0 1 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 则非零行的首非零元所在列对应的就是约束变量,例中为 x1,x3。其余变量即为自由变量,例中为 x2,x4,x5。
怎样解齐次线性方程组?
a. 写出齐次方程组的系数矩阵A;b. 将A通过初等行变换化为阶梯阵;c. 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元(n – r 个);d.令自由元中一个为 1 ,其余为 0 ,求得 n – r 个解向量,即为一个基础解系。齐次线性方程组AX= 0:若X1,X2… ,Xn-r为基础解系,则X=k1 X1+ k2...
僪陆森安: 唯一解、无穷多组解、没有解.
邙山区18212016311: 非齐次线性方程组的解的三种情况是什么? - ?
僪陆森安: 非齐次线性方程组的解三种情况分别是无解、有无穷多解、有唯一解.判别法:当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,即r(A)<r(A,b),此时无解.当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即r(A)=r(A,b),此时有解.有解又可分为以下两种情况:当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,且均小于系数矩阵的列数n,即r(A)=r(A,b)<n,有无穷多解.当非齐次线性方程组对应的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,且均等于系数矩阵的列数n,即r(A)=r(A,b)=n,有唯一解.
邙山区18212016311: 非齐次线性方程组有解的条件有几种 - ?
僪陆森安:[答案] 设AX = b是非齐次线性方程组 则 Ax=b 有解的充分必要条件是 r(A) = r(A,b),即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩. 这等价与 向量b 可由 A 的列向量组线性表示 (这是从向量的角度解释,很重要)
邙山区18212016311: 非齐次线性方程组的解有哪些三种情况? - ?
僪陆森安: 非齐次线性方程组的解的三种情掘薯况是只有零解,敏散樱有非零解,有无穷多解. 非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤: (1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形.若R(A)<R(B),则方程组无解桥丛. (2)若R(A)=R(B),则进一步将B化...
邙山区18212016311: 关于非齐次线性方程组有解无解的情况.. - ?
僪陆森安:[答案] 非齐次线性方程组有解的充要条件为系数矩阵的秩=增广矩阵的秩.特别地,当系数矩阵满秩时,方程组有唯一解,当增广矩阵不满秩时,方程组有无穷多解 非齐次线性方程组无解的充要条件为系数矩阵的秩解析看不懂?免费查看同类题视频解析...
邙山区18212016311: 在线性代数中,非齐次线性方程组有唯一解,无解,无穷解的条件分别是什么? - ?
僪陆森安:[答案] Ax=0无非零解时.则A为满秩矩阵.则Ax=b一定有解Ax=0有无穷多解时,则A一定不为满秩矩阵,Ax=b的解得情况有无解和无穷多解无R(A)≠R(A|b)无穷R(A)等于R(A|b).且不为满秩Ax=b无解时,可知Ax=0一定有无穷多解Ax=b 有唯一解...
邙山区18212016311: 非齐次线性方程组的解可分为: - 上学吧普法考试?
僪陆森安: 非齐次线性方程组在系数矩阵的秩,与增广矩阵的秩相等时有解 非齐次线性方程组在系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时无解 小r是秩
邙山区18212016311: 简述求解非齐次线性方程组的解的过程. - ?
僪陆森安:[答案] 非齐次线性方程组 AX=b 对增广矩阵 (A,b) 用初等行变换化成行梯矩阵 这时可判断方程组解的情况 (无解,唯一解,无穷多解) 有解时,继续化为行最简形 写出同解方程组 写出方程组的通解 特解+导出组的基础解系的线性组合.
邙山区18212016311: 非齐次线性方程组的特解是什么?急求!?
僪陆森安: 非齐次线性方程组的解是由特解和一般解合成.一般解是AX=0求出来的,特解是由AX=B求出来.形式为X=η0+k*η 集体求法是根据增广矩阵变形成为阶梯型矩阵,然后进行赋值,求得. o(∩_∩)o 如果我的回答对您有帮助,记得采纳哦,感激不尽.