已知△ABC的三心：垂心H， 外心O ，重心G三点共线，求证：GH=2OG

已知△ABC的三心：垂心H， 外心O ，重心G三点共线，求证：GH=2OG~

三点共线是必然的，专业说法：欧拉线。
证明：GH=2OG
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。 连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。 连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA
则GH：OH=AH：OD=2：1，原命题得证。
突然发现我最近有点犯晕，喜欢找难题来做，而且悬赏分不高的。练练手感，不要把高中的都忘了。

证明：
我只能证明出一半来，那就是由三心共线证明出它是等腰三角形后面的证明。设△ABC，AB=AC,D点是BC的中点，BD=DC=x,AD=h,则有
OD = 1/3h (这个我就不证了吧)
由 △BHD ∽ △ACD 有
HD:x = x:h , HD = x²/h
由 OB=OA,有
OD²+x² = (h-OD)²
OD = (h²-x²)/(2h)
∴ GH = 1/3h - x²/h
2OG = 2×[(h²-x²)/(2h) - 1/3h] = 1/3h - x²/h
证毕。

三点共线是必然的，专业说法：欧拉线。
证明：GH=2OG
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA
则GH：OH=AH：OD=2：1，原命题得证。
突然发现我最近有点犯晕，喜欢找难题来做，而且悬赏分不高的。练练手感，不要把高中的都忘了。

分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD是平行四边形，由向量加法的三角形法则得由向量相等和向量的减法运算进行转化，得到
根据数乘向量的几何意义，即可得到O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2即可．

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新疆维吾尔自治区13618529773： 已知三角形ABC的三心:垂心H,外心O ,重心G三心共线,求证:GH=2OG - ？
向贤环利：[答案] 证明:我只能证明出一半来,那就是由三心共线证明出它是等腰三角形后面的证明.设△ABC,AB=AC,D点是BC的中点,BD=DC=x,AD=h,则有OD = 1/3h (这个我就不证了吧)由 △BHD ∽ △ACD 有HD:x = x:h ,HD = x²/h由 OB=OA,...

新疆维吾尔自治区13618529773： 已知ΔABC的垂心H,ΔHBC,ΔHCA,ΔHAB的外心分别为O1,O2,O3,令向量HA=a,向量HB=b,向量HC=c,向量HO1=p,求证:(1)2p=b+c - a (2)H为三角形O1... - ？
向贤环利：[答案] 2p=b+c-a等价于O1H+O1B+O1C=O1A,熟知. 2|p|=|b+c-a|=|HB+HC-HA|=|OB+OC-OA-OH|=2|OA|

新疆维吾尔自治区13618529773： 如图.已知H是△ABC的垂心,O是外心,OL⊥BC于L.求证:AH=2OL. - ？
向贤环利：[答案] 证明:证法1:作OM⊥AC于M,取CH的中点K,连接MK,LK, 则有MK∥AH∥OL,LK∥BH∥OM, ∴四边形OLKM为平行四边形, ∴MK=OL.又MK= 1 2AH, ∴AH=2OL. 证法2:连接BO并延长交⊙O于D,连接CD,AD,则CD=2OL. 又∵CD⊥BC,AH⊥...

新疆维吾尔自治区13618529773： 已知三角形ABC的三心:垂心H,外心O ,重心G三心共线,求证:GH=2OG - ？
向贤环利： 证明:我只能证明出一半来,那就是由三心共线证明出它是等腰三角形后面的证明.设△ABC,AB=AC,D点是BC的中点,BD=DC=x,AD=h,则有OD = 1/3h (这个我就不证了吧)由 △BHD ∽ △ACD 有HD:x = x:h , HD = x²/h由 OB=OA,有OD²+x² = (h-OD)²OD = (h²-x²)/(2h) ∴ GH = 1/3h - x²/h2OG = 2*[(h²-x²)/(2h) - 1/3h] = 1/3h - x²/h证毕.

新疆维吾尔自治区13618529773： 已知三角形ABC的垂心为H,平面内一点O满足,向量OH=向量OA+向量OB+向量OC,求证:点O为三角形ABC的外心 - ？
向贤环利：[答案] 用同一法 若点O为三角形ABC的外心,则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC 如果存在一点Q,使向量QH=向量QA+向量QB+向量QC,那么在AB、BC、CA方向上Q、O位置均相同

新疆维吾尔自治区13618529773： 已知三角形ABC外心,重心,垂心分别为O,G,H,若向量OH=a向量OG,则a =? - ？
向贤环利： 可以特殊值 在直角三角形中 直角顶点为垂心H 斜边中点为外心O O,G,H,三点共线,且OH=3OG 向量OH=a向量OG a=3

新疆维吾尔自治区13618529773： 初中几何题已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心 ？
向贤环利： 已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M. (1)求证:AH=2OM; (2)若∠BAC=60°,求证:AH=AO.(初二) (1)证:连BO并延长交圆O于D,连AD,CD,CH.则 AD⊥AB,BC⊥CD. ∵H为垂心, ∴CH⊥AB,AH⊥BC. ∴CH∥AD,AH∥CD, ∴四边形AHCD是平行四边形, ∴AH=CD. ∵OM⊥BC, ∴OM∥CD, 又BO=OD, ∴CD=2OM, ∴AH=2OM. (2)在△BMO中,∠BOM=∠BAC=60°,OM⊥BM, ∴BO=2OM, 由(1),AH=2OM, 又AO=BO, ∴AH=AO.

新疆维吾尔自治区13618529773： 三角形ABC在平面直角坐标系中,知道ABC三点坐标,请问重心和垂心和外心公式? - ？
向贤环利： 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标:x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2=y3)/3.垂心、外心的坐标表示式很繁,此处从略.

新疆维吾尔自治区13618529773： ΔABC的垂心为H,外心为O,且满足向量OH=向量OA+向量OB+向量OC,若AH=1,BH=√2,BC=√3则SΔAOB:SΔAOC:S - ？
向贤环利： 向量OH=向量OA+向量OB+向量OC, 实际上是恒等式,不难证明. 解题思路: AB、BC、AC三边的中点为M、N、Q 则:2向量ON=向量OB+向量OC=向量OH-向量OA=向量AH 2向量OQ=向量OA+向量OC=向量OH-向量OB=向量BH 所以 ON=1/2, OQ=√2/2 ΔABC外接圆半径R=OB=(BN^2+ON^2)^(1/2)=1 以求出:AC=√2 角C=75度 利用正弦定理或余弦定理均可求出AB 余下的就不用说了吧.

新疆维吾尔自治区13618529773： 已知H是△ABC的垂心.O是其外接圆心是外心.若∠A=60°则求证AH=AO. - ？
向贤环利：[答案] 老题目了. 将垂心H关于AB轴对称,对称点命为H' 于是,∠BCH=∠BAH=∠BAH',H',A,B,C四点共圆,点H'在△ABC的外接圆O上 从而,OH'=OA=OB=OC ∠CAO=∠BAH=∠BAH'(关键的一步,这是由垂心与外心的性质得到的,与60°无关) 利...