谁能帮我列一张关于初三数学证明一二三中的定理,性质和判定方法之间的分类.关系详细点的表,谢了

作者&投稿:蒙雁 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
初三的数学知识点~

一、相似三角形(7个考点)


考点1:相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小

考核要求:

(1)理解相似形的概念;

(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义,能将已知图形按照要求放大和缩小。

考点2:平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理

考核要求:理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

注意:被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

考点3:相似三角形的概念

考核要求:以相似三角形的概念为基础,抓住相似三角形的特征,理解相似三角形的定义。

考点4:相似三角形的判定和性质及其应用

考核要求:熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质,并能较好地应用。

考点5:三角形的重心

考核要求:知道重心的定义并初步应用。

二、锐角函数值(2个考点)


考点7:锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念,30度、45度、60度角的三角比值。

考点8:解直角三角形及其应用

考核要求:

(1)理解解直角三角形的意义;

(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题,尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。

三、二次函数(4个考点)


考点9:函数以及函数的定义域、函数值等有关概念,函数的表示法,常值函数

考核要求:

(1)通过实例认识变量、自变量、因变量,知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;

(2)知道常值函数;

(3)知道函数的表示方法,知道符号的意义。

考点10:用待定系数法求二次函数的解析式

考核要求:

(1)掌握求函数解析式的方法;

(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。

注意求函数解析式的步骤:一设、二代、三列、四还原。

考点11:画二次函数的图像

考核要求:

(1)知道函数图像的意义,会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像

(2)理解二次函数的图像,体会数形结合思想;

(3)会画二次函数的大致图像。

考点12:二次函数的图像及其基本性质

考核要求:

(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质,建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;

(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标,并说出二次函数的有关性质。

注意:

(1)解题时要

弦切角定理 弦切角的定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角定理就是弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,一半弧所对的圆心角

如图:TC为圆O切线,∠BTC=∠BAT

弦切角定理的推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。

弦切角定理的证明:做过切点的直径,连接弦和这条直径的另一端,先说明直径所对的圆周角是直角,然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互补,然后过切点的直径垂直于切线,弦和切线把这个直角分成两部分,其中有一个是上面那个直角三角形的一个锐角,然后用等式性质减去重复的部分,剩下的就是弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等了。圆幂定理圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。

相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。

割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD。

统一归纳:过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2,L1与圆交于A、B(可重合,即切线),L2与圆交于C、D(可重合),则有PA·PB=PC·PD。

进一步升华(推论):
过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2,L1与圆交于A、B(可重合,即切线),L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r,则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| (一定要加绝对值,原因见下)为定值。这个值称为点P到圆O的幂。(事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值)
若点P在圆内,类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|
故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。(这就是“圆幂”的由来)密克定理(三圆定理+完全四线形定理+四圆定理+五圆定理) 密克定理是几何学中关於相交圆的定理。1838年,奥古斯特·密克叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。三圆定理:设三个圆C1, C2, C3交於一点O,而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A为C1的点,直线MA交C2於B,直线PA交C3於C。那麼B, N, C这三点共线。逆定理:如果是三角形,M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上,那麼三角形, , 的外接圆交於一点O。完全四线形定理:如果ABCDEF是完全四线形,那麼三角形, , , 的外接圆交於一点 O,称为密克点。四圆定理:设C1, C2,C3, C4为四个圆,A1和B1是C1和C2的交点,A2和B2是C2 和C3的交点,A3和B3是C3和C4的交点,A4和B4是C1和C4的交点。那麼A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆。五圆定理:设ABCDE为任意五边形,五点F, G, H, I, J分别是EA和BC , AB和CD, BC和DE, CD和EA, DE和AB的交点,那麼三角形, , , , 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆,而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。逆定理:设C1,, C2, C3, C4, C5五个圆的圆心都在圆C上,相邻的圆交於C上,那麼把它们不在C上的交点与比邻同样的点连起来,所成的五条直线相交於这五个圆上。

1.图形的认识
(1)角
角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边距离相等,角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。
(2)相交线与平行线
同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等;
对顶角的性质:对顶角相等
垂线的性质:
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短;
线段垂直平分线定义:过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线;
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线;
平行线的定义:在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线;
平行线的判定:
①同位角相等,两直线平行;
②内错角相等,两直线平行;
③同旁内角互补,两直线平行;
平行线的特征:
①两直线平行,同位角相等;
②两直线平行,内错角相等;
③两直线平行,同旁内角互补;
平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
(3)三角形
三角形的三边关系定理及推论:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;
三角形的内角和定理:三角形的三个内角的和等于 ;
三角形的外角和定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和;
三角形的外角和定理推理:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;
三角形的三条角平分线交于一点(内心);
三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);
三角形中位线定理:三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半;
全等三角形的判定:
①边角边公理(SAS)
②角边角公理(ASA)
③角角边定理(AAS)
④边边边公理(SSS)
⑤斜边、直角边公理(HL)
等腰三角形的性质:
①等腰三角形的两个底角相等;
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)
等腰三角形的判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形;
直角三角形的性质:
①直角三角形的两个锐角互为余角;
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理);
④直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半;
直角三角形的判定:
①有两个角互余的三角形是直角三角形;
②如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系 ,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。
(4)四边形
多边形的内角和定理:n边形的内角和等于 (n≥3,n是正整数);
平行四边形的性质:
①平行四边形的对边相等;
②平行四边形的对角相等;
③平行四边形的对角线互相平分;
平行四边形的判定:
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③对角线互相平分的四边形是平行四边形;
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
矩形的性质:(除具有平行四边形所有性质外)
①矩形的四个角都是直角;
②矩形的对角线相等;
矩形的判定:
①有三个角是直角的四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
菱形的特征:(除具有平行四边形所有性质外
①菱形的四边相等;
②菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;
菱形的判定:
四边相等的四边形是菱形;
正方形的特征:
①正方形的四边相等;
②正方形的四个角都是直角;
③正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;
正方形的判定:
①有一个角是直角的菱形是正方形;
②有一组邻边相等的矩形是正方形。
等腰梯形的特征:
①等腰梯形同一底边上的两个内角相等
②等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形的判定:
①同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;
②两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
平面图形的镶嵌:
任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面;
(5)圆
点与圆的位置关系(设圆的半径为r,点P到圆心O的距离为d):
①点P在圆上,则d=r,反之也成立;
②点P在圆内,则d<r,反之也成立;
③点P在圆外,则d>r,反之也成立;
圆心角、弦和弧三者之间的关系:在同圆或等圆中,圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等,可以得到另外两组也相等;
圆的确定:不在一直线上的三个点确定一个圆;
垂径定理(及垂径定理的推论):垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;
平行弦夹等弧:圆的两条平行弦所夹的弧相等;
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数;
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦的弦心距相等;
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等;
圆周角定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;
圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角,反过来, 的圆周角所对的弦是直径;
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径;
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,这一点到两切点的线段相等,它与圆心的连线平分两切线的夹角;
弧长计算公式: (R为圆的半径,n是弧所对的圆心角的度数, 为弧长)
扇形面积: 或 (R为半径,n是扇形所对的圆心角的度数, 为扇形的弧长)
弓形面积
(6)尺规作图(基本作图、利用基本图形作三角形和圆)
作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角;作已知角的平分线;作线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;
(7)视图与投影
画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图、左视图、俯视图);
基本几何体的展开图(除球外)、根据展开图判断和设别立体模型;
2.图形与变换
图形的轴对称
轴对称的基本性质:对应点所连的线段被对称轴平分;
等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形;
图形的平移
图形平移的基本性质:对应点的连线平行且相等;
图形的旋转
图形旋转的基本性质:对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等;
平行四边形、矩形、菱形、正多边形(边数是偶数)、圆是中心对称图形;
图形的相似
比例的基本性质:如果 ,则 ,如果 ,则
相似三角形的设别方法:①两组角对应相等;②两边对应成比例且夹角对应相等;③三边对应成比例
相似三角形的性质:①相似三角形的对应角相等;②相似三角形的对应边成比例;③相似三角形的周长之比等于相似比;④相似三角形的面积比等于相似比的平方;
相似多边形的性质:
①相似多边形的对应角相等;②相似多边形的对应边成比例;
③相似多边形的面积之比等于相似比的平方;
图形的位似与图形相似的关系:两个图形相似不一定是位似图形,两个位似图形一定是相似图形; 三角形的定义
三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边,三个角,三个顶点。
三角形中的主要线段
三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。
这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点:
(1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。
(2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。
(3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形的按边分类
三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按边的相等关系分类如下:
等边三角形是等腰三角形的一种特例。
判定三条边能否构成三角形的依据
△ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。可知:
③a+b>c,①a+c>b,②b+c>a
定理:三角形任意两边的和大于第三边。
由②、③得 b―a<c,且b―a>―c
故|a―b|<c,同理可得|b―c|<a,|a―c|<b。
从而得到推论:
三角形任意两边的差小于第三边。
上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理。另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如:三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。
判定三条边能否构成三角形
对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|<a<b+c,则可构成三角形。这是因为|b-c|<a,即b-c<a,且b-c>-a.也就是a+c>b且a+b>c,再加上b+c>a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|<a<b+c。
在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形。
证明三角形的内角和定理
除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路:
方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,
运用平行线的性质,可得∠B=∠2,
∠C=∠1,从而证得三角形的内角
和等于平角∠DAE。
方法2 如图,在△ABC的边BC上任取
一点D,过D作DE‖AB,DF‖AC,
分别交AC、AB于E、F,再运用平行
线的性质可证得△ABC的内角和等于
平角∠BDC。
三角形按角分类
根据三角形的内角和定理可知,三角形的任一个内角都小于180°,其内角可能都是锐角,也可能有一个直角或一个钝角。
三角形按角可分类如下:
根据三角形的内角和定理可有如下推论:
推论1 直角三角形的两个锐角互余。
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
同时我们还很容易得到如下几条结论:
(1)一个三角形最多有一个直角或钝角。
(2)一个三角形至少有两个内角是锐角。
(3)一个三角形至少有一个角等于或小于60°(否则,若三个内角都大于60°;则这个三角形的内角和大于180°,这与定理矛盾)。
(4) 三角形有六个外角,其中两两是对顶角相等,所以三角形的三个外角和等于360°。
全等三角形的性质
全等三角形的两个基本性质
(1)全等三角形的对应边相等。
(2)全等三角形的对应角相等。
确定两个全等三角形的对应边和对应角
怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角?其方法主要可归结为:
(1)若两个角相等,这两个角就是对应角,对应角的对边是对应边。
(2)若两条边相等,这两条边就是对应边,对应边的对角是对应角。
(3)两个对应角所夹的边是对应边。
(4)两个对应边所夹的角是对应角。
由全等三角形的定义判定三角形全等
由全等三角形的定义知,要判定两个三角形全等,需要知道三条边,三个角对应相等,但在应用中,利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的,因而需要找到能完全确定一个三角形的条件,以便用较少的条件,简便的方法来判定两个三角形的全等。
判定两个三角形全等的边、角、边公理
内容:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(即SAS)。
这个判定方法是以公理形式给出的,我们可以通过实践操作去验证它,但验证不等于证明,这点要区分开来。
公理中的题设条件是三个元素:边、角、边,意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。不能理解成两边和其中一个角相等。否则,这两个三角形就不一定全等。
例如 在△ABC和△A′B′C′中,
如右图,AB=A′B′,∠A=∠A′,
BC=A′C′,但是△ABC不全等于
△A′B′C′。
又如,右图,在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠B=∠B′,AC=A′C′,但△ABC和△A′B′C′不全等。
原因就在于两边和一角对应相等不是
公理中所要求的两边和这两条边的夹
角对应相等的条件。
说明:从以上两例可以看出,SAS≠SSA。
判定两个三角形全等的第二个公理
内容:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(即ASA)。
这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它。
公理强调了两角和这两角的夹边对应相等,这里实质上包含了一个顺序关系。千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边,而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边。
如右图,在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′,∠B=∠B′,AB=A′C′,
但这两个三角形显然不全等。原因就是
没有注意公理中“对应”二字。
公理一中的边、角、边,其顺序是不能改变的,即SAS不能改为SSA或ASS。而ASA
公理却能改变其顺序,可改变为AAS或SAA,但两个三角形之间的“对应”二字不能变。同时这个公理反映出有两个角对应相等,实质上是在两个三角形中有三个角对应相等,故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了。
由公理二可知,有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等
判定两个三角形全等的边、边、边公理
公理:三条边对应相等的两个三角形全等(即边、边、边公理)。
边、边、边公理在判定两个三角形全等时,其对应边就是相等的两条边。
这个公理告诉我们,只要一个三角形的三边长度确定了,则这个三角形的形状就完全确定了。这就是三角形的稳定性。
判定两个三角形全等
通过以上三个公理的学习,可以知道,在判定两个三角形全等时,无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等,而只需要其中三对条件。
三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合。无非有如下情况:
(1)三边对应相等。
(2)两边和一角对应相等。
(3)一边和两角对应相等。
(4)三角对应相等。
HL公理
我们知道,满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等。
但是,对于两个直角三角形来说,这个结论却一定成立。
斜边、直角边公理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写为HL)。
这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等,其本身包含了一个直角相等。这种边、 边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件。由于直角三角形是一种特殊的三角形,所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用。
角平分线的性质定理和逆定理
性质定理:在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
逆定理:到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
点在角平分线上点到这个角的两边距离相等。
用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理
性质定理:
∵P在∠AOB的平分线上
PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
逆定理:
∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB
∴点P在∠AOB的平分线上。
角平分线定义
如果一条射线把一个角分成两个相等的角,那么这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。
三角形角平分线性质
三角形三条平分线交于一点,并且交点到三边距离相等。
互逆命题
在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
原命题和逆命题的真假性
每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,而它的逆命题不一定是真命题,原命题和逆命题的真假性一般有四种情况:真、假;真、真;假、假;假、真。
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理。
每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理
尺规作图
限定用直尺(没有刻度)和圆规的作图方法叫尺规作图。
基本作图
最基本最常见的尺规作图称之为基本作图,主要有以下几种:
(1)作一个角等于已知角;
(2)平分已知角;
(3)过一点作已知直线的垂线;
(4)作已知线段的垂直平分线;
(5)过直线外一点作已知直线的平行线。
有关概念
有两边相等的三角形称为等腰三角形。
三边都相等的三角形称为等边三角形,又称为正三角形。
有一个直角的等腰三角形称为等腰直角三角形。
等边三角形和等腰直角三角形都是等腰三角形的特例。
等腰三角形的有关概念
等腰三角形中,相等的两边称为腰,另一边称为底边,两腰的夹角称为顶角,底边上的两个角称为底角。
等腰三角形的主要性质
两底角相等。
如图,ΔABC中AB=AC,取BC中点D,连结AD,
容易证明:ΔABD≌ΔACD,∴∠B=∠C。
如图,ΔABC中为等边三角形,
那么,由AB=AC,得∠B=∠C,
由CA=CB,得∠A=∠B,
于是∠A=∠B=∠C,但∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=∠B=∠C=60°
如图,ΔABC中AB=AC,且AD平分∠BAC,
那么由ΔABD≌ΔACD,
可得BD=CD,∠ADB=∠ADC,
但∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=90°,从而AD⊥BC,
由此又可得到另外两个重要推论。
两个重要推论
等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边;
等边三角形各内角相等,且都等于60°。
等腰三角形性质及其推论的另一种论述方法
三角形中,相等的边所对的角相等。
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高三线合而为一。
等腰三角形的判定定理及其两个推论的核心都可概括为等角对等边。它们都是证明两条线段相等的重要方法。
推论3
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
容易证明:这个推论的逆命题也是正确的。即:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°。
运用
利用等腰三角形的判定定理和性质定理容易证明结论:“在一个三角形内,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角也较大;反过来,在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大。”
对称轴及中心
线段的垂直平分线把线段分为相等的两部分。
线段的中点就是它的中心,今后要学习“线段是关于中点对称的中心图形”。
线段是以它的中垂线为对称轴的图形。
三线合一的定理的逆定理
如图所示,线段中垂线的性质定理的几何语言为:

于是可以用来判定等腰三角形,其定理实质上是
三线合一定理的逆定理。
“距离”不同,“心”也不同
“线段垂直平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“两点间的距离”,而角平分线的性质定理与逆定理中的“距离”是指“点到直线的距离”。
三角形三条角平分线相交于一点,这点到三边的距离相等(这点称为三角形的内心)。

三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三个顶点的距离相等(这点称为三角形的外心)。

重要的轨迹

图(A)所示。到角的两边OA、OB的距
离相等的点P1、P2,P3…组成一条射
线OP,即点的集合。

如图(B)所示,到线段AB的两端点的距离
相等的所有点P1、P2、P3…组成一条直
线P1P2,因此这条直线可以看成动点形
成的“轨迹”。

第十三节轴线称和轴对称图形

轴对称

把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形叫做关于这条直线对称,也称轴对称。

根据定义,两个图形和如果关于直线l轴对称,则:
(1)和这两个图形的大小及形状完全相同。
(2)把其中一个图形沿l翻折后,和应完全重合,自然两个图形中的有关对应点也应重合。

事实上,直线l是两个轴对称图形中对应点连线的垂直平分线。所以容易得到如下性质:
性质1 关于某条直线对称的两个图形是全等形。
性质2 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
性质3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点必在对称轴上。

不难看出,如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。

轴对称图形

如果一个图形沿着一条直线翻折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。

轴对称和轴对称图形的区别和联系

区别

①轴对称是指两个图形关于某条直线对称,而轴对称图形是一个图形关于某条直线对称。

②轴对称的对应点分别在两个图形上,而轴对称图形中的对应点都在这一个图形上。

③轴对称中的对称轴可能在两个图形的外边,而轴对称图形中的对称轴一定过这个图形。

联系

①都是沿着某一条直线翻折后两边能够完全重合。

②如果把轴对称的两个图形看成是一个整体,那么这个整体反映出的图形便是一个
轴对称图形;反过来,如果把一个轴对称图形中关于对称轴的两边部分看成是两个
图形,那么这两部分对应的两个图形则关于这条对称轴而成轴对称。

第十四节 勾股定理

直角三角形

直角三角形中,两锐角互余,夹直角的两边叫直角边,直角的对边叫斜边,斜边最长。

等腰直角三角形

等腰直角三角形是直角三角形中的特例。也是等腰三角形中的特例。等腰直角三角形的两个底角都等于45°,顶角等于90°,相等的两条直角边是腰。

勾股定理

直角三角形中,两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即,这就是勾股定理。

判定直角三角形

如果ΔABC的三边长为a、b、c,且满足,那么ΔABC是直角三角形,其中∠C=90°。

第十五节勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理

勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。即:在△ABC中,若a2+b2=c2,则△ABC为Rt△。

如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先求出最大边(如c)。

验证c2与a2+b2是否具有相等关系。
若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形。

**********************

*****攻关秘技****

方法1: 证明“文字叙述的

几何命题”的方法

这类题目证明起来较一般几何题要难,但还是有一定的思路和方法,一般先对题目进行总体分析,分析内容大致分为以下四点,然后逐步解决。
(1)分析命题的题设和结论;
(2)结合题设和结论画出图形;
(3)综合题设结论和图形写出已知、求证;
(4)进行证题分析。

方法2: 等腰三角形的边角求值法

在解等腰三角形的边角求值题时,应考虑到各种可能的情况,还要排除不能构成三角形的情形。特别在解决线段或角的和差倍半关系时,常利用合成法或分解法,借助添加辅助线来完成。


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枕饺先普: 1.等腰三角形 ∵AB=ED(矩形对边相等) 角AFB=角EFD 角A等于角E ∴△ABF≌△EFD ∴BF=FD2.∵平行四边形对边平行,∴同旁内角互补,∵DF平分∠ADC,CF平分∠DCB,∴∠CDF+∠DCF=1/2 X180°=90° ∴角F=90° 同理可得 其他四角都为90° 所以EFGH是矩形(三个角为直角的四边形是矩形)

仁寿县17097188067: 初三数学课本上的证明题 -
枕饺先普: 注意:根据图来看:A'在EF上,<代表角 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AD=CD=AB AB平行CD(即AE平行DF)<BAD=90度 因为三角形GA'D是三角形GAD折叠所得 所以AD=A'D<A'DG=<ADG 所以CD=A'D 因为E,F分别是AB,CD的中点 所以FD=AE=1/2CD=1/2AD 所以四边形ADFE是矩形 所以<A'FD等于90度 所以<ADA'=<FA'D=30度 所以<ADG=<A'DG=1/2<ADA'=1/2*30度=15度 这到算简单了,上课多注意听,多做习题

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枕饺先普: AE=AC=(根2)AB 延长AB,做EG垂直AB于G,因为AC平行BE,所以角CBE=角ACB=45度 所以角GBE=45度,所以GBE为等腰直角三角形,GB=GE 设GE=X,则GB=X.勾股:GE^2+(GB+AB)^2=AE^2即X^2+(X+AB)^2=[(根2)AB]^2=2AB...

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