三角函数

初中三角函数知识点~

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高中三角函数公式有很多。三角函数是基本初等函数之一，是以角度(数学上最常用弧度制，下同)为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

　　1。sina/cosa=tana

　　2.sina的平方+cosa的平方=1

　　锐角三角函数定义

　　如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对于AB与AC的夹角∠BAC而言： 

　　 

 

　　  Rt△ABC

　　对边（opposite）a=BC 

　　斜边（hypotenuse）h=AB 

　　邻边（adjacent）b=AC 

　　 

　　基本函数英文缩写表达式语言描述正弦函数Sinesina/h∠A的对边比斜边余弦函数cosinecosb/h∠A的邻边比斜边 正切函数Tangenttana/b∠A的对边比邻边余切函数Cotangentcotb/a∠A的邻边比对边正割函数Secantsech/b∠A的斜边比邻边余割函数Cosecantcsch/a∠A的斜边比对边

余弦定理证明

平面向量证法

　　∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小） 

 

∴c·c=(a+b)·(a+b) 

　　∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 

　　（以上粗体字符表示向量） 

　　又∵cos(π-θ)=-Cosθ 

　　∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 

　　再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 

　　即 cosC=(a^2+b^2-c^2)/2*a*b 

　　同理可证其他，而下面的cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。 

平面几何证法

　　在任意△ABC中 

　　做AD⊥BC. 

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 

　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 

　　根据勾股定理可得： 

　　AC^2=AD^2+DC^2 

　　b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 

　　b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 

　　b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2 

　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB 

　　\begin{displaymath} cosB=(c^2+a^2-b^2)～2*a*c \end{displaymath} 

　　\(\) 

作用

　　(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角 

　　(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。 

　　(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。) 

　　判定定理一(两根判别法)： 

　　若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取 

　　减号的值 

　　①若m(c1,c2)=2,则有两解 

　　②若m(c1,c2)=1,则有一解 

　　③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。 

　　注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。 

　　判定定理二(角边判别法): 

　　一当a>bsinA时 

　　①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解 

　　②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解) 

　　③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解 

　　④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解) 

　　⑤当b<a时，则有一解 

　　二当a=bsinA时 

　　①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解 

　　②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解) 

　　三当a<bsinA时,则有零解(即无解) 

sinα=y/r;cosα=x/r,tanα=y/x;cotα=x/y;secα=r/x;cscα=r/y

你画一个正六边形，六个尖依次是：顺序是最上面sin、cos、中间的tan、cot、下面的sec、csc

切，割成倒数 余 弦平方和为1
在单位圆中有更好地理解



d

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