求出是三个连续自然数的所有的勾股数

3 4 5以外的连续的自然数组成的勾股数~

没有
勾股数
开放分类： 数学

勾股数

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。

例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。

再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：

1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。

掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。

例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？

用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。

勾股数的通项公式：
题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件.
解答：
结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）
从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）
首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）
又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Y*n'*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积） （7）
根据（7）知n*n'仍然为平方数，又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明，比较简单）
可知a=m'*m*n
c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2)/2
a=m*n*m'


勾股数的常用套路

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
... ...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
... ...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
... ...

========Edward补充========
对于N 为质因数比较多的和数时海可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如：
n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5)
n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5）

=========ShangJingbo补充=======
还有诸如此类的勾股数，20、21、29；
119、120、169；
696、697、985；
4059、4060、5741；
23660、23661、33461；
137903 137904 195025
803760 803761 1136689
4684659 4684660 6625109
……

勾股数公式
X=m*m-n*n
Y=2mn
Z=m*m+n*n

您好！

写出三个连续的偶数自然数，而且它们恰为勾股数，是__6、8、10_____

(n-1)^2+n^2=(n+1)^2
即2n^2-2n+1=n^2+2n+1
得n^2=4n
所以n只能等于4
所以只有3，4，5这个组合

3 4 5
我记得只有这一个

(n-1)^2+n^2=(n+1)^2
n^2-4n=0
n=4或0
0不合题意，舍去

只有3、4、5

n^2+(n-1)^2=(n+1)^2
n^2-4n=0

3、4、5

只有345

---

鹤山区13297327867： 求出是三个连续自然数的所有的勾股数 - ？
赫侦圣迪： (n-1)^2+n^2=(n+1)^2 即2n^2-2n+1=n^2+2n+1 得n^2=4n 所以n只能等于4 所以只有3,4,5这个组合

鹤山区13297327867： 写出三个连续的偶数自然数,而且它们恰好为勾股数,它们是______、______和______. - ？
赫侦圣迪：[答案] 设中间的数是x,那么前面的一个就x-2,后面的一个就是x+2,根据题意 (x-2)+x+(x+2)=24, 解得:x=8; 8-2=6,8+2=10; 故答案为:6、8、10.

鹤山区13297327867： 求勾股数除了3.4.5以外,还有没有三个连续的正整数可以组成勾股数? - ？
赫侦圣迪：[答案] 假设有三个连续的正整数可以组成勾股数,设中间的数为a,且a≠4 则三个数分别为a-1 a a+1 则 (a-1)^2+a^2=(a+1)^2 → a^2-4a=0 → a=0 或 a=4 显然a≠0,又a≠4 所以 无解. 假设不成立 所以除了3.4.5以外,没有三个连续的正整数可以组成勾股数

鹤山区13297327867： 写出三个连续的偶数自然数,而且它们恰为勾股数,是 - ------ - ？
赫侦圣迪： 您好!写出三个连续的偶数自然数,而且它们恰为勾股数,是__6、8、10_____

鹤山区13297327867： 写出三个连续的偶数自然数,而且它们恰好为勾股数,它们是 - -----、------和------ - ？
赫侦圣迪： 设中间的数是x,那么前面的一个就x-2,后面的一个就是x+2,根据题意(x-2)+x+(x+2)=24,解得:x=8;8-2=6,8+2=10;故答案为:6、8、10.

鹤山区13297327867： 如果如果3个连续整数是一组勾股数,那么这组勾股数是 ;如果3个连续偶数是一组勾股数,那么这组勾股数是 - ？
赫侦圣迪： X平方+(x+1)平方=(x+2)平方 x平方+(x+2)平方=(x+4)平方

鹤山区13297327867： 如何快速求出所有的勾股数? - ？
赫侦圣迪： 1. 定义:凡符合X^2+Y^2=Z^2公式的正整数值我们称之为勾股数.X和Y是直角边,Z是斜边.2. 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数,例[30,40,50] 等;3. 无公约数的勾股数,例[3,4,5];[8,15,17]等,我们称之为勾股数.全是偶数的勾股数...

鹤山区13297327867： 写出3组勾股数 - ？
赫侦圣迪： 3、4、5 6、8、10 9、12、15 分别是3、4、5的倍数的是勾股数.

鹤山区13297327867： 有三个整数,和是1000,它们三个能构成勾股数,这样的三个整数有多少组,写出求解过程 - ？
赫侦圣迪： 设这三个数分别是a,b,c(c最大) 所以a+b+c=1000, a^2+b^2=c^2, 且a,b,c都是整数 则有:a+b=1000-c,ab=1000(1000-2c) 所以a,b是方程x^2-(1000-c)x+1000(1000-2c)=0的两个正整数解 所以Δ=(1000-c)^2-4x1000(1000-2c)>=0 且ab=1000(1000-2c)>=0 解得不存在实数C 所以不存在

鹤山区13297327867： 请问勾股数的规律 - ？
赫侦圣迪： 在直角三角形中,若以a、b表示两条直角边,c表示斜边,勾股定理可以表述为a2+b2=c2.满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数.例如(3、4、5),(5、12、13),(6、8、10),(7、24、25)等一组一组的数,每一组都能满足a2+b2=c...