三角形的中心，重心，垂心，内心，外心。五心的定义和性质是什么？

三角形的中心、重心的定义？性质？~

三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，这个心是三角形的中心。
三角形重心：三角形三条中线的交点即为三角形重心。
三角形的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数.
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量） ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。

扩展资料五心、四圆、三点、一线：这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些特殊点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心和旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点；“一线”即欧拉线。
三角形的五心定理 ：①重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
②外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
③垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
④内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
⑤旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
参考资料：百度百科-三角形

如果你知道了三角形的重心，垂心，内心，外心，那么对以等边三角形，这四心是合一的，也叫中心，中心具有所有四心的性质。
　 需要补充的是三角形还有一个旁心，通常把三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
一、三角形重心定理
　　三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 　　
重心的性质： 　　
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 　　
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 　　
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 　　
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。三、三角形垂心定理
　　三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 　　
垂心的性质： 　　
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 　　
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 　　
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
　4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 　　
定理证明 　　
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 　　
证明： 　　
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE 　　
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC 　　
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 　　
又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 　　
因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理
　　三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 　　
内心的性质： 　　
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 　　
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 　　
3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：
向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c). 　　
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有
AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 　　
5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 　　
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　
6、、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　
7、（内角平分线分三边长度关系） 　　
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　
则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.二、三角形外心定理
　　三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 　　
外心的性质： 　　
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 　　
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 　　
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；
当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；
当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 　　
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 　　
5、外心到三顶点的距离相等五、三角形旁心定理
　　三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。 　　
旁心的性质： 　　
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。 　　
2、每个三角形都有三个旁心。 　　
3、旁心到三边的距离相等。 　　
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 　　

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。 有关三角形五心的诗歌:　　三角形五心歌（重外垂内旁） 　　
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，
五心性质很重要，认真掌握莫记混． 　　 重 心 　　
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好． 　　
外 心 　　
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆．
内心外心莫记混，内切外接是关键． 　　
垂 心 　　
三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整， 　　
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清. 　　
内 心 　　
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 　　
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”，如此定义理当然． 　　
五心性质别记混，做起题来真是好

重心，是三边上的中线的交点
垂心，是三边上的高线的交点
内心，是三个内角的平分线的交点
外心，是三边的垂直平分线的交点
三角形的五心
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。

外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。
垂心定理 三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。
内心定理 三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。
旁心定理 三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质：
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心扫三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

对于三角形“五心”的理解，希望你先理解书本上的定义和定理，然后在练习的过程中训练根据定义找特点的思维习惯，自己多总结，逐渐提高解决复杂几何题的能力

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融水苗族自治县19514932904： 三角形的内心,外心,重心,垂心分别是什么啊? - ？
玉宰奥美： 内心:三角形的三内角平分线交于一点.(内心定理)外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点.(外心定理)中心:等边三角形的内心.外心.垂心.重心重合.则特指等边三角形的这个重合点垂心:三角形的三条高交于一点.(垂心定理)重心:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.(重心定理) 旁心: 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外交平分线交于一点.(旁心定理)三角形有三个

融水苗族自治县19514932904： 三角形中,重心,中心,垂心,内心,外心.都是指什么 - ？
玉宰奥美：[答案] 重心是三条中线的交点 垂心是三条高的交点 内心是三条角平分线的交点 外心是三条边的垂直平分线的交点 中心只有正三角形才有,对于正三角形重心、垂心、内心、外心重合,该点就是中心

融水苗族自治县19514932904： 三角形的中心,重心,垂心,外心,内心分别是什么 - ？
玉宰奥美：[答案] 三角形只有五种心 重心:三中线的交点; 垂心:三高的交点; 内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点; 旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简...

融水苗族自治县19514932904： 什么是三角形外心,垂心,重心,内心,中心 - ？
玉宰奥美： 外心:三角形外接圆的圆心 垂心:三角形三边高的交点 重心:三角形三条中线的交点 内心:三角形内切圆的圆心 中心【好像没这个概念】

融水苗族自治县19514932904： 什么叫三角形的重心、内心、外心、垂心、中心?有什么特点么? - ？
玉宰奥美：[答案] 内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等. 外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等. 重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似. 旁心是一个内...

融水苗族自治县19514932904： 三角形的内心、外心、中心、垂心、重心? - ？
玉宰奥美：[答案] 内心:三内角内角平分线的交点; 外心:三边垂直平分线的交点; 重心:三边上的中线的交点; 垂线:三边的高的交点. 中心:【这个只有正三角形才有,此时,上述的几个心都重合了】

融水苗族自治县19514932904： 三角形的＂内心、外心、中心、重心、垂心”的具体概念? - ？
玉宰奥美：[答案] 对于任意一个三角形,三角形的三条高的交点叫做垂心,三角形的三条中线(中线指把三角形一边的中点与这条边所对应的端点连线所成的线)的交点所为重心,三角形的三条角平分线的交点叫内心,三角形的中心点为中心,三角形外的任意一个点...

融水苗族自治县19514932904： 三角形的三心(重心、中心、垂心)的定义是什么? - ？
玉宰奥美：[答案] 三角形“五心歌” 三角形有五颗心;重、垂、内、外和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混.重心三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”,重心性质要明了, 重心分割中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵活运用掌...

融水苗族自治县19514932904： 三角形重心 垂心 中心 内心 外心 - ？
玉宰奥美：[答案] 重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.垂心定理:三角形的三条高交于一点.该点叫做...

融水苗族自治县19514932904： 三角形中心,重心,外心,内心,垂心分别指什么?对了,还有旁心是什么?> - ？
玉宰奥美：[答案] 重心:中线的交点 垂心:高(垂线)的交点 外心:三角形的外接圆的圆心,即边的垂直平分线的交点 内心:三角形的内接圆的圆心,即角平分线的交点 中心:即几何中心,主要是在中心对称图形中提旁心:三角形任意两角的外角...