高中数学一题多解

高一数学，一题多解~

高中学习是靠思维吃饭的，这个你知道吗？所以同学们必须学会举一反三，找到不同和相同的规律。也就是说要多多积累学习中的技巧和大招，就是大家常说的套路，毕竟高考一直都是“万变不离其宗”的。
对于学生来说，从初中阶段步入高中阶段，面对高中数学，很容易感叹一句：高中数学难，难于上青天。事实上，高中数学比初中的数学难是正常的，不仅仅的因为知识点变多，考试题目更是复杂多变。前几天，东方优播高中数学李传静老师在朋友圈发表了一段话来表达同学们高中数学学习的这种感觉：初高中的区别类似于初中的时候一节课教你和面，作业和面；一节课教你擀皮儿，作业擀皮儿；直到教会你包包子，考试就考包包子。但高中之后，一节课教会你包饺子，作业是回家蒸包子；考试的时候考的是烙馅饼。是不是很形象，总之高中数学学习相比于初中而言，难度升级，学习方法变化真是很大。

从不定积分的一题多解浅析高等数学的发散思维
龚友运
（华南师范大学
增城学院公共课教学部，广东
广州
511363）
摘要：发散思维是多方向性和开放性的立体思维方式，是创造性的核心.一题多解是培养发散思维最有效的途径之一.本文以计算不定积分的“一题多解”为例，给出发散思维在高等数学中的应用实例.
关键词：发散思维；收敛思维；一题多解；不定积分



发挥典型习题功能 培养发散思维能力

心里学表明，“发散思维是创造性思维中的一种，它是从不同角度和方法去解决某一问题的前提”。作为一个数学教师，怎样去培养学生的发散思维能力呢？莫过于在典型习题的“选、挖”上下功夫，也就是精选习题，挖掘习题中蕴含的数学思想方法、知识结构，通过对习题展开全方位的探索，从中培养学生的发散思维能力。下面以两道习题为例，进行一次有益尝试。
一、典型习题
例1、求证：A（3，1）、B（-2，-3）、C（8，5）三点共线。
思路一：不难作出图形，由图可知，要证三点共线，只要证两线段长度之和等于第三条线段的长度。依两点间距离公式即可得证。
思路二：由分比知识，看是否有一点是其它两点确定的线段的分点，事实如此。
∴θ=0，故A、B、C三点共线。
思路七：求出经过两点A、B和A、C的直线方程，由两直线重合的充要条件，可知三点共线。
因为经过A、B的直线方程是4x-5y-7=0，经过A、C的直线方程是4x-5y-7=0，由两直线重合的充要条件知：AB、AC两直线重合，即A、B、C三点共线。
思路八：利用复数知识，求得A、B、C三点在复平面内所对应的复数分别为：


二、小结与启示
通过上以两道题的解答，不难发现，第一题的每一种思路较简单，但涉及到的知识面较广，几乎把《解析几何》中的直线部分知识都用上了，也沟通了各知识点的联系，拓宽了学生解题的思路。第二题的解法思路较抽象，既要启发学生从宏观上的观察，又要从微观上入手，既要以被发现的问题为突破口，也要把思维视角进一步放开，帮助学生点拨，开启学生思路。这两道习题均发挥了习题的功能。所以，我们只要精选习题，挖掘习题中蕴含的数学思想方法、知识结构，牢牢抓住习题的功能，对习题展开全方位的探索，久而久之，学生的发散思维能力就能得到培养。

数学思想来武装，巧思妙解放光芒
一道数学竞赛题的一题多解
一 、引子 北京市中学生数学竞赛有着悠久的历史。近十几年来，北京市中学生数学竞赛是在初二和高一两个年级进行。1990年起分为初试和复试，初试以普及为主，复试则适度提高。命题紧密结合中学数学教学实际，活而不难，趣而不怪，巧而不偏，力求体现出科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的综合统一。数学竞赛活动是备受青少年喜爱的一种数学课外活动。通过有趣味、有新意、有水平的题目，开发智力，引导学生提高数学素质。数学竞赛活动是落实数学素质的一种好形式。北京市十几年的数学竞赛积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目，引导学生研究赏析它，是一件赏心阅目、幸福愉快的事情。下面，笔者尝试通过一道北京市高一年级数学竞赛的初试题的一题多解，与读者共同享受数学智慧的灿烂阳光
二、题目
北京市1992年数学竞赛高中一年级初试“二、填空题”第4题如下：
4、若 sin2x+cosx+a=0 有实根，试确定实数a的取值范围是什么？
题目短小干炼，满分8分。
三、试解
方程中的求知数是x，出现了x的两种三角函数Sinx，Cosx.。而Sin2x=1-cos2x,好了，变一变，原方程就化成了
cos2x-cosx-1-a=0
①
如果原方程中 x有实根，则cosx就会有对应的实数，令t= cosx，这样方程①就化成了
t2-t-1-a=0
②
因此，方程②就应该有实数根，因此它的判别式△=(-1)2-4(-1-a)=4a+5≥0,所以 a≥-(5/4)
故实数a的取值范围是a≥-(5/4)
这个答案对吗？
当a≥-(5/4)时，一定有△≥0，方程②一定有实数根，问题是cosx=t有实根x就一定有实数根吗？注意到余弦函数的值域是cosx∈[-1，1]，故②有实根并不能保证cosx=t一定在[-1，1]内，可见上面的解答是不严密的，思维不缜密的同学可能就会在这里出错。这是试题设置的一个隐蔽的陷阱。
四、反思
怎么办呢？
如果能保证方程②的实数解t在区间[-1，1]内，则最简三角方程cosx=t就必有实数解x=2kπ±arccost, 好，这样一来，问题就转化为当方程②有位于[-1，1]中的实数根时，求实数a的取值范围什么？
由方程②得：

故当a∈[-(5/4),1]∪[-(5/4),-1]=[-(5/4),1]时，原方程有关于x的实数根。
以上的方法用到了一元二次方程求根公式，用到了解两个无理不等式组成的不等式组，用到了集合的交集和并集。心里感觉踏实了，但运算较繁杂，有没有更好一些的方法？
五、改进
如果记方程②的左端为f(t),即
f(t)=t2-t-1-a
则方程②有[-1，1]中的实数解就等价于二次函数f(t)=t2-t-1-a 的图象抛物线在[-1，1]内与t轴有交点。数转化为形，以形助数。好，试试看。
当抛物线与t轴在[-1，1]内只有一个交点时，当且仅当
f(-1)f(1)≤0即
(1-a)(-1-a)≤0, 解之，有 -1≤a≤1； ③
当抛物线与t轴在[-1，1]内有两个交点时，当且仅当

由③④得，当a∈[-1,1]∪[-(5/4),1]=[-(5/4),-1]时，y=f(t)与t轴在[-1，1]内有交点，方程②有实数解。
由于f(1)、f(-1)，Δ等的计算比较简便，上述解法是不是比较简捷一点？
六、换个角度看问题
诗曰：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”我们前面的解题思路，都把注意力注意在了“方程有实根”上，跳不出“方程有实根”的如来佛手心，“五”中的解法就渗透了数形转换，已属巧解。如果换个角度看问题，将方程①移项变形得
a=cos2x-cosx-1
视a为x的函数，用逆向思维来思考：x有实数解，则有cosx ∈[-1,1],a=[cosx-(1/2)]2-(5/4)当cosx=(1/2)时有最小值a最小=-(5/4)；当cos=-1时有最大值a最大=(9/4)-(5/4)=1，故函数值域为 a∈[-(5/4),1]。反之，当a在[-(5/4)，1]中取值时，cosx一定在[-1，1]中取值，x一定有实数解与之对应，你看，a的取值范围不是就求出来了吗？
七、变式
西游记中的孙悟空神通广大，能八九七十二变。好的数学题也会有一些“变式”。从上面的解法中你还能想到些什么？你能改编出一个相应的题目吗？试试看。
无独有偶，九年后的新千年第一年，2001年，北京市中学生数学竞赛高中一年能初赛试题“二、填空题”的最后一题即第8题如下：“8、若关于x的方程式sin2x+sinx+a=0 有实数解，求实数a的最大值与最小值的和”
读者诸君欣赏至此，是不是会“会心地笑了。”
八、启示
回顾以上解题过程，我们用到了方程的思想，等价转化的思想，数形结合转化的思想，变换角度看问题及逆向思维的思想。思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。比较以上各种解法，你得到了什么样的启示？

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乌兰县17385711528： 我想进行高中数学一题多解的训练,什么练习的书较好 - ？
董鸣顺风：[答案] 主要是在做题的过程中多思考,并不是单纯的强调一题多解这方法,学会从不同的方面着手解决数学问题.也就是数学知识的交叉应用.至于练习题,如果真有这本书,那他也是故意出的,考试的时候哪有这种情况.

乌兰县17385711528： “一题多解”是数学老师上课常用的一种方法.解决数学问题,特别是应用题,要善于运用例题启发学生运用不同的解题思路和方法.“一题多解”的最终目... - ？
董鸣顺风：[答案] (1)C (2)①思维发散求索的目的就是要在有限的时间内,提出尽可能多的解决问题的设想,使问题更快更好地解决,是一种展开性的思维方式,能有效地提高学生的思维能力.②在思维发散的过程中,需要综合运用聚合思维、逆向思维,还需要直觉...

乌兰县17385711528： 做数学题目一题多解的好处 - ？
董鸣顺风：[答案] 用多种方法解答同一道数学题,不仅能更牢固地掌握和运用所学知识,而且,通过一题多解,分析比较,寻找解题的最佳途径和方法,能够培养创造性思维能力.多做一些一题多解的练习题,对巩固知识,增强解题能力,提高学习成绩大有益处.

乌兰县17385711528： 求一题多解,高中数学题 - ？
董鸣顺风： X,Y>0,2X+Y+6=XY,求XY最小值(2解法,非换元法)均值不等式法:2X+Y+6=XY≥2√2xy+6,∴XY-2√2xy-6≥0,∴﹙√xy-3√2﹚﹙√xy+√2﹚≥0,∵X,Y>0,∴√xy-3√2≥0,∴√xy≥3√2,∴xy≥18,XY最小值是18.A+B+C=1,求证A^2+B^2+C^2>=1/3(3...

乌兰县17385711528： 高考数学题目一题多解 - ？
董鸣顺风： 一题多解肯定吃力不讨好...正常流程的话老师只要看到一个是有错的就会扣分了...而且老师还可能觉得看不清楚你哪个解法是哪个解法(考卷空间也有限啊..),索性不看直接批错...除非你把多个解法都写得很清楚而且都是完全正确的...那么老师会正常给你分...不过加分也是肯定不可能的啦.. = = 所以你考试时就自己捡一个把握大的写上去吧,写多个解法...我就不多说什么了......

乌兰县17385711528： 高中数学一题多解的题目,拜谢 - ？
董鸣顺风： 一道数学题的展开的一题多解的多向思维 在数学的教育教学中,选好一道例题.通过一题多思,一题多解,一题多讲,可以巩固学生知识,训练学生思维,开拓学生视野.利用多角度去看一道题,强化思维的连贯性,知识的衔接,能够全面利用所学的知识解决一些实际性的问题,培养学生对知识的活学活用有着重要的帮助. 参考资料: http://bbs.tesoon.com/read.php?tid=141485 www.shuxuefudao.com/DatumInfo-85.aspx

乌兰县17385711528： 高中数学名题一题多解？
董鸣顺风： <p>一道数学题的展开的一题多解的多向思维</p> <p>在数学的教育教学中,选好一道例题.通过一题多思,一题多解,一题多讲,可以巩固学生知识,训练学生思维,开拓学生视野.利用多角度去看一道题,强化思维的连贯性,知识的衔接,能够全面利用所学的知识解决一些实际性的问题,培养学生对知识的活学活用有着重要的帮助.</p> <p></p>

乌兰县17385711528： 对于高三数学来说,一题多解和多题一解哪一种更适合基础较差的学生 - ？
董鸣顺风： 多题一解.数学就是总结做题的方法(如果你的目标是高考的话,搞科研另说),多题一解可以总结解题套路,寻找可用同一方法解的题的特征.高考也就那么几类题,万变不离其宗.

乌兰县17385711528： 高中向量问题,要求一题多解,至少三种 - ？
董鸣顺风： 6.(a+b)^2=a^2+b^2=2,∴|a+b|=√2,∴|c||c|>=|a+b|-|a+b-c|=√2-1,弃D,选A.此外,可以取特殊:a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则 由|c-a-b|=1得(x-1)^2+(y-1)^2=1,画示意图知选A.还可以直接利用已知条件画示意图.我不会截图,图只好让您自己画.

乌兰县17385711528： 数学一题多解,会不会浪费时间了 - ？
董鸣顺风： 不会的 会帮助你巩固很多知识,而且你可以在解题过程中找到最简便、最适合自己的方法,当然考试的时候用不着一题多解,但平时练习的时候最好还是一题多解的来做,考试才会得心应手嘛 求采纳啊 完全手打啊