等差数列性质

等差数列的性质有什么？~

基本性质
⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S
可以写成S
=
an^2
+
bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列中，当项数为2n
(n∈
N+)时，
S偶－S奇
=
nd，
S奇÷S偶=an÷a（n+1）
；当项数为(2n－1）(n∈
N+)时，S奇—S偶=a中
，S奇÷S偶
=n÷（n-1）
．
⑶若数列为等差数列，则S
n，S2n
－Sn
，S3n
－S
2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d
．
(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则am/bm=S2m-1/T2m-1.
⑸在等差数列中，S
=
a，S
=
b
(n>m)，则S
=
(a－b)．
⑹等差数列中，
是n的一次函数，且点（n，
）均在直线y
=
x
+
(a
－
)上．
⑺记等差数列的前n项和为S
．①若a
>0，公差d<0，则当a
≥0且an+1≤0时，S
最大；②若a
<0
，公差d>0，则当a
≤0且an+1≥0时，S
最小．
[8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)
6特殊性质
在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,
即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中
例：
数列：1，3，5，7，9，11中
a(1)+a(6)=12
;
a(2)+a(5)=12
;
a(3)+a(4)=12
;
即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。
数列：1，3，5，7，9中
a(1)+a(5)=10
;
a(2)+a(4)=10
;
a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5
;
即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍,另见，等差中项.

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
　　⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
　　⑶若{an}{bn}为等差数列，则{
an
±bn
}与{kan
＋bn}(k、b为非零常数)也是等差数列．
　　⑷对任何m、n
，在等差数列中有：an
=
am
+
(n－m)d（m、n∈N+)，特别地，当m
=
1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
　　⑸、一般地，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq　.
　　⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(
k为取出项数之差)．
　　（7）下表成等差数列且公差为m的项ak.ak+m.ak+2m.....(k,m∈N+）组成公差为md的等差数列。
　　⑻在等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
　　⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等.

和＝（首项＋末项）*项数÷2

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

项数=(末项－首项）/公差＋1

扩展资料

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均属于正整数。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：

an=a1+(n-1)d (1)

前n项和公式为：
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)

从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。

且任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

和＝（首项＋末项）*项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
项数=(末项－首项）/公差＋1
等差数列的应用：
日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，长安等差数列进行分级。
若为等差数列，且有ap=q,aq=p.则a(p+q)＝－（p+q)。
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．
⑶若、为等差数列，则{a±b}与{ka＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n，在等差数列中有：a=a+(n－m)d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当为等差数列时，有：a+a+a+…=a+a+a+…．
⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd(k为取出项数之差)．
⑺如果是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为－d；在等差数列中，a－a=a－a=md．(其中m、k、)
⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．⑽设a1，a2，a3为等差数列中的三项，且a1与a2，a2与a3的项距差之比=d（d≠－1），则2a2=a1+a3．
⑴如果数列是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式S=．⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S=S＋qS．⑵
⑷若数列为等比数列，则S，S－S，S－S，…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列

1：本来有求和公式sn=n（a1+an）/2 你把n换成2n-1 则有s（2n-1）=(2n-1)(a1+a(2n-1))/2
由于a1+a(2n-1)=a1+a1+(2n-1-1)d=2(a1+(n-1-1)d)=2a(n-1)
所以 就有s（2n-1）=（2n-1）an
2：这个也同理你可以把奇数项和偶数项分别求和出来再相减就是了：
若n是偶数则有： s偶=(n/2X(a2+an))/2=(n(a2+an))/4 (去半个数变为了n/2)
s奇=(n/2X(a1+a(n-1)))/2=(n(a1+a(n-1)))/4
相减有s偶-s奇=n/4X(d+d)=1/2 nd
若n是奇数是同理 s偶=((n-1)/2X(a2+a(n-1)))/2=((n-1)(a2+a(n-1)))/4=(n-1)X(a1+an)/4
s奇=((n+1)/2X(a1+a(n-1)))/2=((n+1)(a1+an))/4
相减有s奇-s偶=2X(a1+an)/4=(a1+an)/2=中间项 （这里不明白我可以在具体点）
3：其实所有问题你不要急于得出结论，你都要从问题的命题出发，在结合自己掌握的基本公式和定理一推就出来了 高中东西很简单的
证明如下：题目说某数列的前N项和的公式是常数项不为0的二次函数，那么我们就可以假设
sN=An^2+Bn+C 常数项不为0的二次函数 则有：A和C不能为0
我们可以得到aN=sN-s(N-1)=A(2n-1)+B 这里n不能等于1必须大于1，因为N-1要大于等1
即n从2开始取，这显然是个等差数列公式因为a(N+1)-aN=2A A是不等于0的 而且N要大于等于2
那么当n=1时有a1=s1=A+B+C 你可以把a1和aN （N大于2比较下 a1确实不是他们中一个等差项） 我们仔细点可以注意到如果当C=0是那么a1就是等差数列中的一项了，这就是题目为什么说常数项不能为0的原因了。楼主可以自己平时多注意分析下 好多东西在于发现，有条理

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历标醋酸：[答案] 若 m、n、p、q∈N ①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ②若m+n=2q,则am+an=2aq(等差中项) 注意:上述公式中an表示等差数列的第n项.

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历标醋酸：[答案] Sn=a1+a2+a3+.+an an-a(n-1)=d an=a1+(n-1)*d

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静乐县19154083305： 等差数列的性质？
历标醋酸： (1)d>0,数列为递增数列,反之为递减数列;d=0,为常数列.(2)d=(an-am)/(n-m).(3){ban}的公差为bd.(3)等差数列中等间隔数列也为等差数列.(4)若m+n=q+p,则am+an=aq+ap