已知二阶非齐次线性微分方程的三个特解为y1=1，y2=x，y3=x^2，写出该方程的通解。

求教 已知 y=1 ，y=x ，y=x^2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解 则该方程的通解为~

通解是y=C1(x^2-1)+C2(x-1)+1。
解：∵y1=1, y2=x , y3=x^2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解
∴y3-y1=x^2-1和y2-y1=x-1是对应齐次方程线性无关的两个解
则此齐次方程的通解是y=C1(x^2-1)+C2(x-1) (C1,C2是常数)
∵y1=1是该方程的一个解
∴该方程的通解是y=C1(x^2-1)+C2(x-1)+1。

扩展资料：
简单来讲，线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。
线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。
微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。
如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。
线性微分方程的一般形式是：

其中D是微分算子d/dx（也就是Dy = y'，D2y = y"，……）， 是给定的函数。这个微分方程是n阶的，因为方程中含有y的n阶导数，而不含n+1阶导数。
参考资料：百度百科-线性微分方程

二阶齐次线性微分方程a1(x)d^2y/dx^2+a2(x)dy/dx+a3(x)y=0 (1)
二阶齐次非线性微分方程a1(x)d^2y/dx^2+a2(x)dy/dx+a3(x)y=f(x) (2)
(2)的通解的表达形式 y=c1y0(x)+c2y1(x)+cy2(x)
其中y0(x)是（2）的一个特解，y1(x)和y2(x)是（1）的基本解组
现在我们已经知道二阶齐次非线性微分方程的一个特解，即y1=3+x^2或y2=3+x^2+exp(-x)，两者任选其一即可，就取y0(x)=y1=3+x^2.我们还知道二阶齐次线性微分方程的一个解y1(x)=y3=x,只需要再求出二阶齐次线性微分方程另一个与y3=x线性无关的解即能求出答案
因为y2-y1=(3+x^2+exp(-x))-(3+x^2)=exp(-x)是二阶齐次线性微分方程的解，且exp(-x)与x线性无关，所以exp(-x)就是我们要找的二阶齐次线性微分方程的另一个解
所以微分方程的通解为y=1y0(x)+c2y1(x)+cy3(x)
其中y0(x)=3+x^2,y1(x)=x,y2(x)=exp(-x),c1,c2,c3是任意常数。
如果有不清楚，欢迎继续追问。

若y1、y2是方程p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=f(x)的两个特解，则y1-y2是方程的p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=0的特解

利用上面的结论，可知y=x-1与y=x²-1都是这个二阶非齐次微分方程所对应的齐次方程的特解
因为这两个特解非线性相关，所以这个齐次方程的通解可表示为
y=C1(x-1)+C2(x²-1)
所以原微分方程的通解可表示为它的齐次方程的通解再加上它的一个特解
y=C1(x-1)+C2(x²-1)+1，C1,C2是任意常数

a1+a2x+a3x^2

线性非其次微分方程的解等于特解加上对应其次微分方程的解
证明:微分方程可简化为l[y]=f(x)其中l[y]是方程左边线性算子,并设y?为方程特解,y!为l[y]=0的通解,有线性的性质得到l[y?+y!]=l[y?]+l[y!]
有l[y?]==f(x)(特解),l[y!]==0(对应通解),所以l[y?+y!]==f(x),
证明上面为通解和证明线性其次方程的类是,非常长就不列出了.

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官渡区17270799110： 已知二阶非齐次线性微分方程的三个特解为y1=1,y2=x,y3=x^2,写出该方程的通解.要利用这个结论:若y1、y2是方程p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=f(x)的两个特解,... - ？
华枫参芪：[答案] 若y1、y2是方程p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=f(x)的两个特解,则y1-y2是方程的p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=0的特解利用上面的结论,可知y=x-1与y=x²-1都是这个二阶非齐次微分方程所对应的齐次方程的特解因为这两个特解非...

官渡区17270799110： 已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解y1=x,y2=x+e^x,y3=1+x+e^x求通解 - ？
华枫参芪： 先通过作差求出对应齐次方程的通解,再用特解加上通解写出非齐次的通解

官渡区17270799110： 二阶线性非齐次微分方程 知三个特解 求通解 我知道应该将三个特解两两相减就可以得到该线性齐次微分方程的通解,然后取其中的两个,在每一个之前乘上... - ？
华枫参芪：[答案] 楼主分析的非常精辟,不知道有什么疑问呢,通解嘛自然表示方式不一定非得一样,但是能包括所有的解,这就是通解了 只不过是答案形式不同 正如楼主所说,这类题目只需要先求的齐次线性微分方程的通解然后加上非齐次方程的的特解即可 这即...

官渡区17270799110： 二阶线性非齐次微分方程 知三个特解 求通解 答案唯一吗? - ？
华枫参芪： 楼主分析的非常精辟,不知道有什么疑问呢,通解嘛自然表示方式不一定非得一样,但是能包括所有的解,这就是通解了 只不过是答案形式不同 正如楼主所说,这类题目只需要先求的齐次线性微分方程的通解然后加上非齐次方程的的特解即可 这即可构成通解 书本原话

官渡区17270799110： 已知一个线性非齐次微分方程的三个特解怎样求它的通解?太好了,能不能用最简单最明了的方法解释一下? - ？
华枫参芪：[答案] 首先,我不知道这个方程是几阶的.想必应该是二阶的吧!将三个特解两两相减就可以得到该线性齐次微分方程的通解.然后,取其中的两个,在每一个之前乘上一个任意常数,相加后再加上一个三个特解中的任意一个.行了.

官渡区17270799110： 已知二阶非齐次线性微分方程的三个特解为y1=1,y2=x,y3=x^2,写出该方程的通解. - ？
华枫参芪： 若y1、y2是方程p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=f(x)的两个特解,则y1-y2是方程的p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=0的特解 利用上面的结论,可知y=x-1与y=x²-1都是这个二阶非齐次微分方程所对应的齐次方程的特解 因为这两个特解非线性相关,所以这个齐次方程的通解可表示为 y=C1(x-1)+C2(x²-1) 所以原微分方程的通解可表示为它的齐次方程的通解再加上它的一个特解 y=C1(x-1)+C2(x²-1)+1,C1,C2是任意常数

官渡区17270799110： 关于二阶微分方程特解通解问题一般知道三个二阶非齐次微分方程的特解a,b,c,则可知其通解为C1(a - b)+C2(b - c)+a.(C1,C2为任意常数)那么,如果只知道两个... - ？
华枫参芪：[答案] 你给的例子实际上是一种特殊情形,不具有一般性. 对于你给的这个例子,由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解,故可得方程的通解是:y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x

官渡区17270799110： 微分方程已知y1*,y2*,y3*是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解' 为什么用y1* - y2*和y2* - y3*可以得到该其次方程的两个特解?我基础不好'麻烦详细回答'谢谢 - ？
华枫参芪：[答案] 非齐次方程的任意两个解的差是对应的齐次方程的解.

官渡区17270799110： 2 阶线性非齐次方程的已知3个特解,求通解.可不可以取其中2个特解做线性组合 - ？
华枫参芪： 错了,你应该先求对应齐次方程的通解,然后加上原方程的一个特解才对. 求对应齐次方程的通解就比较简单了,你把已知的3个特解两两相减,得到两个线性无关的解的线性组合就是这个通解.

官渡区17270799110： 求教 已知 y=1 ,y=x ,y=x^2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解 则该方程的通解为 - ？
华枫参芪： 首先这三个解都是非齐次方程的特解,其次因为它们是线性无关的,所以任意两个解之差是对应齐次方程的解.写通解的时候可以以其中任意一个为非齐次的特解,然后任意两个解之差作为对应齐次方程的通解.比如C1(1-x^2)+C2(x-x^2)+x^2或者C1(x^2-x)+C2(x^2-1)+x类似可以写出很多.这道题在同济高等数学上是一个习题,答案只给出了其中一种形式而以.