在直角梯形ABCD中，AB//CD,AD垂直DC，AB＝BC，AE垂直BC (1)求证：AD=AE （2）若AD＝8,DC=4,求AB的长

如图在直角梯形ABCD中,AB//CD,AD垂直DC,AB=BC,且AE垂直BC~

作BF⊥DC的延长线于F
∵ ABCD是直角梯形,AB//CD,AD⊥DC
∴ ABFD是矩形,
∴ AD=BF,
∴∠BCF=∠ABE
∵∠AEB=∠BFC=90°,
AB=BC
∴ △AEB≌△BFC
∴ AE=BF
∴AE=AD

2、
设AB=BC=X，
作CK垂直于AB交AB于点K。
则有：在三角形BCK中，有勾股定理，4^2+（X-0.5）^2＝X^2，得X=16.25
AB=16.25

楼主您好,很高兴能为你解答.
先分析一下这道题:（1）连接AC，证明△ADC与△AEC全等即可；
（2）设AB=x，然后用x表示出BE，利用勾股定理得到有关x的方程，解得即可．
下面是详细过程:
解（1）证明：连接AC
∵AB∥CD
∴∠ACD=∠BAC
∵AB=BC
∴∠ACB=∠BAC
∴∠ACD=∠ACB
∵AD⊥DC,AE⊥BC
∴∠D=∠AEC=90°
∵AC=AC
∴{∠D=∠AEC,∠DCA=∠ACB,AC=AC
∴△ADC≌△AEC（AAS）
∴AD=AE;
（2）由（1）知：AD=AE，DC=EC， 设AB=x，则BE=x-4，AE=8，
在Rt△ABE中∠AEB=90°
由勾股定理得：82+（x-4）2=x2， 解得：x=10
∴AB=10．

1
连接AC
∵AB=BC
∴∠BAC=∠BCA
∵AB||CD
∴∠BAC=∠DCA
∴∠DCA=∠BCA
∴AC为∠BCD的角平分线
∵AD⊥CD AE⊥BC CD,BC为∠BCD的两条边
∴AD=AE(原因是角平分线的任一点到两边的距离相等)

2
tan∠ACD=AD/CD=8/4=2
sin∠ACD/cos∠ACD=2
sin∠ACD=2cos∠ACD 平方一下
sin^2∠ACD=4cos^2∠ACD=4-4sin^2∠ACD
∵在△ACD中∠D=90
∵∠ACD<90
∴sin∠ACD>0
cos∠ACD>0
∴sin∠ACD=2√5/5
cos∠ACD=√5/5
∵∠BAC=∠BCA=∠ACD
∴∠B=180-2∠ACD
sin∠B=sin(180-2∠ACD)
=sin2∠ACD
=2sin∠ACDcos∠ACD
=2√5/5*√5/5
=2/5=AE/AB
AB=AE/2/5
=AD/2/5
=8/2/5
=4*5=20

1、证明：过点C作CF⊥AB
∵AB∥CD，AD⊥CD，CF⊥AB
∴矩形AECD
∴AD＝CF
∵AE⊥BC
∴∠AEB＝∠CFB＝90
∵∠B＝∠B，AB＝BC
∴△ABE全等于△CBF
∴AE＝CF
∴AD＝AE
2、解
∵矩形AFCD
∴AF＝CD
∵CD＝4
∴AF＝4
∵AE＝AD，AD＝8
∴AE＝8
∵△ABE全等于△CBF
∴BE＝BF
∴AB＝AF+BF
∵AB²＝BE²+AE²
∴（AF+BF）²＝BF²+AE²
∴（4+BF）²＝BF²+64
∴BF＝6
∴AB＝AF+BF＝4+6＝10

过B点做BF垂直DC BF=DC
AB//DC 得到角ABE=角DCB 还有AEB 和BFC 是直角 且AB=BC
所以三角形ABE和三角形BFC是全等三角形 所以AE=BF=AD

有题目得到AB=DF=DC-FC或者DC+FC
设AB=X 则 1、AB=DF=DC-FC=x 由三角形得到X>8 , 8>4-x>0 所以 此种可能不存在
2、AB=DF+FC=X 所以 （x-4)^2+8^2=x^2 得到x=10
即 AB=10
有图的话 ，不用考虑第一种情况

证明：
连接AC，
∵AB=BC
∴∠BAC=∠BCA
∵AB∥CD
∴∠BAC=∠DCA﹙内错角﹚
∴∠BCA=∠DCA
∵AD⊥DC，AE⊥BC
∴AD=AE﹙角平分线上的点到角两边的距离相等﹚
2、解
∵矩形AFCD
∴AF＝CD
∵CD＝4
∴AF＝4
∵AE＝AD，AD＝8
∴AE＝8
∵△ABE全等于△CBF
∴BE＝BF
∴AB＝AF+BF
∵AB²＝BE²+AE²
∴（AF+BF）²＝BF²+AE²
∴（4+BF）²＝BF²+64
∴BF＝6
∴AB＝AF+BF＝4+6＝10

1.证明：连结AC，则ABC为等腰三角型（∠ACE = ∠CAB )

∠CAE = 90* -∠ACE, 

∠CAD =∠DAB - ∠CAB = 90* - ∠CAB

故 ∠CAE = ∠CAD

又AC = AC，

易知△ACD≌△ACE

所以AD = AE

2. 设AB为x,则 BE = （x-4)

x^2 = (x-4)^2 + 8^2

展开两边消去x^2得，0 = 16 - 8x + 64

解方程得，x = 10

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