计算曲线积分I=∫-ydx+xdy其中L是沿曲线y=根号(2x-x^2)从A(2,0)到(0,0)

计算曲线积分I=∫L ydx-xdy\x^2+y^2,其中L：（x-1)^2+(y-1)^2=1(逆时针） ((~

用格林公式：奇点(0，0)不在积分域内。
I = ∮L (ydx - xdy)/(x^2 + y^2)
= ∫∫D [(x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2 - (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2] dxdy
= 0

用参数方程。
{ x = 1 + cost、dx = - sint dt
{ y = 1 + sint、dy = cost dt
0 ≤ t ≤ 2π
∮L (ydx - xdy)/(x^2 + y^2)
= ∫(0→2π) [(1 + sint)(- sint) - (1 + cost)(cost)]/[(1 + cost)^2 + (1 + sint)^2] dt
= - ∫(0→2π) (sint + cost + 1)/(2sint + 2cost + 3) dt
令u = tan(t/2)、dt = 2/(1 + u^2) du，sint = 2u/(1 + u^2)、cost = (1 - u^2)/(1 + u^2)
∫ (sint + cost + 1)/(2sint + 2cost + 3) dt
= ∫ [2u/(1 + u^2) + (1 - u^2)/(1 + u^2) + 1]/[2 * 2u/(1 + u^2) + 2 * (1 - u^2)/(1 + u^2) + 3] * 2/(1 + u^2) du
= 4∫ (u + 1)/[(u^2 + 1)(u^2 + 4u + 5)] du
= ∫ du/(u^2 + 1) + ∫ du/(u^2 + 4u + 5)
= ∫ du/(u^2 + 1) + ∫ du/[(u + 2)^2 + 1]
= arctan(u) + arctan(u + 2) + C
= arctan[tan(t/2)] + arctan[2 + tan(t/2)] + C
于是I = - arctan[tan(t/2)] - arctan[2 + tan(t/2)]：(0→2π)
将区间分为：0→π⁻，π⁺→2π
I = (- π/2 - π/2) - (- π/2 - π/2)
= 0

补充直线段BA，则I=∫L+BAydx?xdyx2+4y2+∫ABydx?xdyx2+4y2=I1+I2其中I1的P(x，y)＝yx2+4y2，Q(x，y)＝?xx2+4y2且当（x，y）≠（0，0）时，?P?y＝1x2+4y2?8y2(x2+4y2)2，?Q?x＝?1x2+4y2+2x2(x2+4y2)2∴?Q?x??P?y＝?2x2+4y2+2x2+8y2(x2+4y2)2＝0因此在L+BA所围成的区域D，挖掉以（0，0）为心的小椭圆域Dr：x2+4y2≤r2（y≥x，r＞0），使得Dr与L相离设Dr的椭圆部分边界为Lr，取逆时针方向，由格林公式，得I1＝∫∫D?Dr(?Q?x??P?y)dxdy?∫Drydx?xdyx2+4<s

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延庆县19280029394： 设C为y^2=x上从点0(0,0)到点P(1,1)的一段弧,则曲线积分I=∫(c) Ydx - Xdy 的值. - ？
柴高当归：[答案] I=∫(c) Ydx-Xdy =∫(c) Ydx-∫(c)Xdy =∫(c) √xdx-∫(c)y^2*dy =2/3*x^(3/2)(0->1)-1/3*y^3(0->1) =2/3-1/3 =1/3

延庆县19280029394： 求数分I=∫( - xdx+ydy)/(x^2+y^2),其中L:x^2;+y^2;=a^2;,方向取逆时针.我怎么算出0啊.求解题计算过程 - ？
柴高当归：[答案] 你现在写的这个积分的结果就是0,你是否将题目写错了?分子是否应该是-ydx+xdy? 你现在的题将分母x²+y²换成a² 则:原积分=(1/a²)∫ -xdx+ydy 然后用格林公式,显然结果为0. 若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.

延庆县19280029394： 计算积分:I=∫Γxdy - ydxx2+y2,其中,Γ为包含原点的一条分段光滑闭曲线,取正方向. - ？
柴高当归：[答案] 以原点为心以充分小正数r为半径作一小圆域D,包含在Γ内,圆周为Γ1,取正向, 则由格林公式有:∮Γ xdy-ydx x2+y2=∫Γ1 xdy-ydx x2+y2. 再注意到Γ1的参数方程为:x=rcosφ,y=rsinφ,0≤φ≤2π,得 ∫Γ xdy-ydx x2+y2= ∫2π0 rcosφrcosφ-rsinφ(-sinφ) r2dφ=2π. ...

延庆县19280029394： 计算曲线积分I=∫L ydx - xdy\x^2+y^2,其中L:(x - 1)^2+(y - 1)^2=1(逆时针) (( - ？
柴高当归：[答案] 用格林公式:奇点(0,0)不在积分域内.I = ∮L (ydx - xdy)/(x^2 + y^2)= ∫∫D [(x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2 - (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2] dxdy= 0用参数方程.{ x = 1 + cost、dx = - sint dt{ y = 1 + sint、dy = co...

延庆县19280029394： 求解步骤,曲线积分 - ？
柴高当归： I=∫(c) Ydx-Xdy=∫(c) Ydx-∫(c)Xdy=∫(c) √xdx-∫(c)y^2*dy=2/3*x^(3/2)(0->1)-1/3*y^3(0->1)=2/3-1/3=1/3

延庆县19280029394： 求线性积分I=∫(x - y)dx/(x^2+y^2)+(x+y)dy(x^2+y^2),积分曲线c从点A( - a,0)经上半椭圆(接下)x^2/a^2+y^2/b^2=1(y>=0)到达点B(a,0)的弧段,且0 - ？
柴高当归：[答案] 可以知道在单连通区域{(x,y)|y>=0}满足Q=(x-y)/(x^2+y^2)对x的偏导数等于P=(x+y)/(x^2+y^2)对y的偏导数,故曲线积分与路径无关,原式等于被积表达式沿x^2+y^2=a^2上半部分从A到B的曲线积分,即 I=∫(x-y)dx/a^2+(x+y)dy/a^2,剩下的就是令x=...

延庆县19280029394： 高数.利用曲线积分,求星形线... . .. - ？
柴高当归： 曲线积分求面积的公式:A=1/2∫xdy-ydx 这个公式的证明,简单的说: ∫Pdx+Qdy :L 如果积分曲线封闭,且为单联通,并有:P对Y偏导,Q对X偏导 应用格林公式有:∫Pdx+Qdy =∫∫(dP/dy-dQ/dx)dxdy 且知道,二重积分∫∫ƒ(x.y)dxdy 当ƒ(x.y)=1时 在数值上等于积分区的面积. 曲线积分就是通过这个途径来求面积的. 此题的做法是:A=1/2∫xdy-ydx= 1/2∫(3a&sup2;sin&sup2;tcos&sup2;tcos&sup2;t+3a&sup2;sin&sup2;tsin&sup2;tcos&sup2;t)dt=3∏a&sup2;/4 不知道结果对不对

延庆县19280029394： 问个高数积分问题 假设L是点(0,0)到(2,0)的线段,则∫<L>ydx - xdy=? 怎么算, - ？
柴高当归： 首先y=0,所以ydx-xdy=0,曲线积分为0

延庆县19280029394： 计算曲线积分∫{L}xydx+(y - x)dy,其中L是(0,0)到(1,2)直线段 - ？
柴高当归：[答案] L所在的直线为y=2x,∴有dy=2dx 将y=2x,dy=2dx带入原积分,得 该积分=∫[0,1]x(2x)dx+2(2x-x)dx =∫[0,1](2x²+2x)dx =2(1/3+1/2) =5/3

延庆县19280029394： 曲线曲面积分 - ？
柴高当归： 1,4∮L -ydx+xdy, L:y=1-x,x>0,y>0 =4∫(1到0) -(1-x)dx-xdx=42,分段积分:y=0,0《x<=1 ,r=θ(0到pi/4),y=x(0到1)你在分别套用公式,第二个极坐标