计算二重积分∫∫(x+y)²dxdy,D为矩形区域:【0,1】*【0,1】(∫∫下面有个大写字母D)

计算二重积分 ∫ ∫（x+y）²dxdy，积分区域d「0，1」*「0，1」~

如图

楼上错的，楼上当作矩形区域算了

首先本题区域关于x轴对称，y关于y是一个奇函数，因此积分为0，所以被积函数中的y可去掉。
∫∫（x+y）dxdy
=∫∫xdxdy
用极坐标，x²+y²=2x的极坐标方程为：r=2cosθ
=∫[-π/2---->π/2] dθ∫[0---->2cosθ] rcosθ*rdr
=∫[-π/2---->π/2] cosθdθ∫[0---->2cosθ] r²dr
=∫[-π/2---->π/2] (cosθ)*(1/3)r³ |[0---->2cosθ] dθ
=(8/3)∫[-π/2---->π/2] cos⁴θ dθ
=(16/3)∫[0---->π/2] cos⁴θ dθ
=(16/3)∫[0---->π/2] [1/2(1+cos2θ)]² dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+cos2θ)² dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ)) dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (3/2+2cos2θ+1/2cos4θ) dθ
=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ) |[0---->π/2]
=(4/3)(3/2)*(π/2)
=π

由积分区域可以知道，x和y的取值范围都是0到1
那么
∫∫(x+y)²dxdy
=∫∫(x²+2xy+y²)dxdy
=∫(上限1,下限0)dy *∫(上限1,下限0)(x²+2xy+y²)dx
=∫(上限1,下限0)dy * (x^3/3 +x²y+xy²) [代入x的上限1,下限0]
=∫(上限1,下限0) (1/3 +y+ y²) dy
=(y/3 +y²/2 +y^3 /3) [代入y的上限1,下限0]
=1/3 +1/2 +1/3
=7/6

　　∫∫(x+y)²dxdy
　　令t=x+y,x=x
　　则上式变成∫∫t²dxdt，当然积分范围也变了,范围如下。
　　∫∫t²dxdt=∫(x=0..1)dx∫(t=x..x+1)dt=∫(x=0..1)dx∫t^2(t=x..x+1)dt
　　=∫(x=0..1)(x^2+x+1/3)dx=1/3+1/2+1/3=7/6

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长海县19351104171： 计算二重积分∫∫(x+y)²dxdy,D为矩形区域:【0,1】*【0,1】(∫∫下面有个大写字母D) - ？
重委华福：[答案] ∫∫(x+y)²dxdy令t=x+y,x=x则上式变成∫∫t²dxdt,当然积分范围也变了,范围如下.∫∫t²dxdt=∫(x=0..1)dx∫(t=x..x+1)dt=∫(x=0..1)dx∫t^2(t=x..x+1)dt=∫(x=0..1)(x^2+x+1/3)dx...

长海县19351104171： 计算二重积分∫∫D e^(x+y)dδ,其中D={(x,y)||x|+|y|= - ？
重委华福： 简单计算一下即可,答案如图所示

长海县19351104171： 计算二重积分∫∫D ln(1+x²+y²)dxdy ,其中D:x²+y²≤1,x≥0,y≥0. - ？
重委华福： 解: 因为0<=x<=1; 所以x<=√x 又√x≤y≤2√x ;x≤y≤2x; 所以 √x≤y≤2x ∫∫(x²+y)dxdy=∫(上限1,下限0)(∫(上限2x,下限√x)(x²+y))dy)dx =∫(上限1,下限0)(2x^3+2x^2-√x*x^2-x/2)dx =(1/2*x^4+2/3*x^3-2/7*x^(7/2)-1/4*x^2)|(上限1,下限0) =2+2-1-1/2-(0+0-0-0) =5/2

长海县19351104171： 求解一道高数重积分计算题,计算二重积分∫∫|x^2+y^2 - 1|dσ,其中积分区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}.π/4 - 1/3 .请写出解题步骤,谢谢楼下的回答,你这方法我想... - ？
重委华福：[答案] 用极坐标 相当于积|r^2-1|/2 d(r^2) 先取负,积1/4圆弧内 后取正,r=1到r=secθ θ为0到π/4 r=1到r=cscθ θ为π/4到π/2

长海县19351104171： 求·二重积分∫∫(x+y)^2dxdy,其中积分区域D:x^2+y^2≤4 - ？
重委华福：[答案] ∫∫(x+y)^2dxdy=∫∫(x²+y²+2xy)dxdy=∫∫(x²+y²)dxdy (这里由于函数2xy关于x为奇函数,区域D关于y轴对称,所以∫∫2xydxdy=0) =∫[0,2π]dθ∫[0,2]r²*rdr=2π*r^4/4|[0,2]=8π 这里用了极坐标

长海县19351104171： x²+y²≤2y,计算二重积分I=∫∫x²dxdy - ？
重委华福： 设x=rcosu,y=1+rsinu,则dxdy=rdrdu, 原式=∫<0,2π>du∫<0,1>r^3(cosu)^2dr =(1/8)∫<0,2π>(1+cos2u)du =π/4.

长海县19351104171： 计算二重积分∫∫(x+y)dσ,其中D:{(x,y)|x²+y²≤1}. - ？
重委华福：[答案] 为0,为什么呢,很简单,这个区域是关于关于X轴对称的,分段求,上下消掉了

长海县19351104171： 若积分区域D是由直线y=x,y=1与y轴所围成的闭区域,则二重积分D∫∫xydσ - ？
重委华福： 解法一:来原式源=∫<0,1>dx∫2113<x,1>xydy=(1/2)∫<0,1>(x-x³)dx=(1/2)(12-1/4)=1/8;5261 解法二:4102原式1653=∫<0,1>dy∫<0,y>xydx=(1/2)∫<0,1>y³dy=(1/2)(1/4)=1/8.

长海县19351104171： 求二重积分∫∫丨x²+y² - 1丨dxdy,其中D=[0,1]*[0,1] - ？
重委华福：[答案] 告诉你个思路,既然含有绝对值,判断x²+y²-1大于0和小于0两种情况,可以把D区域分为两部分,以在第一象限的一个半径为1的1/4圆为分界点,然后分别写出在这2个区域的二重积分,相加就是原式的解.

长海县19351104171： 计算二重积分∫∫e^(x+y)dxdy,其中区域D是由X=0,x=1,y=0,y=1所围成的矩形 (D在∫∫下面,打不出来) - ？
重委华福：[答案] ∫∫e^(x+y)dxdy=∫[∫e^(x+y)dx]dy ∫e^(x+y)dx (0~1) ↑ ↑ =e^(x+y)|0~1 0~1 0~1 ...