求解高一三道有关三角函数的题。在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a^2=b(b+c),则A-2B=

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高一数学。在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,其中……~

(1)∵sin²A+sin²B=1;sin²A+cos²A=1
∴sin²B=cos²A
∴sinB=cosA 或 sinB=-cosA
∴∠A+∠B=90° 或 |∠A-∠B|=90°(舍,∵c边最长)
∴三角形ABC为直角三角形
(2)∵三角形ABC为直角三角形
∴a²+b²=c²=1
∴S=1/2·a·b≤1/2·1/2·√(a²+b²)=1/4
当且仅当a=b=√2/2时,S取得最大值1/4.

﹙1﹚cosB=﹙a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2
0<B<180º ∴B=60º
(2)b/sinB=2R(R△为ABC的外接圆半径)

(3)△ABC面积=1/2×ac×sinB≤1/2×1/4﹙a﹢c﹚^2×sinB=4√3

1、a²=b(b+c)
a²=b²+bc
a²=b²+c²-2bccosA
=b²+bc
c²-2bccosA=bc
c(c-2bcosA)=bc
c-2bcosA=b
sinC-2sinBcosA
=sin(A+B)-2sinBcosA
=sin(A-B)=sinB,
得B=A-B,得A-2B=0.

3、sin^2A+sin^2B=1
sin²A+sin²B=1
sin²A+cos²A=1
⊿ABC是以∠C为90°的直角三角形。
设面积最大值时,sinA为∠A的sin值,则。
12sinA+12cosA
=12(sinA+cosA)
=12√2(√2/2sinA+√2/2cosA)
sinA=√2/2
面积最大为12√2。

2、直角或等腰三角形。
解:(cosA+2cosC) / (cosA+2cosB)=b/c
(cosA+2cosC) / (cosA+2cosB)=sinB/sinC

方法一:
∵(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,
∴cosAsinC+2cosCsinC=cosAsinB+2cosBsinB
∴cosA(sinC-sinB)=sin2B-sin2C=2sin(B-C)cos(B+C)=-2sin(B-C)cosA

一、当cosA=0时,A=90°,此时三角形是直角三角形。

二、当cosA≠0时,两边同除以cosA,得:sinB-sinC=2sin(B-C)
∴2sin[(B-C)/2]cos[(B+C)/2]=4sin[(B-C)/2]cos[(B-C)/2]
∴2sin[(B-C)/2]{cos[(B+C)/2]-2cos[(B-C)/2]}=0
∴sin[(B-C)/2]=0,或cos[(B+C)/2]-2cos[(B-C)/2]=0。

1、由sin[(B-C)/2]=0,得:B=C。

2、由cos[(B+C)/2]-2cos[(B-C)/2]=0,得:
-3sin(B/2)sin(C/2)-cos(B/2)cos(C/2)=0。
显然,B/2、C/2都是锐角,∴sin(B/2)>0,sin(C/2)>0,cos(B/2)>0,cos(C/2)>0
∴-3sin(B/2)sin(C/2)-cos(B/2)cos(C/2)=0是不可能的。

综合1、2所述,得:B=C,∴此时三角形是等腰三角形。

由一、二所述,得:满足条件的三角形是直角三角形或等腰三角形。

方法二:
∵(cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,
∴cosAsinC+2cosCsinC=cosAsinB+2cosBsinB
由余弦定理、正弦定理,容易得到:
[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]c+2[(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]c
=[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]b+2[(a^2+c^2-b^2)/(2ac)]b
去分母,得:
ac(b^2+c^2-a^2)+2c^2(a^2+b^2-c^2)
=ab(b^2+c^2-a^2)+2b^2(a^2+c^2-b^2)
∴ac(b^2+c^2-a^2)+2c^2(a^2-b^2-c^2)+4b^2c^2
=ab(b^2+c^2-a^2)+2b^2(a^2-c^2-b^2)+4b^2c^2
∴(b^2+c^2-a^2)(ac-2c^2-ab+2b^2)=0
∴b^2+c^2-a^2=0,或ac-2c^2-ab+2b^2=0。

一、由b^2+c^2-a^2=0,得:此时的三角形是直角三角形。[勾股定理的逆定理]
二、由ac-2c^2-ab+2b^2=0,得:(ac-ab)+2(c^2-b^2)=0,
∴a(c-b)+2(c+b)(c-b)=0,∴(c-b)(a+2c+2b)=0。
显然,a+2c+2b>0,∴c-b=0,得:c=b,∴此时的三角形是等腰三角形。

综合一、二,得满足条件的三角形是直角三角形或等腰三角形。

由a^2=b^2+c^2-2bccosA和条件得bc=c^2-2bccosA,把c约分得b=c-2bcosA,再边化角得sinB=sinC-2sinBcosA=sin(B+A)-2sinBsinA=sin(A-B),得B=A-B,得A-2B=0.


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