有限数列怎么证

什么是有界数列？怎么证明？~

有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。
1、有界数列的定义：
若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M 其中M是与n无关的常数 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界，对一切n 有Xn≥m 其中m是与n无关的常数 称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界，一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。
2、有界数列的证明：
∵ 数列{Xn}是收敛的
∴ 设其极限为a
根据数列极限的定义，对于ε=1，存在正整数N
当n>N是不等式|Xn-a|N时，|Xn|=|(Xn-a)+a|
证毕。
3、有界数列示例：
（1）1，2，3，4
（2）{1/n}，n=1，2，3...
扩展资料：
1、有界数列的应用:
数列有极限的必要条件：
数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界=>数列有极限。
2、函数的有界性：
函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。
3、函数有界性的要点：
（1）函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；
（2）从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界．如果找不到两条与x轴平行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。
参考资料来源：百度百科 - 有界数列
参考资料来源：百度百科 - 有界性

（1）|(3n+1)/(2n+1)-3/2|=|1/2(2n+1)|<1/n
所以对于任意的ε>0，存在N=1/ε使得当n>N的时候
|(3n+1)/(2n+1)-3/2|<ε
得证
（2）|0.999999(n个)-1|=(1/10)^n=1/(10^n)
为了使|0.999999(n个)-1|小于任意给定的正数ε，只要
1/(10^n)lg(1/ε)
所以任意ε>0，取N=lg(1/ε)
则当n>N时，就有|0.999999(n个)-1|<ε
即lim0.99999(n个）=1

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由于奇数项和偶数项都收敛到同一个数设为T,分别记奇数项为{an},偶数项伟{bn},在{an}对于任意h>0,存在N1>0,当n>N1时,|an-T|

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武陵区19428275394： 收敛数列求证数列奇数项偶数项都收敛与同一个数,求证数列是有限数列证明该数列是收敛数列且收敛于这个数 - ？
江诸丁细：[答案] 由于奇数项和偶数项都收敛到同一个数设为T,分别记奇数项为{an},偶数项伟{bn},在{an}对于任意h>0,存在N1>0,当n>N1时,|an-T|

武陵区19428275394： 数列极限.怎么证明证明√2,√(2+√2)'√[2+√(2+√2)]....的极限是2?? - ？
江诸丁细： 完整过程如下:证明:设数列为{An},显然A(n+1)=√(2+An)>0 ①:有界.数学归纳法A1 故0②:单调.A(n+1)=√(2+An)>√(An+An)=√2An>An 故A(n+1)>An,单调增;由①②,根据单调有界数列极限判定准则,知该数列极限存在,设为A,等式两侧同取极限:√(2+A)=A.解出x是2或者-1(因此极限就是2. 证明极限存在才是这个题的关键.

武陵区19428275394： 高数证明数列极限的存在 - ？
江诸丁细： 先证明有界:显然数列的每一项都小于2,所以有界 在证单调性:即前一项大于后一项 单n=1时显然an2大于an1假设n=k 时也成立即k+1个根号下二加根号下二加根号二大于k个根号下二加根号下二加根号二当n=k+1时用分析法,结和n=k时的情况很好证的所以数列单调有界,存在极限 有界

武陵区19428275394： 什么是有界数列?怎么证明? - ？
江诸丁细： 定义:若存在两个数A,B(设A<B),数列 中的每一项都在闭区间[A,B]内,亦即 ,则称 为有界数列.这时A称为它的下界,B称为它的上界.关于有界数列有下面几点说明. (1)如果B是数列 的上界,那么B+1,B+2,B+α(α>0)都是 的上界.这表明上界...

武陵区19428275394： 怎么判断数列是否有极限,如果有怎么算出极限 - ？
江诸丁细： 1.概念法:存在一个正数ε,当n>N时,|an-M| < ε恒成立 2.定理法: (1)单调且有界数列必存在极限; (2)夹逼准则; (3)数学归纳法(有可能和(1)、(2)结合使用) 3.函数法:将数列的通项公式构成成函数,利用对函数求极限来判定...

武陵区19428275394： 数列证明极限存在 - ？
江诸丁细： 证明思路:证明其有下界,是一个存在性问题,只要能找到一个即可;证明它无上界应使用反证法. 符号说明:数列{n}中的第n项表示为a(n)=n. 证明: 1)证明数列{n}有下界. 取 Bd=0, 则 这个数列中的任意项a(n)=n>= Bd, 从而 数列{n}有下界; 2)证明数列{n}无上界. 假设数列{n}存在上界,设Bu=M>0为它的一个上界,则根据上界的定义,有对任意n,a(n)M,这与任意a(n)<=M矛盾.证毕.

武陵区19428275394： 怎么证明:{Xn}为有界数列的充要条件是{Xn}的任一子列都存在其收敛的子列? - ？
江诸丁细：[答案] 在完成证明之前先引入一个结论:任一数列中都能取出一个单调子列. 证:引入一个定义:如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项,则称这一项是一个“龙头”.下面分2种情况: 情况1 如果在数列中存在无穷多个“龙头”,那么把这些作为...

武陵区19428275394： 如何证数列极限 - ？
江诸丁细： 单调有界准则,夹逼准则最常用.或者可以代换或者由已知条件根据定义进行推倒

武陵区19428275394： 数列的极限证明. - ？
江诸丁细： 用定义证明极限实际上是格式的写法,依样画葫芦就是: 证明如下:记 (1+1/n)^(1/k)-1 = h[n], 则 (1+1/n)^(1/k) = (1+h[n])^n > 1+kh[n], 或 h[n] < 1/(kn) < 1/n. 对任意ε>0,要使 |(1+1/n)^(1/k)-1| = h[n] < 1/n < ε, 只需 n > 1/ε,取 N=[1/ε]+1,则当 n>N 时,有 |(1+1/n)^(1/k)-1| < 1/n < 1/N <= ε, 得证.

武陵区19428275394： 单调有界数列必有极限如何证明 - ？
江诸丁细：[答案] 同济课本上对这个定理的说明是:对于这个定理我们不做证明,只是给出它的在数轴上的几何意义,你可以参看一下.若要考试这个问题不会考定理证明的,而是要你先用证明某个数列的单调性,然后再证明这个数列的有界性,从而得出这个数列必是...