高一寒假数学：什么叫重根？

数学中的重根是什么？~

在数学中，重根是指一个多项式方程在解的集合中，某个根出现了多次。当一个多项式方程中的一个根重复出现时，这个根就被称为重根。
更具体地说，对于一个 n 次多项式方程，如果某个复数根 r 出现了 k 次 (k ≥ 2)，那么我们称 r 是方程的一个 k 重根。这意味着在多项式方程的因式分解中，可以将多项式写成 (x - r)^k 的形式，其中 x - r 是一个一次因子，而 k 表示其重数。
举个例子，考虑多项式方程 f(x) = (x - 1)(x - 1)(x + 2)(x - 3)^3。在这个方程中，根 1 出现了两次，根 -2 和根 3 分别出现了一次和三次。所以，根 1 是二重根，根 -2 是一重根，根 3 是三重根。

重根在代数学、微积分和方程求解等领域中具有重要的作用，并且在多项式的因式分解、曲线的切线与极值等问题中经常涉及到重根的概念。
数学中的重根的计算方法

计算一个多项式方程的根以及它们的重数通常需要使用代数学知识和相关的数值计算方法。下面是一些常见的计算重根的方法：
1. 代数方法：对于一个高次多项式，可以使用代数方法来计算其根的重数。首先，求出多项式的根，并将其进行因式分解。然后，通过观察因式分解中每个因子的幂次，确定根的重数。例如，若一个根在因式分解中出现了两次，则说明它是一个二重根。
2. 导数方法：使用微积分中的导数概念可以帮助计算多项式函数的重根。对于一个多项式函数 f(x)，计算其导数 f'(x)。如果某个根 r 是 f(x) 和 f'(x) 的公共根，那么它就是一个重根。继续计算 f'(x) 的根，重复这个过程直到找到所有的重根。
3. 数值方法：如果你只关心多项式方程的数值解而不需要精确的符号表示，可以使用数值计算方法来估计根和根的重数。例如，使用数值计算软件或算法（如牛顿迭代法、二分法等）可以逼近多项式的根，并通过观察根的邻域来判断重数。
计算重根可能需要一定的数学背景和计算工具的支持。对于复杂的多项式方程，计算重根可能非常困难甚至不可行。在实际应用中，通常使用计算机代数系统或数值计算软件来求解多项式方程的根和重根。

当涉及到计算重根时，我们可以考虑以下例题：
例题：计算多项式方程 f(x) = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 的根以及它们的重数。
解法：
为了计算多项式方程的根和重数，我们可以使用因式分解和导数方法。
1. 因式分解：
首先，我们可以尝试对多项式进行因式分解，看看根的重数。
f(x) = (x - 1)(x - 1)(x - 2 + i)(x - 2 - i)
从因式分解可知，多项式的根包括两个重根 r = 1 和两个互为共轭复数的根 r = 2 ± i。其中，根 r = 1 是一个二重根，而根 r = 2 ± i 是单重根。
2. 导数方法：
我们还可以计算多项式 f(x) 的导数 f'(x)，然后找到公共根来确定重根。
f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 26x - 12
计算 f'(x) 的根，我们发现只有一个公共根 x = 1。这意味着根 x = 1 是方程 f(x) 和 f'(x) 的公共根，因此，它的重数是至少二重。
综上所述，多项式方程 f(x) = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 的根及其重数为：
- 根 r = 1 是一个二重根。
- 根 r = 2 是一个单重根。
- 根 r = 2 ± i 是两个单重根。
这个例题展示了如何通过因式分解和导数方法来计算多项式方程的根以及它们的重数。

比如在一元二次方程有两个根，都是单根，只有一个根时，这个根就是二重根

重根，字面上就是重复的根
打个比方，一元次方程，一般情况下是有两根，而若恰好这两根相等，都是X，那么X就可以说是这个方程的重根了
例（x-1）(x-1)=0,这个一元二次方程的根都是1，1就是它的重根
嗯，不懂可追问

当一元n(n≥2)次方程的根有两个或两个以上相等时，称这些根为重根。相等的根的个数称为“重数”。如1是方程x3-3x2+3x-1=0的三重根。

楼主您好！
对代数方程，即多项式方程，方程P(x) = 0有根x = t则说明P(x)有因子(x - t)，从而可做多项式除法P1(x) = P(x) / (x-t)结果仍是多项式。若P1(x) = 0仍以x = t为根，则x = t是方程的重根。
望楼主采纳。

　　

方程P(x) = 0有根x = t则说明P(x)有因子(x - t)，从而可做多项式除法P1(x) = P(x) / (x-t)结果仍是多项式。若P1(x) = 0仍以x = t为根，则x = t是方程的重根

X^2+2X+1=0
X1=X2=-1
这时方程两个根X1，X2相等
即该方程有重根

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