如图,四边形ABCD中,AB=AD,角B=+角D=180,P、Q分别在边BC、CD上,且角PAQ=1\2角BAD,，求证；PQ=BP+DQ

如图,四边形ABCD中,AB=AD,角B=+角D=180,P、Q分别在边BC、CD上,且角PAQ=1\2角BAD,求证：PQ=BP+DQ~

证明：在CB的延长线上取点G，使BG＝DQ，连接AG
∵∠ABC+∠ABG＝180, ∠ABC+∠D＝180
∴∠ABG＝∠D
∵AB＝AD，BG＝DQ
∴△ABG≌△ADQ （SAS）
∴AG＝AQ，∠BAG＝∠DAQ
∵∠PAQ＝1/2∠BAD
∴∠BAP+∠DAQ＝∠BAD-∠PAQ＝1/2∠BAD
∴∠PAG＝∠BAP+∠BAG＝∠BAP+∠DAQ＝1/2∠BAD
∴∠PAQ＝∠PAG
∵AP＝AP
∴△APQ≌△APG （SAS）
∵PG＝BP+BG＝BP+DQ
∴PQ＝BP+DQ

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哎……简单说就是把△ABP绕A点旋转，使得AP边与AD边重合，做出来的三角形AP'D，证明△AQP和△AP'Q全等
具体就是我慢慢说……
证明：延长QD至P'使得DP'=BP，连结AP'
由于ABCD是正方形，所以∠B=∠ADC=∠ADP'=90°，AB=AD,又已做P'D=BP
所以△ABP≌△ADP'
则∠BAP=∠DAP'
∠QAP=45°，则∠DAQ+∠PAB=45°，有∠PAB=∠DAP'
所以∠P'AD+∠DAQ=45°
由∠P'AQ=∠QAP=45°，AQ=AQ,P'A=PA
所以△QAP≌△P'AQ
所以P'Q=QP
又P'Q=P'D+DQ
P'D=PB
所以QP=DQ+BP
咳咳，证毕

∵AB=AD，
∴把△ADQ绕A旋转到AD和AB重合，得△ABE，
∴∠D=∠ABE，∠DAQ=∠BAE
AQ=AE，DQ=EB
∵∠D+∠ABC=180°
∴∠ABC+∠ADE=180°即E、B、P共线
∵∠PAQ=1/2∠BAD
∴∠DAQ+∠BAP=1/2∠BAD
∴∠BAE+∠BAP=∠EAP=1/2∠BAD
∴∠EAP=∠PAQ
∴△AEP≌△APQ
∴PQ=EP=EB+BP
∴PQ=BP+DQ

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凤县18536507751： 如图在四边形ABCD中,AB=AD,角ABC=角ADC求证CB=CD?? - ？
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