已知如图，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交AC于F，设DF=x．

如图,D是边长为4 的正三角形ABC的边BC上一点,ED平行AC交AB于E,DF⊥AC交AC于F,设DF~

设CF=x，则DF=√3*x，CD=2X,BD=4-2X,DE=BD=4-2X,S△eEDF=1/2*√3x*(4-2X)当x=1时取最大为
√3

证明：∵DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F
∴AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
从而 DF=AE ①
DE=AF ②
又 ∵ AB=AC
∴三角形BDE，CDF是等腰三角形
从而 DE=BE ③
DF=CF ④
由①+②+③+④得 DF+DE+DE+DF=AE+AF+BE+CF
2(DE+DF)=AB+AC
又 ∵ AB=AC
从而 2(DE+DF)=2AC
∴DE+DF=AC

     

 

当x=√3时，y最大，y=√3

当BD=ED,ΔDCF∽ΔEFD则有ED/DF=DF/FC或DF/ED=DF/FC

则

解：（1）易得△BDE是等边三角形，∠FDC=30°，

∴CD=DF÷sin60°= 2 3 3 x．

∠EDF=90°，

BD=BC-CD=ED=4-2 3 3 x．

y=DF×ED÷2= 1 2 x（4-2 3 3 x）=-3 3 x 2 2x，

∵D在BC上， ∴CD＜4， 当CD=4时，CF=2，DF=2 3 ， DF≤2 3 （等于2 3 时，D和B重合） ∴自变量x的取值范围0≤x≤2 3 ．

（2）当x= 3 ，△EDF的面积最大． 最大面积是= 3 ．

（3）当△DCF∽△EFD， ∴∠FED=∠FDC=30°．

∴DF= 3 3 DE= 3 3 BD．

∵DC=4-BD，∠C=60°，

∴DF= 3 2 CD= 4 3 -3 BD 2 ，

∴ 3 3 BD= 4 3 -3 BD 2 ．

解得：BD=2.4． 当△DCF∽△FED，

同理可得：BD= 4 3 ，

∴BD= 4 3 或2.4．

1.因为△ABC为等边△ABC，所以∠C=60°
在RT△CDF中，sin∠C=DF/DC
所以DC=DF/sin∠C=x/sin60°=x/(√3/2)=2√3x/3
所以BD=BC-CD=4-2√3x/3
因为ED‖AC
所以BE:BD=BA:BC=1
所以BE=BD，又∠B=60°，△DBE为等边三角形
所以DE=BD=4-2√3x/3
因为ED‖AC，DF⊥AC，所以DF⊥ED
△EDF为直角三角形
所以面积y=DE*DF/2=(4-2√3x/3)x/2=-√3/3x^2+2x
y=（-√3/3）x^2+2x
定义域为x∈（0，2√3）（注：2√3为三角形ABC的高）

2.y=（-√3/3）x^2+2x，为开口向下的抛物线，故有最大值
当x=-2/(-2√3/3)=√3时y值最大（注：抛物线顶点横坐标x=-b/2a）
此时最大值y=（-√3/3）*√3^2+2√3=√3
即最大面积为√3

另一种方法：将y=（-√3/3）x^2+2x配方
y=（-√3/3）x^2+2x=（-√3/3）（x^2-2√3x+3-3)=（-√3/3）（x-√3)^2+√3
所以当x=√3时y值最大，且最大值为√3

3.因为∠EDF=∠CFD=90°
所以若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似
只可能是△DCF∽△FED或△DCF∽△EFD
设BD=a，ED=BD=a，CD=4-a,CF=CD/2=(4-a)/2，DF=√3CF=√3(4-a)/2
（1）△DCF∽△FED
所以∠CDF=∠EFD
EF‖DC
又ED‖AC
所以四边形EFCD为平行四边形
所以ED=CF
a=(4-a)/2
a=4/3

(2)△DCF∽△EFD
∠DCF=∠EFD,而∠DCF=60°
所以∠EFD=60°
ED:DF=tan60°=√3
ED=√3DF
即：a=√3*√3(4-a)/2=3(4-a)/2
解之得a=12/5

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浑源县13399447687： 已知如图,D是边长为4的正△ABC的边BC上一点,ED∥AC交AB于E,DF⊥AC交AC于F,设DF=x. - ？
茆苏鹭鸶： 解:(1)易得△BDE是等边三角形,∠FDC=30°,∴CD=DF÷sin60°= 2 3 3 x.∠EDF=90°,BD=BC-CD=ED=4-2 3 3 x.y=DF*ED÷2= 1 2 x(4-2 3 3 x)=-3 3 x 2 2x,∵D在BC上, ∴CD(2)当x= 3 ,△EDF的面积最大. 最大面积是= 3 .(3)当△DCF∽△...

浑源县13399447687： 已知,如图,正三角形ABC的边长为4,D为AC边上的一个动点,延长AD至点E,使BE=CD,连接DE,交BC边于点F①如D为AC边的中点,求BF的长 - ？
茆苏鹭鸶：[答案] 过点D作DM‖AE交BC于点M,则∠PDM=∠E,∠DMP=∠EBP ∵△ABC是等边三角形 ∴DM=CD 又∵BE=CD ∴DM=BE ∴△DMP≌△EBP(ASA) ∴DP=PE 得证

浑源县13399447687： (2001•湖州)已知如图,D是边长为4的正△ABC的边BC上一点,ED∥AC交AB于E,DF⊥AC交AC于F,设DF=x.(1)求△EDF的面积y与x的函数关系式和自变... - ？
茆苏鹭鸶：[答案] (1)∵△ABC是正三角形,且ED∥AC,∴△BDE∽△BCA,∴△BDE是等边三角形,∠FDC=30°,∴CD=DF÷sin60°=233x.∠EDF=90°,BD=BC-CD=ED=4-233x.y=DF*ED÷2=12x(4-233x)=-33x2+2x,∵D在BC上,∴CD<4,当CD=4...

浑源县13399447687： 数学已知,D是边长为四的正三角形的边BC上的一点,ED//AC交 ？
茆苏鹭鸶： 解:设BD=m,z=√(7*X^2-48). (1),因为△ABC为正三角形,ED//AC,EF⊥AC,所以△DEF为直角三角形,BD=BE=DE=m,EF^2=3*(4-m)^2/4,故有: X^2=3*(4-m)^2/4+...

浑源县13399447687： 如图,已知边长为4的正方形ABCD中,E为CD中点,P为BE中点,F为AP中点,FH⊥AB交AB于H,连接PH.则下列结论正确的有() ①BE=AE;②sin∠... - ？
茆苏鹭鸶：[选项] A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

浑源县13399447687： 如图,已知ABCD是边长为4的正方形,E是CD边上的一个动点,连接AE,AE的延长线交BC - ？
茆苏鹭鸶： 1.三角形ADE与三角形PCE相似(三个角对应相等),那么有AD/DE=PC/CE,也就是4/X=Y/(4-X),那么Y=16/X-4.2.图有一个地方画错了,圆O的圆心应该是正方形的中心,圆O应该同时经过ABCD四个点,那么如果PD是圆O的切线,就有PD垂直OD,也就是∠PDC=45°,所以PC=CD=4=Y,根据第一题的关系式,此时X=2.3.sin∠BAG=sin∠BAF=sin∠BDF=sin(45°-∠CDF)=(√10)/10.

浑源县13399447687： 如图,在边长为4的正△ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为一边向右作正三角形ADE - ？
茆苏鹭鸶： 1)面积=4*2根3*0.5=4根32)因为ad⊥BC,所以AD平分∠BAC,所以∠DAC=30° 因为∠ADE=60° 所以∠AFD=90° 所以AC⊥DE

浑源县13399447687： 如图,D是边长为4cm的等边△ABC的边AB上的一点,作DQ⊥AB交边BC于点Q,RQ⊥BC交边AC于点R, - ？
茆苏鹭鸶： 因为dqb=30,rqc=90,所以pqr=60,同理角prq,rpq=60,所以三角形pqr是等边三角形.因为bd=1.3cm,所以bq=2.6,cq=1.4,cr=2.8,所以ar=1.2,所以ab=2.4

浑源县13399447687： 已知,D是边长为4的等边△ABC的边BC上一点,ED‖AC交AB于E,DF⊥AC于F,设DF=x - ？
茆苏鹭鸶： 1.因为△ABC为等边△ABC,所以∠C=60° 在RT△CDF中,sin∠C=DF/DC 所以DC=DF/sin∠C=x/sin60°=x/(√3/2)=2√3x/3 所以BD=BC-CD=4-2√3x/3 因为ED‖AC 所以BE:BD=BA:BC=1 所以BE=BD,又∠B=60°,△DBE为等边三角形 所以...

浑源县13399447687： 如图,已知△ABC是边长为4的正三角形,AB在x轴上,点C在第一象限,AC与y轴交于点D,点A的坐标为( - 1,0); (1)写出B,C,D三点的坐标;(2)若抛物... - ？
茆苏鹭鸶：[答案] (1)过C做CE⊥AB交想x轴于E点∵△ABC是正三角形,AB=AC=BC=4,A(-1,0)∴B(3,0),E(1,0)∴AE=2,在Rt△ACE中,CE= ∴C(1,2 ) ∵CE∥DO,∴ ∴DO= ,∴D(0, );(2)由抛物线y=ax 2 +bx+c...