如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D

（2012?恩施州）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其~

解答：解：（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，-1-b+c=0-4+2b+c=3，解得b=2c=3，故抛物线为y=-x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得-k+n=02k+n=3，解得k=1n=1故直线AC为y=x+1；（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN′的函数关系式为y=-15x+215，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=-15×3+215=185；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=-x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1）由F在抛物线上∴x-1=-x2+2x+3解得x=1-172或x=1+172∴E（1-172，3-172）或（1+172，3+172）综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（1-172，3-172）或（1+172，3+172）；（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）=-x2+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=12PQ?AG=12（-x2+x+2）×3=-32（x-12）2+278∴面积的最大值为278．方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=12（x+1）（-x2+2x+3）+12（-x2+2x+3+3）（2-x）-12×3×3=-32x2+32x+3=-<span cla

（1）由抛物线y=-x 2 +bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得， -1-b+c=0 -4+2b+c=3 ，解得 b=2 c=3 ，故抛物线为y=-x 2 +2x+3又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得 -k+n=0 2k+n=3 ，解得 k=1 n=1 故直线AC为y=x+1；（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN′的函数关系式为y=- 1 5 x+ 21 5 ，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=- 1 5 × 3+ 21 5 = 18 5 ；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），∵点E在直线AC上， 设E（x，x+1），①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=-x 2 +2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1）由F在抛物线上∴x-1=-x 2 +2x+3解得x= 1- 17 2 或x= 1+ 17 2 ∴E（ 1- 17 2 ， 3- 17 2 ）或（ 1+ 17 2 ， 3+ 17 2 ）综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（ 1- 17 2 ， 3- 17 2 ）或（ 1+ 17 2 ， 3+ 17 2 ）； （4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x 2 +2x+3）∴PQ=（-x 2 +2x+3）-（x+1）=-x 2 +x+2又∵S △APC =S △APQ+ S △CPQ = 1 2 PQ?AG= 1 2 （-x 2 +x+2）×3=- 3 2 （x- 1 2 ） 2 + 27 8 ∴面积的最大值为 27 8 ．方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，设Q（x，x+1），则P（x，-x 2 +2x+3）又∵S △APC =S △APH +S 直角梯形PHGC -S △AGC = <table style="display:inline-table;vertical-align:middle" cellpadding="-1" cellspacin

问：

 

 

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其

顶点为D

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

 

分析：

（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；

（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小；

（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；

（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x²+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-3/2（x-1/2）²+27/8，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=-3/2（x-1/2）²+27/8，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；

 

解答：解：（1）由抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，

-1-b+c=0

-4+2b+c=3     

解得，b=2，c=3     

故抛物线为y=-x²+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得

-k+n=0

2k+n=3     

解得，k=1，n=1     

故直线AC为y=x+1；

 

 

 

（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），

故直线DN′的函数关系式为y=-1/5 x+21/5   ，

当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

则m=-1/5 ×3+21/5=18/5 ；

 

 

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

∵点E在直线AC上，

设E（x，x+1），

①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，

则F（x，x+3），

∵F在抛物线上，

∴x+3=-x²+2x+3，

解得，x=0或x=1（舍去）

∴E（0，1）；

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，

则F（x，x-1）

由F在抛物线上

∴x-1=-x²+2x+3

解得x=（1-√17）/2   或x=（1+√17）/2 

∴E（（1-√17）/2，﹙3-√17﹚/2）或（﹙1+√17﹚/2 ，﹙3+√17﹚/2）

综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（﹙1-√17﹚/2，﹙3-√17﹚/2）或（（1+√17）/2， ﹙3+√17﹚/2）；

 

 

（4）方法一：

如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，

设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）

∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）

=-x²+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ

=1/2 PQ•AG

=1/2（-x²+x+2）×3

=-3/2（x-1/2）²+27/8 

 ∴面积的最大值为27/8．

方法二：

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，

设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）

又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC

=1/2（x+1）（-x²+2x+3）+1/2（-x²+2x+3+3）（2-x）-1/2×3×3

=-3/2 x²+3/2 x+3

=-3/2（x-1/2）²+27/8 

 ∴△APC的面积的最大值为27/8．

 

点评：本题考查了二次函数综合题．解答（3）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．

 

有疑问可以追问哦。、。、

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东坡区14731949923： 初中二次函数函数数形结合题.如图,已知抛物线y=x^2+bx+c经过A(1,0)B(0,2)两点,顶点为D1求抛物线解析式.2将三角形OAB绕点A顺时针旋转90度,点B落... - ？
金郑美敏：[答案] 1)(1,0),(0,2)代入, b+c+1=0, c=2,b=-3, 函数:y=x^2-3x+2=(x-3/2)^2-1/4 2)依题意C(3,1), 设平移后所得图像的函数关系式y=(x-3/2)^2-1/4+k (3,1)代入,k=-1, 平移后所得图像的函数关系式y=x^2-3x+1 3)等下

东坡区14731949923： 如图,,已知抛物线y=x^2+bx+c经过点(0, - 3),请你确定一个b的值 - ？
金郑美敏： b的值为2有题可知:a = 1 , c = -3 ; 故: y = x^2 + bx - 3 当x=1 时, y=1+b-3 <= 0 , 得b<=2 ; 当x=3 时, y=9+3b-3 >= 0 ,得b>=2; 所以 b = 2 ;

东坡区14731949923： 如图,已知抛物线y=x^2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0, - 3), - ？
金郑美敏： 点B(-3,0),抛物线y=x^2+2x-3

东坡区14731949923： 如图,已知二次函数y=x^2+bx+c的图象过a(1,0),c(0, - 3),(1)求此抛物线的解析 - ？
金郑美敏： 由C(0,-3),得c=-3 代入A(1,0)得: 1+b+c=0,得b=-1-c=-1+3=2 故y=x^2+2x-3y=(x+3)(x-1), 与x轴另一交点B的坐标为(-3,0)2)AB=4 ABP面积=1/2*AB*h=2h=10, 得h=5 P点纵坐标的绝对值即为5. 解方程x^2+2x-3=5,得:x^2+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0, 得x=-4, 2 解方程x^2+2x-3=-5, 无解 因此P点坐标为(-4,5)或(2,5)

东坡区14731949923： 已知抛物线y=x^2+bx+c与X轴的两交点的横坐标分别是 - 1和3,求抛物线的解析式 - ？
金郑美敏： 你学过双点式没有?y=a(x-c)(x-d),其中a,b是与x轴的两个交点坐标,放到这题中,已知a=1,c=-1,d=3,所以解析式就是y=(x+1)(x-3),由于交点式不太通用,所以化成一般式是y=x²-2x-3.配方的话,顶点式y=a(x-h)²+k,h=-2a/b,k=(4ac-b²)/4a,代入得y=(x-1)²-4,所以顶点坐标是(1,-4)由于a>0,所以抛物线开口向上;对称轴为x=1.

东坡区14731949923： 己知抛物线Y=X^2+bx+1顶点最初在X轴上,且位于Y轴的左侧.现将抛物线向下平移,设抛物线在平移过程中,顶点为D,与X轴的两个交点为A B.至少向下平... - ？
金郑美敏：[答案] 答:y=x²+bx+1的顶点在x的负半轴上,即:x=-b/2x1.令y=x²+2x+1-d=0根据韦达定理得:x1+x2=-2x1*x2=1-dAB=x2-x1>=6两边平方:x2²-2x1*x2+x1²>=36(x1+x2)²-4x1*x2>=36(-2)²-4*(1-d)>=36...

东坡区14731949923： 如图,已知抛物线y=x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为( - 1,0),点C的坐标为(0, - 3),抛物线的顶点为D.(1)求抛物线的解析式和顶... - ？
金郑美敏：[答案] (1)将A(-1,0)、C(0,-3)代入y=x2+bx+c,则 1−b+c=0c=−3 解得 b=−2c=−3, 则y=x2-2x-3(2分) y=x2-2x-3=(x-1)2-4或− b 2a= −2 2=1, 4ac−b2 4a=-4 故D(1,-4)(4分) (2)当y=0时,x2-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0 x1=3,x2=-1 则B(3,0),AB=4 则S△ABD= 1 2*4...

东坡区14731949923： 如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A( - 1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D - ？
金郑美敏： 问:如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其 顶点为D (1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线...

东坡区14731949923： 已知抛物线y=x^2+bx+3交x轴正半轴A、B(A在B左边),交y轴于C,直线BC交第一、第三象限角平分线于C已知抛物线y=x^2+bx+3交x轴正半轴A、B(A在B左边... - ？
金郑美敏：[答案] (1)当x=0时,y=3,所以C点坐标为(0,3)第一、第三象限角平分线为y=x,所以M点坐标为(1.5,1.5)过C、M的直线交x轴于B过C、M的直线:y-3=[(1.5-3)/(1.5-0)](x-0)整理后为:y=-x+3,y=0时x=3所以B点为(3,0)代入抛物线方程:0=...

东坡区14731949923： 如图,已知抛物线y=x^2+bx+c经过A( - 1,0),B(0, - 2)两点,顶点为D. - ？
金郑美敏： 将 B(0,-2) 代入抛物线方程得 c=-2;再将 A(-1,0) 代入抛物线方程求得 b=-1,所以 y=x²-x-2;(1)旋转后 B点落在 (-2,0),即为 C点坐标;抛物线沿 y 轴平移,即向下移,对称轴 x=1/2 不变(=-b/2),与 x 轴一个交点就是 C(-2,0),代入抛物线方...