用微积分推导出圆锥的体积、表面积的过程

怎样用定积分推导圆锥的体积公式？求具体过程。~

连接圆锥顶点A向地面圆心O，在AO伤取点p,有点P向侧面作垂线交侧面与Q。再设AP为x,再过O做底面半径r，高为h 。则旋转PQ所得的面积为π(rx/h)²。因为所求圆锥的x范围是0到h，设上述面积为S（x）。 可用定积分来做。∫h-o=∫h-o πr²/h²*x²=πr²/h²*1/3h³=1/3πr²h
圆锥，数学领域术语，有两种定义。解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴 。
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高；[1]
圆锥的母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形侧面展开图是扇形。
圆锥侧面展开是一个扇形，已知扇形面积为二分之一rl。所以圆锥侧面积为二分之一母线长×弧长（即底面周长）。另 外，母线长等于底面圆直径的圆锥，展开的扇形就是半圆。所有圆锥展开的扇形角度等于（底面直径÷母线）×180度。
2体积

提示：（“/” 为“÷”）
（以下“×”改为“ * ”）
（“x”为…的…次方）
一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积．
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
根据圆柱体积公式V=Sh/3（V=πr2*h），得出圆锥体积公式：V=1/3Sh[2]
S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径。

证明：
把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
第 n份半径：n×r÷k
第 n份底面积：pi×nx2×rx2÷kx2
第 n份体积：pi×h×nx2×rx2÷kx3

圆锥
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi×h×(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)×rx2/kx3
∵
1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2=k×(k+1)×(2k+1)÷6

圆锥(4张)
∴
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1x2+2x2+3x2+4x2+...+kx2)*rx2/kx3
=pi*h*rx2* k*(k+1)*(2k+1)/6kx3
=pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
∵ 当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
∴ pi*h*rx2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*rx2/3

圆锥
∵ V圆柱=pi*h*rx2
∴ V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3
3绘制方法

圆锥体展开图的绘制十分简单。通过绘制展开图可以精确求出圆锥体的侧面积。
体展开图

圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成。(如右图）

在绘制指定圆锥的展开图时，一般知道a（母线长）和d（底面直径）
∵弧AB=⊙O的周长
∴弧AB=πd
∵弧AB=2πa(∠1/360°)
∴2πa(∠1/360°)=πd
∴2a(∠1/360°)=d
将a,d带入2a(∠1/360°)=d得到∠1的值。这样绘制展开图的所有所需数据都求出来了。根据数据即可画出圆锥的展开图。
表面积


圆锥展开图
一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积．
圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。
S=πRx2(n/360)+πrx2或(1/2)αRx2+πrx2(此n为角度制,α为弧度制,α=π(n/180)
4面积公式


　　

圆锥侧面展开图
S侧=πrl=（nπl^2）/360（r：底面半径，l：母线长，n：圆心角度数）
底面周长（C）=2πr=（nπl）/180（r：底面半径，n：圆心角度数，l：母线长）
h=根号（l^2-r^2）（l：母线长，r：底面半径）
全面积（S）=S侧+S底
V=1/3Sh=1/3πr·2h（S：底面积，r：底面半径，h：高）
V（圆锥）=1/3·V（圆柱）=1/3·Sh =1/3·πr2h（S：底面积，r：底面半径，h：高）
5三视图

圆锥三视图是观测者从三个不同位置观察而画出的图形。
其主视图和侧视图均为等腰三角形，俯视图是一个圆和圆心。

6圆锥

生活中经常出现的圆锥有：沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、铅笔头等。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。
谢谢。。。。。。。。。。。。

其实我们所熟知的很多几何体的长度，面积，体积公式都是用微积分定义并推导出的。比如线段的长度，实际定义就是曲线积分；长方形面积，我们知道是长乘以宽，但这个意义是什么，我们并没有讲，实际上还是积分，立体的体积一是一样。 下面简单说明积分的思想，假设有一个圆锥体，我用刀平行底面切它，得到一个圆，越靠近底面，圆越大，越靠近顶点，圆越小。我们做这样一个近似，我用一些扁的圆柱来模拟一个圆锥，大的圆柱放在下面，小的圆柱放在上面，这样得到一个近似的“圆锥”。显然用有限个圆柱摞起来，得到的几何体要比圆锥差那么一点，但是当有限个圆柱趋于无穷个圆柱时，这个合成的几何体就越来越接近于圆锥了。 在积分的计算中，我们这样想，想像圆柱无限的扁，几乎成了平面圆，然后我们把这无限个圆柱的体积累加起来，再用极限的原理处理，就得到了圆锥的体积。 如果你感兴趣，可以追问我具体的计算过程，你就知道1/3是怎么来的了。

表面积有人推，我算体积吧
思路是将圆锥微分为无限个半径逐渐减小的圆片的堆积，微圆片看成高度无限小的圆柱
设圆锥的高为HM地面半径R
几何法得到，每个界面的半径与界面高度的关系为 r=R-Rh/H
积分πr^2h
=E（π^2h)
∫(πr^2)dh=∫πR^2（1+h^2/H^2 -2h/H)dh h从0积分到H
=πR^2(H+H^3/3H^2-H^2/H)
=πR^2(H+H/3-H)
=πR^2H/3

圆锥的侧面展开是个扇形，
可将扇形的弧无限分割，
当分割到足够小时，
就可以吧每一部分当成是一条直线，
计算面积是就当整个扇形当成由无数个三角形构成，
然后按三角形面积计算方法就可以计算出扇形的面积，
最后加上地面圆形的面积便是圆锥的表面积。
（应该是这么理解的，我也不是很确定啊）

我算了好长时间

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克拉玛依区19678501146： 微积分如何推导圆锥体表面积 - ？
畅黄畅美：[答案] 新年好!Happy Chinese New Year ! 1、下面的三张图,前两张是圆锥图,尤其第一张显示了圆锥侧面的公式. 侧面积,可以用英文 lateral surface area 表示,也可以用 curved area. 2、第三张图片,是积分过程,若看不清楚,请点击放大.

克拉玛依区19678501146： 用微积分方程式导出圆锥的体积 - ？
畅黄畅美： 以底面为xoy平面,底面圆心和顶点的连线为oz向量,建系 把圆锥横切成n个小圆柱体,每个体积r*rdz 把所有小圆柱体体积相加,就是圆锥的体积:3.14(r1^2dz+r2^2dz+r3^2dz+……+rn^2dz) n趋于无穷时,根据微积分定义:lim3.14(r1^2dz+r2^2dz+r3^2dz+……+rn^2dz)= R n->00 s r^2dz (s代表积分符号) 0=3.14/3r^2

克拉玛依区19678501146： 圆锥体积公式,推导过程 - ？
畅黄畅美： 圆锥的体积 一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积. 一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3 根据圆柱体积公式V=Sh(V=rrπh),得出圆锥体积公式:圆锥 V=1/3Sh S是圆锥的底面积,h是圆锥的高,r是圆锥的底面半径...

克拉玛依区19678501146： 微积分推导圆锥体体积公式 - ？
畅黄畅美：[答案] 主要建立圆锥体外表面的方程

克拉玛依区19678501146： 圆锥体积公式的推导 - ？
畅黄畅美： 要说推导过程啊……这应该是要用微积分的.就象圆的面积的推导那样,可以用两种办法,一是把圆台横向拆成一片一片的圆片,每一片按圆柱算积分积起来;另一种是像切圆那样把圆台从圆心纵向切成一片一片的,每一片按照梯台算,再积起来.当然,如果预先知道了圆锥的体积公式,那就用大圆椎减去小圆椎算即可:=1/3 派R^2-1/3 派r^2=1/3派(R^2-r^2)

克拉玛依区19678501146： 长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积、表面积和体积公式的推导过程. - ？
畅黄畅美： 长方体: V=a·b·h=S底·高 S表=(a·b+b·c+a·c)·2 P·S·无需推导公式 正方形: V=a³=S底·高 S表=6·a² P·S·无需推导公式 圆柱: V=πr²·h S表=2πr²+2πr·h=2πr·(r+h) P·S·参见圆形推导公式(参考资料网址)就明白了.圆锥: V=πr²·h÷3=S底·高÷3 S表=无(P·S·如果老师在小学到中学要你算这个,我想你有权不算.) 体积推导公式:某某人得出“等底等高的圆锥和圆柱,圆柱的体积是圆锥的3倍”,因此而来 (不信可以做个实验,做一对等底等高的无盖圆锥和无盖圆柱,看看用圆锥装满沙子再倒进圆柱,要多少次才能把圆柱倒满.这个实验有时会失误,但成功的都是3次.)

克拉玛依区19678501146： 圆锥体积计算公式推导过程(不要高等数学,要详细) - ？
畅黄畅美： 其实我们所熟知的很多几何体的长度,面积,体积公式都是用微积分定义并推导出的.比如线段的长度,实际定义就是曲线积分;长方形面积,我们知道是长乘以宽,但这个意义是什么,我们并没有讲,实际上还是积分,立体的体积一是一样. ...

克拉玛依区19678501146： 圆柱和圆锥的体积公式怎样推导出来的? - ？
畅黄畅美： 把圆柱体转化为长方体(就像圆形转化为近似长方形一样),根据长方体体积公式:底面积乘高,推导出圆柱体积=底面积乘高.通过实验证明,等底等高的圆柱体和圆椎体之间的关系:圆锥体是和他等底等高的圆柱体体积的三分之一,所以:圆锥体积=底面积乘高成三分之一

克拉玛依区19678501146： 圆锥的体积公式是怎样推导出来的?求解!!! - ？
畅黄畅美： 你好: 圆锥的体积是这样推导出的 其实很简单.任何物体的体积都离不开底面积*高的求法 圆柱的体积公式是V=Sh 那么与它等底等高的圆锥的体积是多少呢? 把与它等底等高的圆锥装满水,倒进圆锥体里,你可以发现倒3次才能倒满圆柱. 所以与圆柱等底等高的圆锥是这个圆柱的三分之一 所以:圆锥的体积就是V=1/3Sh 三分之一乘底面积乘高 希望我的回答对你有帮助!

克拉玛依区19678501146： 怎么推导出圆锥的体积 - ？
畅黄畅美： 圆柱的体积为;SH 圆锥的体积是圆柱的三分之一(这个自己做实验就可以看出来.如:拿一个圆柱的器具和一个圆锥的器具,在圆锥的器具里倒满水,把水往圆柱的器具里倒,倒三次才倒满.对了,这个圆锥的器具的半径和高要和圆柱的器具一样...