已知椭圆C的两个焦点分别为F1(0,-1)、F2(0,1),离心率e=1/2,P是椭圆C在第一象限内的一点

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2，左，右焦点分别为F1,F2，点P（2，√3）~

MN存在斜率，设y=kx+m。
x²／2+y²=1。y=kx+m
（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
x1+x2=-4km／2k²+1，x1x2=2m²-2／2k²+1，且 kF2M=kx1+m／x1-1，kF2N=kx2+m／x2-1
由已知α+β=π，
kF2M+kF2N=0，
kx1+m／x1-1+kx2+m／x2-1=0．
2kx1x2+（m-k）（x1+x2-2m=0
∴ 2k•﹙2m²-2／2k²+1﹚-4km(m-k)／﹙2k²+1﹚-2m=0
m=-2k．
∴y=k（x-2），（2，0）

e=√3/2，则：c/a=√3/2，即：c=(√3/2)a；
焦点到椭圆上点的最短距离为2-√3，即：a-c=2-√3

把c=(√3/2)a代入：a-c=2-√3
解得：a=2，c=√3
则：b²=a²-c²=1
所以，椭圆方程为：y²/4+x²=1

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

第一个问题：
由给定的椭圆焦点坐标可知：c＝1，e＝c/a＝1/2，∴a＝2，∴b＝√（a^2－c^2）＝√3，
∴椭圆的方程是：x^2/3＋y^2/4＝1。
∴可设点P的坐标为（√3cosα，2sinα）。　∵P在第一象限，∴sinα＞0，cosα＞0。

依题意，有：｜PF1｜－｜PF2｜＝1，
∴√［（√3cosα）^2＋（2sinα＋1）^2］－√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝1，
∴1＋√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝√［（√3cosα）^2＋（2sinα＋1）^2］。

两边平方，得：
1＋2√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＋（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2
＝（√3cosα）^2＋（2sinα＋1）^2，
∴2√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝（2sinα＋1）^2－（2sinα－1）^2－1，
∴2√［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝1－8sinα。

两边再平方，得：
4［（√3cosα）^2＋（2sinα－1）^2］＝1－16sinα＋64（sinα）^2，
∴4［3（cosα）^2＋4（sinα）^2－4sinα＋1］＝1－16sinα＋64（sinα）^2，
∴4［4＋（sinα）^2－4sinα］＝1－16sinα＋64（sinα）^2，
∴16＋4（sinα）^2－16sinα＝1－16sinα＋64（sinα）^2，
∴60（sinα）^2＝15，　∴（sinα）^2＝1/4，　∴sinα＝1/2，　∴cosα＝√3/2，
∴√3cosα＝3/2，　2sinα＝1，　∴点P的坐标是（3/2，1）。

第二个问题：
由F2（0，1）、P（3/2，1）可知：PF2∥x轴。
∵F2在以PQ为直径的圆上，　∴PF2⊥QF2，　∴Q在y轴上。
令x^2/3＋y^2/4＝1中的x＝0，得：y＝±2，　∴点Q的坐标是（0，2）或（0，－2）。

一、当Q的坐标为（0，2）时，
　　由中点坐标公式，得：G的坐标为（3/4，3/2）。
又｜GQ｜^2＝（3/4－0）^2＋（3/2－2）^2＝9/16＋4/16＝13/16。
　　∴此时⊙G的方程是：（x－3/4）^2＋（y－3/2）^2＝13/16。

二、当Q的坐标为（0，－2）时，
　　由中点坐标公式，得：G的坐标为（3/4，－1/2）。
　　又｜GQ｜^2＝（3/4－0）^2＋（－1/2－2）^2＝9/16＋100/16＝109/16。
　　∴此时⊙G的方程是：（x－3/4）^2＋（y＋1/2）^2＝109/16。

即：满足条件的⊙G的方程是：
（x－3/4）^2＋（y－3/2）^2＝13/16；　或（x－3/4）^2＋（y＋1/2）^2＝109/16。

---

端州区15820727846： 已知椭圆C的两焦点分别为F1(0, - 2√2)F2(0,2√2),长轴为6,求椭圆C的标准方程已知椭圆C的两焦点分别为F1(0, - 2√2)F2(0,2√2),长轴为6C - ？
蓬显林格：[答案] 解析 c=2√2 所以 c²=8 2a=6 a=3 所以b²=a²-c² =9-8 =1 b=1 所以椭圆的标准方程 x²+y²/9=1

端州区15820727846： 已知椭圆C的两个焦点分别为F1( - 1,0),F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2 - ？
蓬显林格： 解答:解:(1)设椭圆C的方程为 x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0). 根据题意知a=2b a2−b2=1,解得a2= 4 3 ,b2= 1 3故椭圆C的方程为 3x2 4 +3y2=1. (2)由2b=2,得b=1,所以a2=b2+c2=2,得椭圆C的方程为 x2 2 +y2=1. 当直线l的斜率...

端州区15820727846： 已知椭圆的两个焦点分别为F1(0, - 1)F2(0,1),点P(—根号下3/3,4倍根号下2/3)为椭圆上的一点,则椭圆的 - ？
蓬显林格： (b>c=1,故8/9不满足条件,则b^2=4,a^2=b^2-1=3,故椭圆方程为;b^2=1;3+y^2/a焦点在Y轴,设椭圆方程为;3)^2/b^2=1,9b^4-44b^2+32=0,(9b^2-8)(b^2-4)=0,b^2=8/9,或b^2=4;4=1,a:x^2/3)^2/(b^2-1)+(4√2/,因b&gt,b均不为0),焦距为2c,c=1,b^2-a^2=c^2=1,a^2=b^2-1,x^2/(b^2-1)+y^2/b^2=1,将P坐标值代入椭圆方程,(-√3/a^2+y^2/:x^2/

端州区15820727846： 已知椭圆的C两个焦点分别为F1(0, - 1),F2(0,1),离心率e= 1 2 ,P是椭圆C在第一象限内的一点 - ？
蓬显林格： 由给定的椭圆焦点坐标可知:c=1,e=c/a=1/2,∴a=2,∴b=√(a^2-c^2)=√3,∴椭圆的方程是:x^2/3+y^2/4=1.∴可设点P的坐标为(√3cosα,2sinα). ∵P在第一象限,∴sinα>0,cosα>0.依题意,有:|PF1|-|PF2|=1,∴√[(√3cosα)^2+(2sinα+1)^2]...

端州区15820727846： 已知椭圆的两个焦点为F1(0？
蓬显林格： 由题知,椭圆通径=1,即2b~2/a=1,即2b~2=a 因为c=根号3,所以c~2=3 所以2b~2... 所以a~2=3+1=4 因为椭圆的两个焦点为F1(0,-根号3),F2(0,根号3) 所以椭圆的标准...

端州区15820727846： 已知椭圆C的两焦点为F1( - 1,0),F2(1,0),并且经过点M(1,3/2). - ？
蓬显林格： 1、点M(1,3/2)到两焦点的距离之和2a=|MF1|+|MF2|=4,则a=2,又:c=1,则b²=a²-c²=3,所求椭圆是:x²/4+y²/3=1 2、因为点(m,n)在圆上运动,则: m²+n²=1 圆心(0,0)到直线的距离d=1/√(m²+n²)=1=R 则直线mx+ny=1与...

端州区15820727846： 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(0, - 1)、F2(0,1),离心率e=1/2,P是椭圆C在第一象限内的一点？
蓬显林格： 因焦点在y轴上,故设椭圆C :X^2/b^2+y^2/a^2=1 ,又c=1 , e=c/a=1/2 ,即a=2 ,于是b^2 =3故即椭圆C :X^2/3+y^2/4=1因PF1-PF2=1PF1+PF2=4 ,得 PF1=5/2 ,PF2=3/2 设 P(X,y) , 作PH ⊥y轴于H ,则有 PF1^2-HF1^2=PF2^2 -HF2^2 ,...

端州区15820727846： 已知椭圆C的两个焦点分别为F1( - 2,0)F2(2,0),并且经过点P2分之5,负2分之3,求椭圆 - ？
蓬显林格： 解: 设椭圆的方程为 x²/a²+y²/b²=1∵ c=2 P(5/2,-3/2) 在椭圆上∴ (5/2)²/a²+(-3/2)²/b²=125b²+9a²=4a²b²a²-b²=4 a²=b²+425b²+9(b²+4)=4 b²(b²+4)34b²+36=4(b²)²+16b²4(b²)²-18b²-36=02(b²)²-9b²-18=0(2b²+3)(b²-6)=0∴ b²=6 a²=10∴ x²/10+y²/6=1

端州区15820727846： 已知椭圆C的两焦点为F1( - 1,0),F2(1,0),并且经过点M(1,3/2) 求椭圆C的方程, - ？
蓬显林格： 设椭圆方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1, 由焦点坐标,得c=1, ——》a^2-b^2=c^2=1, 将M(1,3/2)坐标值代入得:1/a^2+9/4b^2=1, ——》1/(b^2+1)+9/4b^2=1, 整理得:4b^4-9b^2-9=(b^2-3)(4b^2+3)=0, ——》b^2=3, ——》a^2=4, 即椭圆方程为:x^2/4+y^2/3=1.