已知椭圆C的两个焦点分别为F1(0,-1)、F2(0,1),离心率e=1/2,P是椭圆C在第一象限内的一点
MN存在斜率,设y=kx+m。
x²/2+y²=1。y=kx+m
(2k²+1)x²+4kmx+2m²-2=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
x1+x2=-4km/2k²+1,x1x2=2m²-2/2k²+1,且 kF2M=kx1+m/x1-1,kF2N=kx2+m/x2-1
由已知α+β=π,
kF2M+kF2N=0,
kx1+m/x1-1+kx2+m/x2-1=0.
2kx1x2+(m-k)(x1+x2-2m=0
∴ 2k•﹙2m²-2/2k²+1﹚-4km(m-k)/﹙2k²+1﹚-2m=0
m=-2k.
∴y=k(x-2),(2,0)
e=√3/2,则:c/a=√3/2,即:c=(√3/2)a;
焦点到椭圆上点的最短距离为2-√3,即:a-c=2-√3
把c=(√3/2)a代入:a-c=2-√3
解得:a=2,c=√3
则:b²=a²-c²=1
所以,椭圆方程为:y²/4+x²=1
祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O
由给定的椭圆焦点坐标可知:c=1,e=c/a=1/2,∴a=2,∴b=√(a^2-c^2)=√3,
∴椭圆的方程是:x^2/3+y^2/4=1。
∴可设点P的坐标为(√3cosα,2sinα)。 ∵P在第一象限,∴sinα>0,cosα>0。
依题意,有:|PF1|-|PF2|=1,
∴√[(√3cosα)^2+(2sinα+1)^2]-√[(√3cosα)^2+(2sinα-1)^2]=1,
∴1+√[(√3cosα)^2+(2sinα-1)^2]=√[(√3cosα)^2+(2sinα+1)^2]。
两边平方,得:
1+2√[(√3cosα)^2+(2sinα-1)^2]+(√3cosα)^2+(2sinα-1)^2
=(√3cosα)^2+(2sinα+1)^2,
∴2√[(√3cosα)^2+(2sinα-1)^2]=(2sinα+1)^2-(2sinα-1)^2-1,
∴2√[(√3cosα)^2+(2sinα-1)^2]=1-8sinα。
两边再平方,得:
4[(√3cosα)^2+(2sinα-1)^2]=1-16sinα+64(sinα)^2,
∴4[3(cosα)^2+4(sinα)^2-4sinα+1]=1-16sinα+64(sinα)^2,
∴4[4+(sinα)^2-4sinα]=1-16sinα+64(sinα)^2,
∴16+4(sinα)^2-16sinα=1-16sinα+64(sinα)^2,
∴60(sinα)^2=15, ∴(sinα)^2=1/4, ∴sinα=1/2, ∴cosα=√3/2,
∴√3cosα=3/2, 2sinα=1, ∴点P的坐标是(3/2,1)。
第二个问题:
由F2(0,1)、P(3/2,1)可知:PF2∥x轴。
∵F2在以PQ为直径的圆上, ∴PF2⊥QF2, ∴Q在y轴上。
令x^2/3+y^2/4=1中的x=0,得:y=±2, ∴点Q的坐标是(0,2)或(0,-2)。
一、当Q的坐标为(0,2)时,
由中点坐标公式,得:G的坐标为(3/4,3/2)。
又|GQ|^2=(3/4-0)^2+(3/2-2)^2=9/16+4/16=13/16。
∴此时⊙G的方程是:(x-3/4)^2+(y-3/2)^2=13/16。
二、当Q的坐标为(0,-2)时,
由中点坐标公式,得:G的坐标为(3/4,-1/2)。
又|GQ|^2=(3/4-0)^2+(-1/2-2)^2=9/16+100/16=109/16。
∴此时⊙G的方程是:(x-3/4)^2+(y+1/2)^2=109/16。
即:满足条件的⊙G的方程是:
(x-3/4)^2+(y-3/2)^2=13/16; 或(x-3/4)^2+(y+1/2)^2=109/16。
已知椭圆C的两个焦点分别为F1(0,-1)、F2(0,1),离心率e=1\/2,P是椭圆C...
由给定的椭圆焦点坐标可知:c=1,e=c\/a=1\/2,∴a=2,∴b=√(a^2-c^2)=√3,∴椭圆的方程是:x^2\/3+y^2\/4=1。∴可设点P的坐标为(√3cosα,2sinα)。 ∵P在第一象限,∴sinα>0,cosα>0。依题意,有:|PF1|-|PF2|=1,∴√[(√3cosα)^2+(...
已知椭圆c的两个焦点分别为f1(-2√2,0)f2(2√2,0),长轴长为6,求椭圆...
2a=6 a=3 b=√(a^2-c^2)=√(9-8)=1 椭圆标准方程 x^2\/9+y^2=1 已知过点(0,2)且斜率为1的直线为 y-2=1*(x-0)y=x+2代入椭圆方程得 x^2\/9+(x+2)^2=1 x^2+9(x^2+4x+4)=9 10x^2+36x+27=0 xa+xb=-36\/10=-18\/5 xaxb=27\/10 (xa-xb)^2=(xa+xb)^...
已知椭圆的C两个焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),离心率e=12.(Ⅰ..._百 ...
解:(I)∵椭圆的C两个焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),故设椭圆的标准方程为:y2a2+x2b2=1(a>b>0),且c=1 又∵椭圆的离心率e=ca=12.故a2=4,b2=3 故椭圆的标准方程为:y24+x23=1 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)由AF2=2F2B得:x1=-2x2,y1=3-2y2,由y...
椭圆的焦点怎么求
椭圆:定理1:设F1、F2为椭圆C的两个焦点,P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P,且A和B在直线上位于P的两侧,则∠APF1=∠BPF2。(也就是说,椭圆在点P处的切线即为∠F1PF2的外角平分线所在的直线)。定理2:设F1、F2为椭圆C的两个焦点,P为C上任意一点。若直线AB为C在P点的法线,则...
已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1:4x²+9y²=36的两个焦点...
⑴ 如图,C1焦点﹙√5,0﹚﹙-√5,0﹚ ∴C焦点﹙0,√5﹚,﹙0,-√5﹚设C的方程 x²\/a²+y²\/b²=1 b²-a²=5 2\/a²+12\/b²=1 得到a²=10, b²=15 C的方程 3x²+2y²=30 ⑵ OP方程...
已知F1,F2为椭圆C的两个焦点,若椭圆上存在P使得PF1\/PF2=3成立,则改椭 ...
设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a m\/n=3,m=3n 4n=2a,n=a\/2∈[a-c,a+c]所以e∈[1\/2,1)
已知椭圆的两个焦点
设椭圆方程是x²\/a²+y²\/b²=1 焦点坐标(-2,0),(2,0),且过点(0,2)所以有c²=a²-b²=2²,b=2 解得,c=2,b=2,a²=8 所以椭圆标准方程是x²\/8+y²\/4=1
已知F1、F2分别为椭圆C的两个焦点,点B为其短轴的一个端点,若△BF1F2为...
∵△BF1F2为等边三角形,∴a=2c,∴e=12.故选B.
已知,椭圆c过点a(1,3\/2),两个焦点(-1,0),(1,0),求椭园的方程
两个焦点F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1 A(1,3\/2)则AF1+AF2 =√[(1+1)²+(3\/2-0)²]+|3\/2-0| =4 因为AF1+AF2=2a 所以a=2 则b²=a²-c²=3 所以x²\/4+y²\/3=1
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶 ...
(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形,∴b=c,(2b)2=8,∴b=c=2,a2=b2+c2=8.∴x28+y24=1.(2)椭圆C的左准线方程为:x=-4.∴P(-4,0),设直线l的方程为y=k(x+4),M(x1,y1),...
蓬显林格:[答案] 解析 c=2√2 所以 c²=8 2a=6 a=3 所以b²=a²-c² =9-8 =1 b=1 所以椭圆的标准方程 x²+y²/9=1
端州区15820727846: 已知椭圆C的两个焦点分别为F1( - 1,0),F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2 - ?
蓬显林格: 解答:解:(1)设椭圆C的方程为 x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0). 根据题意知a=2b a2−b2=1,解得a2= 4 3 ,b2= 1 3故椭圆C的方程为 3x2 4 +3y2=1. (2)由2b=2,得b=1,所以a2=b2+c2=2,得椭圆C的方程为 x2 2 +y2=1. 当直线l的斜率...
端州区15820727846: 已知椭圆的两个焦点分别为F1(0, - 1)F2(0,1),点P(—根号下3/3,4倍根号下2/3)为椭圆上的一点,则椭圆的 - ?
蓬显林格: (b>c=1,故8/9不满足条件,则b^2=4,a^2=b^2-1=3,故椭圆方程为;b^2=1;3+y^2/a焦点在Y轴,设椭圆方程为;3)^2/b^2=1,9b^4-44b^2+32=0,(9b^2-8)(b^2-4)=0,b^2=8/9,或b^2=4;4=1,a:x^2/3)^2/(b^2-1)+(4√2/,因b>,b均不为0),焦距为2c,c=1,b^2-a^2=c^2=1,a^2=b^2-1,x^2/(b^2-1)+y^2/b^2=1,将P坐标值代入椭圆方程,(-√3/a^2+y^2/:x^2/
端州区15820727846: 已知椭圆的C两个焦点分别为F1(0, - 1),F2(0,1),离心率e= 1 2 ,P是椭圆C在第一象限内的一点 - ?
蓬显林格: 由给定的椭圆焦点坐标可知:c=1,e=c/a=1/2,∴a=2,∴b=√(a^2-c^2)=√3,∴椭圆的方程是:x^2/3+y^2/4=1.∴可设点P的坐标为(√3cosα,2sinα). ∵P在第一象限,∴sinα>0,cosα>0.依题意,有:|PF1|-|PF2|=1,∴√[(√3cosα)^2+(2sinα+1)^2]...
端州区15820727846: 已知椭圆的两个焦点为F1(0?
蓬显林格: 由题知,椭圆通径=1,即2b~2/a=1,即2b~2=a 因为c=根号3,所以c~2=3 所以2b~2... 所以a~2=3+1=4 因为椭圆的两个焦点为F1(0,-根号3),F2(0,根号3) 所以椭圆的标准...
端州区15820727846: 已知椭圆C的两焦点为F1( - 1,0),F2(1,0),并且经过点M(1,3/2). - ?
蓬显林格: 1、点M(1,3/2)到两焦点的距离之和2a=|MF1|+|MF2|=4,则a=2,又:c=1,则b²=a²-c²=3,所求椭圆是:x²/4+y²/3=1 2、因为点(m,n)在圆上运动,则: m²+n²=1 圆心(0,0)到直线的距离d=1/√(m²+n²)=1=R 则直线mx+ny=1与...
端州区15820727846: 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(0, - 1)、F2(0,1),离心率e=1/2,P是椭圆C在第一象限内的一点?
蓬显林格: 因焦点在y轴上,故设椭圆C :X^2/b^2+y^2/a^2=1 ,又c=1 , e=c/a=1/2 ,即a=2 ,于是b^2 =3故即椭圆C :X^2/3+y^2/4=1因PF1-PF2=1PF1+PF2=4 ,得 PF1=5/2 ,PF2=3/2 设 P(X,y) , 作PH ⊥y轴于H ,则有 PF1^2-HF1^2=PF2^2 -HF2^2 ,...
端州区15820727846: 已知椭圆C的两个焦点分别为F1( - 2,0)F2(2,0),并且经过点P2分之5,负2分之3,求椭圆 - ?
蓬显林格: 解: 设椭圆的方程为 x²/a²+y²/b²=1∵ c=2 P(5/2,-3/2) 在椭圆上∴ (5/2)²/a²+(-3/2)²/b²=125b²+9a²=4a²b²a²-b²=4 a²=b²+425b²+9(b²+4)=4 b²(b²+4)34b²+36=4(b²)²+16b²4(b²)²-18b²-36=02(b²)²-9b²-18=0(2b²+3)(b²-6)=0∴ b²=6 a²=10∴ x²/10+y²/6=1
端州区15820727846: 已知椭圆C的两焦点为F1( - 1,0),F2(1,0),并且经过点M(1,3/2) 求椭圆C的方程, - ?
蓬显林格: 设椭圆方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1, 由焦点坐标,得c=1, ——》a^2-b^2=c^2=1, 将M(1,3/2)坐标值代入得:1/a^2+9/4b^2=1, ——》1/(b^2+1)+9/4b^2=1, 整理得:4b^4-9b^2-9=(b^2-3)(4b^2+3)=0, ——》b^2=3, ——》a^2=4, 即椭圆方程为:x^2/4+y^2/3=1.