线性代数关键知识点

怎样才能学好线性代数~

　　一、线性代数如果注意以下几点是有益的.

　　由易而难 线性代数常常涉及大型数组，故先将容易的问题搞明白，再解决有难度的问题，例如行列式定义，首先将3阶行列式定义理解好，自然可以推广到n阶行列式情形；

　　由低而高 运用技巧，省时不少，无论是行列式还是矩阵，在低阶状态，找出适合的计算方法，则可自如推广运用到高阶情形；

　　由简而繁 一些运算法则，先试用于简单情形，进而应用于复杂问题，例如，克莱姆法则，线性方程组解存在性判别，对角化问题等等；

　　由浅而深线性代数中一些新概念如秩，特征值特征向量，应当先理解好它们的定义，在理解基础之上，才能深刻理解它们与其他概念的联系、它们的作用，一步步达到运用自如境地。

　　二、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
　　1、线性代数的概念很多，重要的有：

　　代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
　　2、线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

　　行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

　　三、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
　　线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

　　四、注重逻辑性与叙述表述

　　线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解学生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家学习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

第一章 行列式，重点：行列式的结果是一个数，尽可能化出更多的0，或者化成特殊形状（上下三角、三对角、爪形、范德蒙式等）。
第二章 矩阵，重点：矩阵的+-x/（除是被1除，也就是求逆，求逆的过程中还有一个中间产物----伴随阵），初等矩阵P左行右列，矩阵方程，化行阶梯和行最简阶梯。
第三章 方程组，重点：列系数行列式，化行阶梯（化行最简也行），判断有0个解、1个解、无数解，并写出通解（齐次和非齐次）。
第四章 向量，重点：线性相关和线性无关，与前面的矩阵是否可逆、方程组的解的个数、后面的特征值和特征向量、二次型都是相通的，固定解题步骤。
第五章 特征向量特征值，算特征值时注意，行列式尽量多观察特点，加加减减凑出行或列的整数倍关系，从而化出更多的0，否则要硬拆一元3次方程有点困难，引申出判断矩阵相似。
第六章 二次型，其实就是正方形矩阵的另一种写法，二次型化规范型、标准型，判断正定、合同等等，其实步骤还是上面的求特征值特征向量。
整本书的难点：1、矩阵的伴随、转置、逆、行列式的复合运算（要背大量短小的公式）
2、从第二章矩阵到最后一章二次型，知识全都是相通的。矩阵是否可逆--方程组解的个数---特征值的个数---正负惯性指数---向量线性相关还是无关等等都是有关系的。
3、知识点凌乱繁多，每个知识点都很短，很简单，单独听都懂，但是数量很多很多，一多就容易忘（有点像计算机网络哈哈哈）
祝好！

学好线代的最关键要点在于“见一反三”，即面对同一个数学事实，都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下，相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考，会有助于更进一步把握好线代的知识体系。

1、任何一个向量α=（a1, a2, ..., an）都能由单位向量ε1=（1, 0, ..., 0）、ε2=（0, 1, ..., 0）、……、εn=（0, 0, ..., 1）线性表出，且表示方式唯一。

2、向量组α1，α2，…，αn中任一个向量αi可以由这个向量组线性表出。

3、判断下列说法正确性：（1）“向量组α1，α2，…，αn，如果有全为零的数k1, k2, ..., kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0，则α1，α2，…，αn线性无关。”（2）“如果有一组不全为零的数k1, k2, ..., kn，使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0，则α1，α2，…，αn线性无关。”（3）“若向量组α1，α2，…，αn（n≥2）线性相关，则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。”

4、三维空间中的任意4个向量必线性相关。

5、n+1个n维向量必线性相关。

6、如果向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1也线性无关。

7、如果向量组α1，α2，α3，α4线性无关，判断向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是否线性无关。

8、如果向量β可以由向量组α1，α2，…，αn线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αn线性无关。

9、设向量组α1，α2，…，αn线性无关，β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。如果对于某个ki≠0，则用β替换αi后得到的向量组α1，…，α(i-1)，β，α(i+1)，…，αn也线性无关。

10、由非零向量组成的向量组α1，α2，…，αn（n≥2）线性无关的充分必要条件是每一个αi（1<i≤n）都不能用它前面的向量线性表出。

11、设α1，α2，…，αn线性无关，且（β1，β2，…，βn）=A（α1，α2，…，αn），则β1，β2，…，βn线性无关的充分必要条件是A的行列式为零。

12、秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。

13、任一n维向量组若是线性无关的，那么其所含向量数目不会超过n。

14、如果n维向量构成的向量组α1，α2，…，αn线性无关，那么任一n维向量β可由α1，α2，…，αn线性表出。

15、如果任意的n维向量都可以由α1，α2，…，αn线性表出，那么α1，α2，…，αn线性无关。

16、如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出，则这r个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组。

17、n个方程的n元线性方程组x1*α1+x2*α2+…+xn*αn=β对任何β都有解的充分必要条件是它的系数行列式为零。

18、如果向量组α1，α2，…，αn和向量组α1，α2，…，αn，β有相同的秩，则β可以由α1，α2，…，αn线性表出。

19、r（α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βm）≤r（α1，α2，…，αn）+r（β1，β2，…，βm）。

20、矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。

21、如果m*n的矩阵A的秩为r，那它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不会小于r+s-m。

22、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，则这个矩阵不是满秩矩阵。

23、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，那么这个矩阵的秩最多是多少？

24、设η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组的一个基础解系，则与η1，η2，…，ηt等价的线性无关的向量组也是方程组的一个基础解系。

25、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r<n），则方程组的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。

26、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r<n），设δ1，δ2，…，δm是方程组的解向量，则r（δ1，δ2，…，δm）≤n-r。

27、设n个方程的n元线性方程组的系数矩阵A的行列式等于零，同时A至少存在一个元素的代数余子式A(kl)不为零，则向量（A(k1), A(k2), ..., A(kn)）是这个齐次线性方程组的一个基础解系。

28、设A1是s*n矩阵A的前s-1行组成的子矩阵，如果以A1为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程a(s1)*x1+a(s2)*x2+…+a(sn)*xn=0的解，其中a(ij)是矩阵A的元素，则A的第s行可以由A的前s-1行线性表出。

29、n个方程的n元非齐次线性方程组有唯一解当且仅当它对应的齐次方程组只有零解。

30、如果η1，η2，…，ηt都是n元非齐次线性方程组的解，并且有一组数u1，u2，…，un满足u1+u2+...+un=1，则u1*η1+u2*η2+…+ut*ηt也是方程组的一个解。

31、如果ν0是非齐次线性方程组的一个特解，η1，η2，…，ηt是它对应的齐次方程组的一个基础解系，令ν1=ν0+η1，ν2=ν0+η2，…，νt=ν0+ηt，则非齐次线性方程组的任意一个解可以表示为ν=u0*ν0+u1*ν1+u2*ν2+...+ut*νt，其中u0+u1+u2+...+ut=1。

32、设A是s*n矩阵，如果对于任意列向量η，都有Aη=0，则A=0。

33、两个n级上三角矩阵的乘积仍是n级上三角矩阵，且乘积矩阵的主对角元等于因子矩阵的相应主对角元乘积。

34、与所有n级矩阵可交换的矩阵一定是n级数量矩阵。

35、对任一s*n矩阵A，AA'和A'A都是对称矩阵。

36、两个n级对称矩阵的和仍是对称矩阵，一个对称矩阵的k倍仍是对称矩阵。

37、两个n级对称矩阵的乘积仍是对称矩阵的充分必要条件是它们可交换。

38、对任一n级矩阵，A+A'都是对称矩阵，A-A'都是反对称矩阵。

39、任一n级矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。

40、如果A是n级对称矩阵，并且A*A=0，则A=0。

41、r（A+B）≤r（A）+r（B）。

42、如果一个矩阵的行（列）向量组是线性无关的，则称为行（列）满秩矩阵。如果一个s*n的矩阵A的秩为r，则有s*r的列满秩矩阵B和r*n的行满秩矩阵C存在，使得A=BC。

43、设A是n级矩阵，若AA'=E，则A的行列式为1或-1。

44、如果矩阵A可逆，则A*也可逆，求A*的逆阵。

45、可逆的对称矩阵的逆矩阵仍然是对称矩阵。

46、如果A^k=0，则A-E可逆，求其逆阵。

47、设A、B分别为s*n，n*m矩阵，如果AB=0，则r（A）+r（B）≤n。

48、设A是n级矩阵，且A≠0，则存在一个n*m的非零矩阵，使AB=0的充分必要条件是A的行列式为零。

49、如果n级矩阵A满足A*A=E，则r（A+E）+r（A-E）≤n。

50、设A是一个s*n矩阵，β是任意一个s维向量，则n元线性方程组A'Ax=A'β一定有解。

51、设A是一个n级方阵，且r（A）=1，则A能表示成一个列向量与一个行向量的乘积。

52、设A是n级矩阵（n≥2），则A*的行列式等于A的行列式的n-1次方。

53、设A是n级矩阵（n≥2），则当r（A）=n时，r（A*）=n；当r（A）=n-1时，r（A*）=1；当r（A）<n-1时，r（A*）=0。

54、设A、B分别是s*n，n*m的矩阵，则矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r（A）=r（A, B）。

55、设A、B分别是s*n，n*m矩阵，则r(AB)≥r（A）+r（B）-n。

56、设C是s*r的列满秩矩阵，D是r*n的行满秩矩阵，则r（CD）=r。

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蒸湘区13877072489： 线性代数关键知识点 - ？
欧阳光痹欣： 学好线代的最关键要点在于“见一反三”,即面对同一个数学事实,都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它,以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点.现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下,相信通过对这...

蒸湘区13877072489： 线性代数考点 - ？
欧阳光痹欣： 线 性 代 数 一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理考试要求: 1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式. 二、矩阵 考试内容 矩阵的概念 矩...

蒸湘区13877072489： 大学中线性代数有哪些重要的知识点,可以帮我列出来？
欧阳光痹欣： 可以参考考研高数列出的考点: http://edu.qq.com/a/20100309/000200.htm比如行列式、矩阵、方程组等

蒸湘区13877072489： 线性代数的知识点总结 - ？
欧阳光痹欣： 最低0.27元开通文库会员,查看完整内容>原发布者:gqj20150408总复习矩阵矩阵是线性代数的核心,矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终,对矩阵的理解与掌握要扎实深入.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵...

蒸湘区13877072489： 线性代数主要内容有哪些 - ？
欧阳光痹欣： 线性代数的主要内容有:矩阵、行列式、线性方程组,向量空间,特征值理论、二次型等.

蒸湘区13877072489： 线性代数的重点是什么???？
欧阳光痹欣： 线性代数我个人认为它的重点是矩阵的初等变化,抗震求里、向量组、还有方阵的特征值、特征向量,后面所讲的这些内容都和我们矩阵的初等变化息息相关,别看矩阵的初等变化就那么三句话很简单,但是做题的时候错往往就错在这些最简单的问题上.给你一个矩阵在很短的时间内化成最简形,不是那么容易的

蒸湘区13877072489： 大学线性代数重点有哪些 - ？
欧阳光痹欣： 一般会考基本概念与计算、证明题,范围涉及:行列式的计算、线性方程组求通解 初等变换化行最简形,计算矩阵的秩 矩阵初等变换求逆,求伴随矩阵等 矩阵求特征值、特征向量 矩阵对角化求幂等

蒸湘区13877072489： 线性代数的主要内容有哪些? - ？
欧阳光痹欣： 基础内容:行列式、矩阵、向量较难内容:线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型

蒸湘区13877072489： 线性代数的重点？
欧阳光痹欣： 行列式,矩阵,线性方程组,向量的线性相关性,正交化,相似对角化,二次型标准型

蒸湘区13877072489： 线性代数的知识点,不用详细说,就列出名词就行,比如,克莱姆法则,特征值和特征向量,极大无关组,线性 - ？
欧阳光痹欣： 楼主已经列举了一些了,《线性代数》包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化,二次型及应用问题等内容.其展开行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量和方阵对角化、二次、相似矩阵、矩阵的秩等.