已知△ABC中,角A为60度,BC边为3,求三角形周长取值范围
由正弦定理,有
BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC
得AC=BCsinB/sinA=3sinB/sin60°=3sinB/(√3/2)=2√3sinB
AB=BCsinC/sinA=BCsin[180°-(A+B)]/sinA=3sin(60°+B)/sin60°
=(3sin60°cosB+3sinBcos60°)/sin60°
=3cosB+3sinBcot60°
=3cosB+√3sinB
AB+BC+AC=3cosB+√3sinB+3+2√3sinB=3√3sinB+3cosB+3
ΔABC的周长是3√3sinB+3cosB+3
解:(1)过C点作CE⊥AB于E点,则在Rt△BEC中,CE=BCsinB=BCsinx=2√3sinx.
在Rt△AEC中,AC=CE/sinA=2√3sinx/(√3/2)=4sinx.
sinC=sin(A+x).
AB/sinC=BC/sinA.
AB=2√3sinC/(√3/2)=4sinC.=4sin(A+x)=4sin(60°+x)
y=AB+CA+BC
=4sin(60°+x)+4sinx+2√3
=4[sin(60°+x)+sinx]+2√3.
=4*{[2sin(60°+x+x)/2]*cos(60°+x-x)/2}+2√3.
=8*sin(30°+x)cos30°+2√3.
∴y=4√3sin(30°+x)+2√3. ----(1)所求函数y=f(x)的解析式;
f(x)的定义域为:0<x<120°.
(2)ymax:
当sin(30+x)=1时,ymax=6√3. (长度单位)
BC^2=AC^2+AB^2-2AB*AC*cosA
即9=AC^2+AB^2-AB*AC
化简(AC+AB)^2-3AB*AC=9 ...........1式
因为AB^2+AC^2>=2AB*AC
所以(AB+AC)^2>=4AB*AC
即AB*AC<=[(AB+AC)^2]/4
所以1式可得
(AC+AB)^2-3AB*AC>=(AC+BC)^2-[(AB+AC)^2]*3/4
=[(AB+AC)^2]/4
即[(AB+AC)^2]/4<=9
所以.(AB+AC)^2<=36
AB+AC<=6
根据三角形任意两边大于第三边的特点.AB+AC>3
所以,三角形的周长C取值范围为6<C<=9
周长大于或等于6,小于或等于三倍根号3加3。
根据三角形余弦公式
BC^2=AC^2+AB^2-2AB*AC*cosA
即9=AC^2+AB^2-AB*AC
化简(AC+AB)^2-3AB*AC=9
...........1式
因为AB^2+AC^2>=2AB*AC
所以(AB+AC)^2>=4AB*AC
即AB*AC<=[(AB+AC)^2]/4
所以1式可得
(AC+AB)^2-3AB*AC>=(AC+BC)^2-[(AB+AC)^2]*3/4
=[(AB+AC)^2]/4
即[(AB+AC)^2]/4<=9
所以.(AB+AC)^2<=36
AB+AC<=6
根据三角形任意两边大于第三边的特点.AB+AC>3
所以,三角形的周长C取值范围为6
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根据三角形余弦公式
bc^2=ac^2+ab^2-2ab*ac*cosa
即4=ac^2+ab^2-ab*ac
化简(ac+ab)^2-3ab*ac=4
...........1式
因为ab^2+ac^2>=2ab*ac
所以(ab+ac)^2>=4ab*ac
即ab*ac<=[(ab+ac)^2]/4
所以1式可得
(ac+ab)^2-3ab*ac>=(ac+bc)^2-[(ab+ac)^2]*3/4
=[(ab+ac)^2]/4
即[(ab+ac)^2]/4<=4
所以.(ab+ac)^2<=16
ab+ac<=4
根据三角形任意两边大于第三边的特点.ab+ac>2
所以,三角形的周长c取值范围为4
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如图,已知在三角形ABC中,角A=90°,AB=AC=3根号2
(1)过点A作AN⊥BC于点N,交DE于点H,则点H为△ABC的重心,由题意得△ABC是等腰直角三角形,故AN=二分之一BC=3,由重心的性质可得:AH\/HN=2,∴DE\/BC=AH\/AN=2\/3,故HN=1\/3 ,AN=1,DE=4,即可得PM的长为1 (2)过点D作DI⊥BC于I,过点E作EK⊥BC于点K,则BI=DI=PM=1...
已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点. (1)如图,E、F分别是AB,A...
如图所示,过D点分别做AB、AC边上的垂线(红色标出),垂点分别为H、G 1、当E点与B点不重合,或者F点与C点不重合时 在由于三角形ABC是等腰直角三角形 所以DH=DG=AB\/2 又因为DE⊥DF(已知),DH⊥DG(在四边形AHDG中可以计算得出)所以∠HDF+∠FDG=∠HDF+∠HDE=90° 所以∠FDG=∠HDE ...
如图,在三角形ABC中,角A=a,三角形ABC的内角或外角平分线交于点p,角...
(2)(3)解法相同.解答:解:(1)β=90°+ 12α;(2)β= 12α;(3)β=90°- 12α.下面选择(1)进行证明.在图(1)中,根据三角形内角和定理可得:∠ABC+∠ACB=180°-∠A.∵BP与CP是△ABC的角平分线,∴∠PBC= 12∠ABC,∠PCB= 12∠ACB,∴∠PCB+∠PCB= 12(∠ABC+...
在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b c,已知a=c-2cosB,证明B=2A 若...
根据余弦定理,我们有 cosB=(a^2+c^2-b^2)\/(2ac)代入已知的a=c-2cosB,得到 cosB=(c^2-4cos^2B+c^2-b^2)\/(2c(c-2cosB))化简得到 cosB(c-2cosB)=b^2-a^2 由于B=2A,所以cosB=cos2A=2cos^2A-1,代入上式得 2cos^2A(c-4cos^2A+1)=b^2-a^2 化简得到 8cos^4A-...
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ,且C=120°.(1)求角A...
(1) ;(2) . 试题分析:(1)由正弦定理,得 代入已知式 ,再结合两角和与差的三角函数公式及三角形内角和定理,化简整理,即可求得角 的值;(2)由(1)及已知条件可得 ,从而 再利用余弦定理即可求出 的值.注:第(1)小题也可利用余弦定理求角A.试题解析:(1)由...
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c。且满足2acosC=2b-√3c...
简单分析一下,详情如图所示
△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知向量m=(cos3A\/2,sin3A\/...
,那么,sinC=sin(180°-B-A )=sin(B+A)=sin(B+60°)=0.5sinB+√3\/2cosB 所以:sinB+sinC=sinB+0.5sinB+√3\/2cosB=√3(√3\/2*sinB+0.5cosB)=√3sin(B+30°)=3\/2 所以sin(B+30°)=√3\/2 B=30°或B=90° 当B=30°时,C=90° 所以△ABC为直角三角形 回答完毕,...
在△ABC中,角A=90°,AB=AC,D为BC边的中点,P为BC上任意点,PE⊥AB,PF...
例1,如图1,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC中点,若AC=BD=a,EF= ,角BDC = 90度,求证:BD⊥平面ACD。分析:证明线面垂直 ,需要找线线垂直 ,创造所得线线垂直的条件。解答:如图1,取 AB的中点M,连结 ME、MF,因为 E、F分别是 AD、BC中点,所以ME∥BD, 且ME=1\/2*BD。MF∥...
在△ABC中,角A、B、C分别对应边a、b、c,已知A=兀\/4,bsinB-csinC=a
解:(1)a= bsinB-csinC ① 由正弦定理 a\/sinA=b\/sinB=c\/sinC=2R (R为三角形ABC外接圆半径)得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 代入①式可得 2RsinA=2R(sinB)^2-2R(sinC)^2 于是 sinA=(sinB)^2-(sinC)^2=(1-cos2B)\/2-(1-cos2C)\/2=-(cos2B-cos2C)\/2 =sin(B+C)...
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且∠B=60°,b^2=ac,求证:△AB...
证法一:由∠B=60°及余弦定理得b^2=a^2+c^2-2accosB,ac=a^2+c^2-ac,化简得a=c。又∠B=60°,所以△ABC为正三角形 证法二:由b^2=ac及正弦定理得(sinB)^2=sinAsinC,利用积化和差及A+B+C=π求得cos(A-C)=1,所以A=C。故得△ABC为正三角形 ...
冷珠补肾: 在三角形ABC中设BC=a,AB=c,因为A=60度,a=根号c,由a/sinA=c/sinC得 sinC=根号6/4
鹤山区13265646669: 角A=60度 以BC为直径作圆O - ?
冷珠补肾: 连接BE ∵BC为圆O直径 ∴∠BEC=90° ∴∠BEA=90° ∴∠ABE=30° ∵在直角三角形中,30°角对应的直角边等于斜边的一半 ∴在直角三角形ABE中,AB=2AE=8 ∴BD=AB-AD=8-3=5
鹤山区13265646669: 已知:如图,△ABC中,∠A=60°,BC为定长,以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E.连接DE、OE.下列结论:①BC=2DE;②D点到OE的距离不变;③... - ?
冷珠补肾:[选项] A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④
鹤山区13265646669: 已知,如图 三角形ABC中,角A=60度,BD,CE分别是角ABC和角ACB的平分线相交于点E - ?
冷珠补肾: 1. ∵∠A等于60°,∴∠B+∠C=180°-60°=120° ∵BD和EC分别是∠B和∠C的角平分线,∴∠DBC+∠ECB=60° ∴∠BFC=180°-60°=120° ∵∠BFC=120° ∴∠BFE=180°-120°=60°∴∠BFE=60° 2. 连接AF (三角形的三条角平分线交于一点)∴AF为∠A的角平分线,得出△AEF和△ADF,然后根据三角形全等得出 FE=FD 全等的条件 (∠EAF=∠DAF AF=FA ∠EFA=∠DFA) 就可以算出FE等于FD了.
鹤山区13265646669: 在三角形abc中,角a为60度,ab=ac,be垂直ac于e,cf垂直ab于f,D为BC中点 - ?
冷珠补肾: 角a为60度,ab=ac,说明 角b=角c=60度 说明三角形abc为等边三角形, be垂直ac于e,cf垂直ab于f,D为BC中点,这些都说明af=bf=ae=ce=bd=cd,角a=角b=角c=60度,说明三角形aef,三角形bdf.三角形cde都是等边三角形,所以ef=df=de,所以三角形DEF不是等边三角形
鹤山区13265646669: 在三角形ABC中,已知内角A等于60度,BC=2根号3,设内角B的大小为X,周长为y.1.求函数y=f(x)的解析式和定义域2.求y的最大值 - ?
冷珠补肾:[答案] a/SinA=(2√3 )/(√3 /2)=4=b/SinB=c/SinC b=4SinX,C=180-60-X=120-X SinC=(√3 /2)CosX+0.5*SinX c==2√3*CosX+2*SinX Y=a+b+c=6*SinX+2√3*CosX+2√3 0
鹤山区13265646669: 三角形abc中,已知角A=60度,b:c=8:5,内切圆面积为12π,求三角形面积 - ?
冷珠补肾: 答:三角形ABC的面积=40√3 解:设内切圆的半径=R,园心为O,过O分别作AC、BC、AB的垂线OE、OF、OG,垂足分别为E、F、G,连接OA、OB、OC,设AC=b=8X,则AB=c=5X,π*R^2=12π R=0E=OF=OG=2√3,∠A=60°,∠OAE=∠...
鹤山区13265646669: 三角形ABC中角A=60度,BC为定长,以BC为直径的圆O分别交AB、AC于点D、E,连接DE、OE. - ?
冷珠补肾: 1、设∠ABC=x,∠ACB=y,有x+y=120,又因为OD=OB,OE=OC,所以∠ODB=∠ABC,∠OEC=∠ACB.所以,∠DOE=180-∠DOB-∠EOC=180-(180-2x)-(180-2y)=2(x+y)-180=60.所以,三角形ODE为顶角为60度的等腰三角形,也就是等边三...
鹤山区13265646669: (1/2)己知在锐角三角形ABC中,角A=60度,以BC边为直径的圆O与AB,AC分别相交于点D,E,求三角形ABC的面积与... - ?
冷珠补肾: 解:连接BE.BC为直径,则:∠BEC=90°,BE垂直AC.又∠A=60°,故:∠ABE=30°,AE/BE=1/2.∵∠AED=∠ABC;∠A=∠A.∴⊿AED∽⊿ABC,DE/BC=AE/AB=1/2.则:S⊿AED/S⊿ABC=(DE/BC)²=1/4.所以,S⊿ABC/S⊿AED=4/1,得:S⊿ABC/S四边形DBCE=4/3.
鹤山区13265646669: 已知三角形abc中,角a=60度,be、cf分别是三角形abc的边ac、ab上的高,连接ef,若a - ?
冷珠补肾: 解:∵BE、CF都是△ABC的高,∴∠AEB=∠AFC=90°,∵∠A=60°,∴AE=1/2AB,AF=1/2AC,∴AE·AF=1/4AB·AC=√3/2,S△AEF=1/2AE·AF·sin∠A=3/8