由曲线xy=3和x+y=4围成的图形，绕x轴旋转一周的体积

求曲线y＝x和y＝x²所围成的图形绕轴y＝3旋转所得的旋转体体积~

所得的旋转体体积13π/15。
解：因为直线y=x与曲线y=x^2的交点为点O(0,0)及点A(1,1)。
因此通过定积分可得旋转体体积V，则
V=∫(0,1)π(3-x^2)^2dx-∫(0,1)π(3-x)^2dx
=π∫(0,1)((3-x^2)^2-(3-x)^2)dx
=π∫(0,1)(x^4-7x^2+6x)dx
=π*(x^5/5-7x^3/3+3x^2)(0,1)
=13π/15
即所得的旋转体体积13π/15。
扩展资料：
1、定积分∫(a,b)f(x)dx的性质
（1）当a=b时，∫(a,b)f(x)dx=0。
（2）当a>b时，∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx。
（3）常数可以提到积分号前。即∫(a,b)K*f(x)dx=K*∫(a,b)f(x)dx。
2、利用定积分求旋转体的体积
（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数。
（2）分清端点。
（3）确定几何体的构造。
（4）利用定积分进行体积计算。
3、定积分的应用
（1）解决求曲边图形的面积问题
（2）求变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。
（3）求变力做功
某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。
参考资料来源：百度百科-定积分

结果你再算算

二者的交点为A(1, 3), B(3, 1)
围成的图形绕x轴旋转一周, 在x处的截面积为f(x) = π(4-x)² - π(3/x)²
体积为f(x)在[1, 3]内的定积分：
V = ∫[π(4-x)² - π(3/x)²]dx
= π∫(x² -8x +16 - 9/x²)dx
= π(x³/3 -4x² + 16x + 9/x) + C
在[1, 3]内的定积分: π(3³/3 -4*3² + 16*3 + 9/3) - π(1³/3 -4*1² + 16*1 + 9/1)
= 24π - 64π/3
= 8π/3

主要步骤给出，结果自己算一下。

曲线xy=3和x+y=4 的交点 (1,3), (3,1)
V = π ∫ [1,3] [ (4-x)² - 9/x² ] dx = π ∫ [1,3] [ 16 - 8x + x² - 9/x² ] dx
= π [ 16x - 4x² + x³/3 + 9/x ] | [1,3]
= π ( 32 - 32 + 26/3 + 6)
= π (14 + 2/3）

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长兴县19171822608： 由曲线xy=3和x+y=4围成的图形,绕x轴旋转一周的体积这题是定积分的运用求旋转体体积哈,越细越好, - ？
叶福优泌：[答案] 二者的交点为A(1, 3), B(3, 1) 围成的图形绕x轴旋转一周, 在x处的截面积为f(x) = π(4-x)² - π(3/x)² 体积为f(x)在[1, 3]内的定积分: V = ∫[π(4-x)² - π(3/x)²]dx = π∫(x² -8x +16 - 9/x²)dx = π(x³/3 -4x² + 16x + 9/x) + C 在[1, 3]内的定积分: π(3³/3 -4*3...

长兴县19171822608： 求解高等数学:题如下:设平面图形由曲线y=3/x和x+y=4围成. (1)求此平面图形的面积;(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的体积. - ？
叶福优泌：[答案] 用定积分 先求两曲线的交点:(1,3),(3,1) 面积:积分变量为y 积分下限1,积分上限3,被积函数:S (4-y)-3/y dy 拆开积分套公式得 结果4-3ln3 旋转体体积:积分变量为x 积分下限1,积分上限3,被积函数:S π[(4-x)^2-(3/x)^2] dx 得结果 8/3

长兴县19171822608： 设平面图形是由曲线y=3/x和x+y=4 围成,求此图形的面积. - ？
叶福优泌：[答案] 这个要用到积分的. 将两个方程联立得出交点为A(1,3)B(3,1) 在AB两点间,曲线在直线下面, 则面积=积分(4-x-3/x)从1到3 =(4x-x*x/2-3lnx)|从1到3 =(4*3-9/2-3ln3)-(4*1-1/2-3ln1) =(15/2-3ln3)-(7/2) =4-3ln3

长兴县19171822608： 曲线xy=3,和x+y=4围成,求d的面积 - ？
叶福优泌： A(1,3)、B(3,1) S=∫(1→3)[(4-x)-3/x]dx =(4x-x^2/2+3/x^2)|(1→3) =(12-9/2+1/3)-(4-1/2+3) =4/3

长兴县19171822608： 求曲线Y平方等于2X与X加Y等于4所围成图形的面积 - ？
叶福优泌： y²=2x x+y=4 求公共解: x1=2, y1=2 x2=8, y2=-4 先求出曲线从x=0到2的积分, 2ƒ√(2x)dx=16/3 再计算直线与曲线从x=2到8的积分 由于是曲线的下分支y=-√(2x),所以下面式中是加号. ƒ[(4-x)+√(2x]dx=4x-x²/2+(2√2/3)x^(3/2)=64/3-26/3=38/3 总面积=38/3+16/3=18

长兴县19171822608： 由曲线y=x^3和直线y=4x所围成的图形的面积 - ？
叶福优泌： 联立y=x^3和y=4x可知,两条线的交点是(0,0) (-2,-8) (2,8) 因为曲线和直线都是关于原点的对称的,x轴上下两侧围成的面积相等 ∴面积=2 * ∫(0,2) (4x-x³)=2(2x²-x^4/4)|(0,2)=2(8-4)=8

长兴县19171822608： 求解高等数学:题如下: - ？
叶福优泌： 用定积分先求两曲线的交点:(1,3),(3,1)面积:积分变量为y 积分下限1,积分上限3,被积函数:S (4-y)-3/y dy 拆开积分套公式得结果4-3ln3旋转体体积:积分变量为x 积分下限1,积分上限...

长兴县19171822608： 设平面图形由曲线XY=3和X+Y - 4=0所围成,求此图形绕Y轴旋转而成的立体的体积. - ？
叶福优泌： 64*3.14/3

长兴县19171822608： 由曲线y=x^(3/2),x=4,y=0围成的图形绕y轴旋转而形成的旋转体的体积, 答案是512π/7 - ？
叶福优泌： 这是一元积分学的几何运用.方法一:直接用微元法计算.具体思路有两个:思路一:用y=c去截取旋转体,先计算这个圆环的面积,然后表达出体积微元dv=s*dy,然后对y积分即可 思路二:用x^2+y^2=r^2这个圆柱去截取旋转体,得到一个圆筒...

长兴县19171822608： 求曲线y=x^2与直线y=3x+4所围成的图形面积 - ？
叶福优泌： y = x^2 = 3x + 4 x^2 - 3x - 4 = 0(x - 4)(x + 1) = 0 x = -1, x = 4 二者交于A(-1, 1), B(4, 16) 所围成的图形面积S = ∫(3x + 4 - x^2)dx (-1 -> 4)= (-x^3/3 + 3x^2/2 + 4x) (-1 -> 4)= (-64/3 + 24 + 16) - (1/3 + 3/2 - 4)= 125/6