一个人绕着某固定不动的点做圆周运动,第二个人绕第一个人做圆周运动,第三个人绕第二人做圆周运动。

作者&投稿:能东 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
三个人在一起,第三个人:“第二个人是第一个人的儿子。”第一个人说:“我不是第二个人的爸爸。”怎么回~

因为第一个人是第二个人的妈妈。

可能是她爸,或者她干爸....
感觉这仨人像吉祥三宝来.

第1个人一开始在x轴的正方向r1处,

为了讨论方便,一开始3个人一条直线,都在x轴上,都设是逆时针运动

第2个人一开始的时候离第1个人为r2,第三个人离第2个人距离为r3

第1个人的角速度为ω1,第2个人相对于第1个人角速度为ω2,第3个人相对于第二个人角速度为ω3

假设过t时间,那么第1个人相对于原点旋转了ω1t,设此时他到了点A

第2个人相对于第1个人旋转了ω2t,相对于原点旋转了ω1t+ω2t,到点B

第3个人相对于第2个人旋转了ω3t,相对于原点旋转了ω1t+ω2t+ω3t,到点C

有向量OA=(r1cosω1t,r1sinω1t)

向量AB=(r2cos(ω1t+ω2t),r2sin(ω1t+ω2t))

向量BC=(r3cos(ω1t+ω2t+ω3t),r3sin(ω1t+ω2t+ω3t))

所以向量OB=OA+AB+BC

=(r1cosω1t+r2cos(ω1t+ω2t)+r3cos(ω1t+ω2t+ω3t),r1sinω1t+r2sin(ω1t+ω2t) +r3sin(ω1t+ω2t+ω3t))

所以第3个人参数方程为

X= r1cosω1t+r2cos(ω1t+ω2t)+r3cos(ω1t+ω2t+ω3t)

Y= r1sinω1t+r2sin(ω1t+ω2t) +r3sin(ω1t+ω2t+ω3t) 

下面建一个模型,画出三个人的轨迹图

设r1=20,r2=5,r3=1 分两种情况进行考虑  

第一种都是逆时针运动,角速度相差比较大

ω1=1   ω2=10  ω3=100

参数方程就是

x1=20 cosθ

y1=20 sinθ

x2=20cosθ+5cos11θ

y2=20sinθ+5sin11θ

x3=20cosθ+5cos11θ+cos111θ

y3=20sinθ+5sin11θ+sin111θ

画的是下面的第一个图,除了第1个人轨迹是圆以外,其他三个轨迹都不是圆,还有情况就是三个人都做逆时针的运动,而且角速度相等,这种情况三个人的轨迹有点像圆,但不是圆。

第二种情况是方向不一样的情况,第一个人逆时针,第二个人顺时针,第三个人逆时针,三个人角速度大小相等

比如ω1=1   ω2=-1  ω3=1

x1=20 cosθ

y1=20 sinθ

x2=20cosθ+5 

y2=20sinθ

x3=20cosθ+5 +cosθ=21cosθ+5

y3=20sinθ+sinθ

这里可以看出来第2个人和第3个人轨迹都是个圆,见第二幅图

而且第2个人和第3个人的轨迹是个同心圆,这个结论绝对正确的



以第一个人为坐标原点,建立直角体坐标系XOY,则第二个人的运动轨迹方程是:
X^2+Y^2=R1^2 ,R1是第二个人的半径。
如果第三个人绕第二个人运动的半径是R2,并以第二个人为原点建立新的直角坐标系X1O1Y1,则第三个人的轨迹方程是:
X1^2+Y1^2=R2^2
通过坐标系变换 ,将第三个人的轨迹方程以XOY坐标表示,则第三个人的轨迹方程是:
(X-X0)^2+(Y-Y0)^2=R2^2  ,
其中,(X0,Y0)是第二个人的位置坐标,满足 X0^2+Y0^2=R1^2
显然最终第三个人的轨迹方程不再是圆的方程。
从物理角度说,第三个人的运动可以看成是一个圆周运动(第二人的)与另一个圆周运动(第三人绕第二人的)的合成,合运动是一个螺旋线运动,好象在一个圆环上套有一个螺旋状的弹簧。

A=r1*e^(iω1*t)

B=r2*e^(iω2*t)

C=r3*e^(iω3*t)

当ω1=ω2=ω3=ω时;

第三个人的轨迹,求A+B+C=e^(iωt)(r1+r2+r3),这是个正圆,不知道是不是有哪里不符合条件。

上图,第一个, ω1=1,ω2=10,ω3=100.

第二个,ω1=1,ω2=10,ω3=10。

第三个,ω1=10,ω2=10,ω3=10.




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